Добавил:

fench Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский ядерный университет (МИФИ)

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Климанов Сборник задач по теории переноса, дозиметрии и засчите 2011

.pdf

Скачиваний:

1496

Добавлен:

16.08.2013

Размер:

4.6 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1718 / 2018 19 20 > Следующая >>>

		3			1		2		α0						α					1			1			1				1	2
1.34. σk (α0	→ α)=											+					+2					-			+			-				.
		8		α										α					α				α			α				α
						0				α						0					0						0

			1			2		α		0			c					1				1				1				1	2
1.35. f (T ) = 0,734											+					+2					-			++					-				, где
			α										α					α				c				α				c
					0			c							0					0							0

с = α0 – 1,96T. 1.36. 1,24; 2,02; 83,0. 1.37. 6,62·10-5 с-1.

1.38. 9,75·106 см-2с-1. 1.39. 2,54 МэВ·см-2·с-1. 1.41. cos θs = cos θc/2. 1.42. μs = [(A+1)/2](E/E0)1/2 – [(A – 1)/2](E0/E)1/2. 1.43. μs = 2 /(3A).

1.45. Eпор= = - (A+1)/(AQ); μs = 1.

1.46. σs (E,μS ) =									σs (E,μc )						(1+2γμc +γ2 )3/2
																			, где
																			, где
																1+γμc
				2		A( A +1)Q −1/ 2							. 1.47. σs (E,μc ) =σs (E,μc ) ×
γ =		A			+
γ =		A			+			E
								E
×		[1-γ2 (1-μs2 )]1/2										. 1.48.				σs (E′ → E) =				4π		×
×	{γμs		±[1-γ				2		2	1/2	2	. 1.48.				σs (E′ → E) =				(1−α)E′	1+	×
	{γμs		±[1-γ					(1-μs		)]	}									(1−α)E′	1+
× σs (E′,μc ), где										= Q(A+1)/(E'A). 1.49. Значения σin(μc), 10-24 см2ср-1,
при разных значениях μс

	μс				-0,875					-0,724				-0,327				0,0694		0,234	0,589		0,829

	σin				4,36-2					5,24-2				6,33-2				9,21-2		1,04-1	1,21-1		1,68-1

Значения σel(μc), 10-24 см2ср-1
																				0,263
	μс				-0,817					-0,638				-0,25			-0,0156			0,263	0,60		0,83
																				1,06-1
	σel				4,69-2					5,74-2					7,92-2		9,10-2			1,06-1	1,22-1		1,69-1

1.50. μс = - γ(1+μs)2 ± μs[1 – γ2(1- (μs)2)]1/2. 1.51. а) σs= 2,66·10-26 см2; ) б) μс = −0,121; в) σs0 = 2,66 10−26 см2 ; σs1 = −3,22 10−27 см2 ;

σs 2 =1,59 10−26 см2 ;

171

E′

г1.52.)

а) 0,860 МэВ; б) 0,8602 МэВ;

0,8603 МэВ.(1 α)××μ ]}.

σs

(E′

→ E,μc ) =

σs

(E′,μc )

δ{E

− 2

[(1

+ α) +

1.53. а) 2,409 ×

×10-24 см2; б) 0,280; в) 0,455. 1.56. 109; 3,9·104. 1.57. 0,095; 1,025.

2.1. а) μ

∂ϕ

; б)ξ

∂ϕ

η∂ϕ

; в) ξ∂ϕ + η

∂ϕ

+μ

∂ϕ

, где μ = cos θ; ξ =

∂z

∂x

∂y

∂x

∂y

∂z

= sin θ cos ψ; η = sin θ sin ψ. 2.2. а)

∂(rϕ)

−

1 ∂(rϕ)

; б)

ξ ∂(rϕ)

∂r

∂ψ

∂r

+μ

∂ϕ −

1 ∂(ηϕ)

; в)

ξ ∂(rϕ)

+ μ

∂ϕ

+ η

∂ϕ −

1 ∂(ηϕ)

. 2.3. а)

∂z

r ∂ψ

∂r

∂z

r ∂α r ∂ψ

∂(r2ϕ)

1 ∂((1−μ2 )ϕ)

; б)

μ ∂(r2ϕ)

∂(sin θϕ)

∂r

∂μ

∂r

r sin θ

∂θ

∂((1−μ2 )ϕ)

−

ctgθ ∂(ηϕ)

. 2.4.

