2. Расчет среднеквадратичных погрешностей

Критерием точности выполняемых измерений является среднеквадратичная погрешность, или стандартное отклонение , равное положительному значению квадратного корня из дисперсии. Отношение погрешности к истинному значению измеряемой величины (если последняя не равна нулю) называется относительной погрешностью. Относительная погрешность лучше характеризует достоверность результата, чем абсолютная.

Необходимо различать прямые и непрямые измерения, когда значение исследуемой величины вычисляется на основании результатов измерений других величин. Погрешность непрямых измерений вычисляется с помощью соотношений, связывающих искомую физическую величину с непосредственно измеряемыми величинами. Эти соотношения могут выражать известные физические законы, в некоторых случаях они должны быть установлены на основании полученных экспериментальных данных. Пусть искомая величин Z связана с несколькими непосредственно измеренными величинами х₁, ..., х_m функцией Z = f(х₁, ..., х_m).

Разлагая Z в ряд Тейлора в окрестности истинных значений Z₀ и x_0i, составляя соотношение Z – Z₀, возводя его в квадрат и усредняя по распределениям величин х_0i, можно получить при пренебрежении членами второго порядка, что

где коэффициент корреляции:

Если погрешности измерений х_i не коррелированы друг с другом, то _ij = 0, тогда стандартное отклонение непрямых измерений будет иметь хорошо известный вид:

. (П.5)

Практическое следствие этого соотношения: для создания оптимальных условий основные усилия должны быть направлены не на дальнейшее уточнение тех результатов измерений, которые и так являются наиболее точными, а на совершенствование наименее точных измерений.

В табл. П1 приведены соотношения между среднеквадратичными погрешностями для некоторых функций.

Таблица П1

Функция	Соотношения между среднеквадратичными погрешностями
Z = A ± B
Z = AB, Z = A/B
Z = An
Z = eA	Z/Z = A
Z = lnA	Z = A/A

3. Учет фона

Практически всегда при работе со счетными физическими приборами приходится исключать фон. Фон находится как разность двух измерений: суммарного N в течение времени t (полезный эффект плюс фон) и фонового N в течение времени t_ф (без источника излучения, при введенном в прибор экранирующем фильтре и пр.).

Исследуемый эффект представляет собой разность результатов двух измерений, отнесенных к одинаковым интервалам времени, например к единице времени:

(П.6)

. (П.7)

Наиболее удобно выразить фон в единицах времени измерения суммарного эффекта, например если времена t и t_ф кратны, то эффект

,

его погрешность

.

Предполагается, что время измеряется с точностью много лучшей, чем число импульсов. Поэтому величина t не имеет дисперсии. Следует заметить, что соотношение _N =применимо только к величинам, непосредственно измеренным на опыте. Погрешность скорости счета, например, зависит от того, каким способом получена эта величина, и может быть, в принципе, сделана как угодно малой при увеличении времени измерения.