∂I (z,Ω, E)

+Σ(E)I (z,Ω, E) =

∂μ

∂ψ

∂z

E′

=∫dΩ′∫dE′ E Σs (E′ → E,Ω′ → Ω)I (z,Ω, E) + q(z,Ω, E). 2.5. Ω ϕ =

∂ϕ

∂ϕ −

∂ϕ.

= θcos ψ

+ θsin ψ

+ 1

−

; б) Ω ϕ = 1

−

∂x

∂y

∂z

∂r r ∂θ

2.6. Σ(E)ϕ(E) = ∫Σs (E′ → E)ϕ(E′)dE′+ q(E). 2.7. Σsϕ(z) / 4π.

2.8. Указание. Пусть r – фиксированная точка, в которой ищется решение ϕ(r, E,Ω) . Если ввести переменную R с помощью соот-

ношения r′ = r − RΩ, то имеет место равенство

∂ϕ(r′, E,Ω)

∂ϕ(r′, E,Ω) ∂x′

∂ϕ(r′, E,Ω) ∂y′

∂ϕ(r′, E,Ω) ∂z′

∂R

∂x′

∂R

∂y′

∂R

∂z′

∂R

∂ϕ

′

= −Ωx′ ∂x′

−Ωy′ ∂y′ −Ωz′ ∂z′ = −Ω ϕ(r , E,Ω).

Преобразовать интегрально-дифференциальную форму уравнения переноса в интегральную, вводя интегрирующий множитель вида

exp[−∫R Σ(r − R′Ω′)dR′] и используя последнее равенство.

172

2.10. ϕ(r , E,Ω) = G(r , E ,Ω

→ r , E,Ω) =

δ(ΩΩ0 −1)

δ(E

− E ) ×

| r − r |2

0 0

r − r0

, E,Ω0 ), где E0 , r0 , Ω0 – параметры ис-

×δ Ω

−1 exp[−τ(r ,r0

| r − r0

′

| .

точника; τ(r ,r , E,Ω) = ∫Σ(r

− R Ω, E)dR ; R

=| r − r

2.11. ϕ(r , E,Ω) =

δ(E − E0 )

r − r0

−1

exp[−τ(r ,r0 )]

;

| r − r0 |

4π

| r − r0 |2

ϕ(r , E) =

δ(E − E0 ) exp[−τ(r ,r0 , E)]

, где r0

– радиус-вектор источника.

4π

(r − r )2

1 z

δ(E − E0 )δ(μ −1)exp

−

∫Σ(E, z′)dz′ , μ > 0,

2π

2.12. ϕ(z, E,μ) =

μ 0

0, μ ≤ 0,

где μ – косинус угла по отношению к оси симметрии поля излуче-

δ(E

− E )

exp

−

∫Σ(E, z′)dz′ , μ > 0,

ния. 2.13. ϕ(z, E,μ) =

4π

≤ 0,

0, μ

1 z

∫q(z′, E,μ)exp[−τ(E, z, z′)/ μ]dz′, μ > 0,

2.14. ϕ(z, E,Ω) =

∫d q(z′, E,μ)exp[−τ(E, z, z′)/ | μ|]dz′, μ ≤ 0,

| μ|

′

z′

′′

δ(E − E0 ) ×

где τ(E, z, z ) =

∫Σ(E, z )dz . 2.15. ϕ(z, E,Ω) =

2πμ

×δ (μ −μ0 )exp

−

az +

. 2.16. P(r, E,Ω,t) = Σa (r, E) ×

′

×Pa (r, E,Ω,t) + ∫dΩ

∫dE Σs

(r,Ω → Ω

, E

→ E )Ps (r,Ω → Ω , E

→ E ,t).

2.17. P(r, E,Ω,t) =

Σa

Pa (r , E,Ω,t) +

∫dΩ′∫dE′×

Σ(r , E)

Σ(r, E)

173

×Σs (r,Ω → Ω′, E → E′)Ps (r ,Ω → Ω′, E → E′,t). 2.18. а) P(r,Ω, E,t) =

= δ(r − r0 )δ(t −t0 ); б) P(r ,Ω, E,t) = Σa (r , E)E + ∫dE′ Σs (r , E → E′) ×

×(E − E′). 2.19. P(r , E,Ω) = δ(r −r0 ) (Ω, n) S η(E2 − E)×

×η(E − E1 ), где η(x) – функция Хевисайда.

2.20. P(r , E,Ω) = Σ(r , E)

V (r ), где

1, r V

(r ) =

0, r V.

2.21. P(r , E,Ω) = δ(r −r ) E μ

(E) / ρ. 2.22. P(r , E,Ω) =

V (r) ×

=× Σф(r,E ) E +Σп(r,E )(E −2m0c2 )+ ∫E

Σs (E → E′

r ) (E − E′)dE′ ,

где

Eπ =

(r ) =

1, r V

+ 2E / mec2

0, r V

2.23. −Ω ϕ* (r , E,Ω) + Σ(r, E)ϕ* (r , E,Ω) = k(E)δ(r − r0 ) +

+∫dE′∫dΩ′ Σs (r, E → E′,Ω → Ω′)ϕ* (r, E′,Ω′), где k(E) – значение

максимальной мощности дозы, поглощенной в ткани, для единичной плотности потока нейтронов.

2.24. −Ω ϕ* (r, E,Ω) + Σ(r, E) ×ϕ* (r, E,Ω) = ∫dE′∫dΩ′×

′

′ ′

×Σs (r, E → E ,Ω → Ω )ϕ

(r , E ,Ω ) +[EΣф (r , E) + EΣk (r , E) +

+(E −1,02)Σп (r , E)]δ(r − r0 ). 2.25. q/Σa.

2.26. ϕ(r) =

exp(−r / L)

;

ϕ(z) =

exp(−| z | / L), если источ-

4πD

2Σ0 L

ник в начале координат. 2.27. ϕ(R) =

K0 (R / L), где R – рас-

2πΣa

стояние до источника;

K0(x) – модифицированная функция Бесселя

нулевого порядка. 2.28. Если источник в начале координат, то

ϕ(r) =

| r − R |

r + R

2.29. ϕ(r) =

[exp

−

−exp

−

8πDrR

4πD

174

sh[(Rэ − r) / L]

q exp(−r / L)

, где Rэ = R0

+ 0,7104/Σtr.

r sh(R / L)

4πD

2.30. ϕт.из. (z) = −

1 dϕпл.из. (z)

. 2.31. ϕ(z) =

q sh[(dэ

− z)/ L]

2πz

2Σa L ch(dэ / L)

d + 0,7104/Σtr. 2.32. 72,5 см. 2.33. 150 см. 2.34. 8,8·10-9.

A exp(−z / L ) + C exp(z / L ), z ≤ d ,

2.35. 6,65. 2.36. ϕ(z) =

A exp(−z / L ) +C exp(z / L ), d < z ≤

, где dэ

d1 + d2 ,

где Ai,Ci – константы, значения которых могут быть найдены из системы уравнений

− C1

−

= 0, 5;

2L 1

2L1

exp(−b / L2 ) + C1 exp(b / L2 ) = 0;

A exp(−

) + C

exp(−

) − A exp(−

) − C

exp(−

) =

exp(−

) −

exp(

−

) + C

exp(−

) − A

exp(−

) = 0,

2 L

где D1, L1, D2, L2 – коэффициенты диффузии и длины диффузии. для первого и второго слоев соответственно; b = d1 +d2 +0,71/Σtr,2;

Σtr,2 – транспортное сечение тепловых нейтронов в материале второ-

го слоя. 2.37. 6,76; 394; 128,7; 51,9 см. 2.38. 1,415; 1,0002. 2.39. 6,52 см; 2.40. а) W = exp(–ΣaR0);

б) W =1−	sh(R0 / L)		;	в) W=1. 2.41. aч = (L – 2D)/(L+2D).
	R + 0,7104 / Σ	tr
sh	0
	L

2.42. 0,837; 0,98; 0,937. 2.43. aч				=	L − 2D cth(dэ / L)	, где dэ = d +
					L + 2D cth(dэ / L)

+0,7104/Σtr. 2.44. Указание. Среднее число пересечений нейтроном границы раздела при переходе из среды A в среду B можно найти

∞	∞
из выражения n = ∑n W (n) /	∑W (n), где n – число пересе-
n=1,3,5,...	n=1,3,5,...
		1	+ a Aa B
чений; W(n) – вероятность n пересечений. Ответ: n =			ч ч	,
чений; W(n) – вероятность n пересечений. Ответ: n =		1	− aчA aчB	,
		1	− aчA aчB
175

где aчAaчB – токовые числовые интегральные альбедо сред A и B со-

ответственно. 2.45. 6,07; 49,5; 15,3. 2.46. Значения альбедо тепловых нейтронов для разных толщин барьеров.

Вещество				d, см
Вещество					15
	2	4	8		15	30	40
					–
Вода	0,78	0,84	0,841		–	–	–
					0,86
Бериллий	0,50	0,666	0,792		0,86	0,89	0.91
					0,81
Углерод	0,40	0,552	0,703		0,81	0.873	0,92

2.47. 3 см; 15 см. 2.48.

d, см	2	10	50	70

aч	0,256	0,771	0,96	0,92

2.49. Указание. Исходя из балансного соотношения, получить интегральное уравнение для ψ(E), последнее продифференцировать по E и найти решение полученного соотношения. Ответ:

1/(1−α)

1 E0

1/(1−α)

-6

ψ(E) =

; ψ(u) =

.2.50. 0,2·E .

− α

1− α

2.51. Указание. Рассмотреть балансное соотношение нейтронов в интервале E1. Учесть, что число нейтронов, рассеянных в интервале E1, одно и то же при наличии и отсутствии поглощения. От-

вет: P

=1−

Σa1

E1 . 2.52. 0,872.2.53. 8,63·104 МэВ-1.

ξ[Σs (E1 ) + Σa1 ]

−2γ

α ln2 (1/ α)

. 2.55. t =

2.54.

, где γ =

1−

ξΣs

Σs

2(1

− α)ξ

176

×(1/

E1 −1/

E0 ), где m – масса нейтрона. 2.56. Время замедле-

ния и диффузии

Среда

tзам, с

tдиф, с

H2O

10-5

2,1·10-4

D2O

4,6·10-5

1.5·10-1

6,7·10-5

4,3·10-3

1,5·10-4

1,2·10-2

2.57.

[(aE −bα) ln(1/ α) − (1− α)(aE −b)].

1− α

′

dE′

2.58.

− ∫E

Σa (E )

exp

, где δ(E) – относительная потеря

′

Σs (E )

δ(E )E

энергии нейтроном. 2.59. q(z, τ) =

exp(−

). 2.60. q(r, τ) =

4πτ

4τ

−

2.61. ϕт.н. (z) =

L exp(τ/ L

)

{exp(−

) ×

exp

(4πτ)

3/ 2

4τ

× 1 − erf

−

+ exp

1 − erf

2 τ

2.62.

q(r,τ) =

∫

S(τ0 )

exp[−r2 /(4(τ − τ

))]

dτ0

. 2.63. 42,2 см.

[4π(τ − τ0 )]3/ 2

2.64. Пространственно-энергетическая плотность нейтронов φ(z,E), нейтрон/(см2·с·МэВ)

z, см		0	0,1	0,2	0,5	1,0	2,0	5,0

φ(z, E = 1	МэВ)	1,07	1,04	0,997	0,607	0,111	1,22-4	2,41-25

φ(z, E = 1	кэВ	3,8+2	3,79+2	3,76+2	3,53+2	2,85+2	1,20+2	2,90-1

φ(z, E = 1	эВ)	2,78+5	2.77+5	2,76+5	2,67+5	2,38+5	1,50+5	6,06+3

177

Σs

(E0 ) τ+

QΣs

(E0 )

2.65. ϕ(r, E) =

∫t

[1 − erf(t)] dt.

exp

8π τ

4τ

Σs

(E0 ) τ−

2.66.

I1 (z, E) = 2πne exp[−μ(E0 )z]{∫d cos θs σk (E0 , cos θs ) ×

1 − exp[− (μ(E) − μ(E

) cos θ

)]

(E, cos θ

)

d cos θs

}, где

μ(E)

− μ(E

) cos θ

∫μ(E) − μ(E

) cos θ

−1

E = E0/[1 + E(1- cos θs)/0,511]. 2.67. I1 (R, θ0 ) = ne /(R sin θ0 ) ×

π−θ0

+ θ) exp −

[μ(E

] dθ

∫

Eσ

, θ

) sin θ + μ(E) sin θ

sin(θ0

+ θ)

2.68. 2,45·103 МэВ/(см2·с). 2.69. ac1 (E0 , θ0 ; E, θ, ψ = 0) =

ne σk (E0 ,

π − θ0 − θ)

δ(E − Es ), где Es = E0/[1+E0(1 –

μ(E0 ) + μ(Es ) cos θ0 / cos θ

– cos (θ0+θ)/0,511]; aэ1 (E0 , θ0 ; θ, ψ = 0) =E s ne σk (E0 , π − θ0 − θ) ×

. 2.70. a

(E,θ

) =

Σs (E)

E0 [μ(E0 ) + μ(Es ) cos θ

0 / cos θ]

2Σ(E)

1+cos θ

1−cos θ0

cos θ0

2.71.aэ1 (E0 , θ0 , d; θ, ψ = 0) = Es ne σk (E0 , π − θ0 − θ) ×

1 − exp{−[μ(E0 ) + μ(Es ) cos θ0				/ cos θ]		d	}
1 − exp{−[μ(E0 ) + μ(Es ) cos θ0				/ cos θ]			}
×						cos θ0		.
×		μ(E0 ) + μ(Es ) cos θ0		/ cos θ				.
		μ(E0 ) + μ(Es ) cos θ0		/ cos θ
Зависимость aэ(θ) от угла отражения:

	θ, град	0	40			60			75	85

	aэ(θ)	2,73-3	2,64-3		2,35-3				1,75-3	7,7-4

178

2.73. Зависимость aэ(d, θ) от толщины барьера

d, см	1	2	3	5	7	10
	1,05-3
aэ(d)	1,05-3	1,7-3	2,08-3	2,48-3	2,62-3	2,69-3

2.74. aэан1 (E0 , θ0				; θ) =				0,511na σп (E0 )								.
2.74. aэан1 (E0 , θ0				; θ) =	2πE0 [μ(E0 ) + μ(0,511) cos θ0 / cos θ]											.
					2πE0 [μ(E0 ) + μ(0,511) cos θ0 / cos θ]
2.75. Зависимость aэ(E0, θ) от начальной энергии фотонов
	0,08
E0, МэВ	0,08				0,20				0,50				1,0		2,0		3,0
	2,49-2
aэ(E0)	2,49-2				1,75-2				7,0-3			2,73-3			9,48-4		5,83-4

2.76. Зависимость вкладов в aэ(E0, θ) от начальной энергии

		E0, МэВ				1,0	2,0			3,0	5,0			8,0	10,0

			aк	(E )
			э	0		0	0,524			2,0	6,757			16,81	24,21
			aп	(E )		0	0,524			2,0	6,757			16,81	24,21
			aп	(E )
			э	0

2.77. f (r) exp(−Σr). 2.78. Указание: Так как по условию величина альбедо в целом мала, то основной вклад в детектор будет создан за счет излучения, однократно отраженного от стен лабиринта (см. рис.). В силу малости поперечных размеров лабиринта по сравнению с длинами колен единственными площадками-отражателями выступают S1, S2, S3, S4. Вклад в плотность потока в детекторе от каждой площадки равен:

179

ϕ =

Q a2

×a(E,θ

,θ,ψ)×

при θ

≈ 0,

θ ≈

−

, ψ = 0;

4πL2

ϕ2 =

Q a2

×a(E,θ0 ,θ,ψ)×

при θ0

≈

−

, θ ≈ 0,

ψ = 0;

4πL

ϕ = ϕ

Q a3

a(E,θ

,θ,ψ)

при θ

≈

−

, θ ≈

−

ψ =

4πL3

L2	S1
	S1
a	S3	S2
D	S4
D
		L1
	Q
Геометрия задачи 2.78

2.79. Указание: По условию задачи поглощение излучения в воздухе в целом мало. Это означает, что основной вклад в детектор в отсутствие прямого прострела, создается излучением, имеющим малую кратность рассеяния. В данном случае – двухкратно рассеяннымм излучением: сначала в первом, а затем во втором «колене» лабиринта, которые и являются зонами рассеяния, определяющими поле излучения в точке детектирования.

ϕ =

dΣKN

,θ

π)

dΣKN

,θ

= π) a6 , где

4πL2

L2 L2 dΩ

dΩ

E1 =

2.80. I1 (z) = E1{μ0 exp(−μ1z) ×

1+ E

/ m c2

exp[(μ1 −μ0 )z] −1

−

exp[−(μ1 + μ0 )z] −exp[−(μ1

+μ0 )d]

+μ0 exp(μ1 z)

μ1

−μ0

μ1 +

μ0

где E1 = E0σks (E0 ) / σk (E0 ); μ0+ = 2πne ∫0

σk (E0 ,cosθs ) d cosθs ;

μ0− = 2πne ∫0

σk (E0 ,cosθs ) d cosθs . 2.81. ϕ2 (z) = exp(−μ2 z) ×

−1

180

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1718 / 2018 19 20 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
16.08.201314.54 Mб736Климанов Дозиметрическое планирование лучевой 2007.pdf
#
16.08.20136.96 Mб541Климанов Дозиметрическое планирование лучевой терапии. Ч.3 2008.pdf
#
16.08.201310.62 Mб536Климанов Дозиметрическое планирование лучевой ч2 2008.pdf
#
16.08.201313.93 Mб1238Климанов Радиобиологическое и дозиметрическое планиров. Ч.1 2011.pdf
#
16.08.201319.74 Mб765Климанов Радиобиологическое и дозиметрическое планирование 2011.pdf
#
16.08.20134.6 Mб1496Климанов Сборник задач по теории переноса, дозиметрии и засчите 2011.pdf
#
16.08.20134.03 Mб262Когденко Краткосрочная и долгосрочная финансовая политика 2010.pdf
#
16.08.2013919.62 Кб128Козин Експертные системы Учебное пособие 2008.pdf
#
16.08.20131.75 Mб204Козин Математическое моделирование Учебное пособие 2008.pdf
#
16.08.20131.37 Mб158Козин Программирование численных методов линейной алгебры 2010.pdf
#
16.08.20131.82 Mб89Колдобский Ионизируюсчая радиация воздействие, риски, обсчественное восприятие 2008.pdf