7. Дисперсия

Применительно к волоконно-оптическим системам и одиночным волоконным световодам под термином «дисперсия импульса» понимают уширение импульса электромагнитного излучения при распространении по световоду. Когда используется термин «дисперсия» подразумевают физические явления, приводящие к дисперсии импульсов при распространении. Под величиной дисперсии импульса в волоконно-оптической технике понимают квадратическую разность между длительностью импульса на входе и выходе кабеля заданной длины:

(7.1)

Соответственно, дисперсия импульса имеет размерность единиц времени, т.е. секунд. Но на практике, обычно, дисперсию измеряют в наносекундах (нс). В большинстве случаев используется удельная (погонная) величина дисперсии на единицу длины – нс/км.

В зависимости от физических причин, вызывающих увеличение длительности входного импульса при распространении по ВС, дисперсию разделяю на межмодовую, хроматическую и поляризационную. В свою очередь хроматическую – на материальную и волноводную.

Рис. 7.1.

В сущности, это три различных физических явления: 1. различная скорость распространения различных волноводных мод, 2. дисперсия оптического материала и отдельной волноводной моды. 3. различные скорости распространения излучения основной моды с различной плоскостью поляризации. Суммарную дисперсию импульса определяют через составляющие как

(7.2)

или

(7.3)

Следует обратить внимание на то, что увеличение длительности импульса, обусловленное хроматической дисперсией, представлено в (7.3) как квадрат суммы материальной и волноводной дисперсии, а не суммой их квадратов. Указанные величины могут иметь различные знаки, соответственно, одна из составляющих хроматической дисперсии может частично или полностью компенсировать другую, что, как будет показано далее, используется в волоконно-оптических системах.

7.1. Межмодовая дисперсия

Из характеристического уравнения следует, что различные волноводные моды имеют различные постоянные распространения (т.е. различные фазовые скорости ). Для ВС со ступенчатым ППП:

, (7.4)

где , - показатели преломления сердцевины и оболочки ВС, - величина волнового вектора. Поэтому максимальная разность постоянных распространения определяется выражением:

, (7.5)

где - разность показателей преломления. Необходимо отметить, что, как будет показано далее, временная задержка между оптическими импульсами определяется не разностью фазовых скоростей, а разностью групповых скоростей мод. Но для межмодовой дисперсии величину грубо можно оценить исходя из разности фанзовых скоростей волноводных мод. Тогда максимальная временная задержка между фазами мод составляет:

(7.6)

где - длина волоконного световода. Преобразуем выражение (7.6) с учетом (7.4), а также . Получаем:

Принимая во внимание, что

,

где - скорость света в вакууме, можно получить:

(7.7)

Домножив и разделив (7.7) на , выражение (7.7) можно представить в виде:

, (7.8)

где - относительная разность показателей преломления сердцевины и оболочки ВС.

Для более строгого рассмотрения необходимо рассчитать задержку импульсов исходя из групповых скоростей волноводных мод. Забегая вперед, запишем формулу для задержки импульса на единицу длины световода:

(7.9)

Соответственно, для разности задержек импульса между максимальным и минимальным значениями , с учетом выражения для :

,

полагая , получаем:

Полученное выражение, аналогично (7.8), можно представить в виде:

То есть, полученное выражение для разности задержки импульсов такое же, как и при расчете с использованием разности фазовых скоростей мод. Совпадение полученных формул для волноводных мод вдали от отсечки () не является случайным. Объяснение данного факта можно получить из более детального рассмотрения волноводной дисперсии, которое представлено ниже. Следует отметить, что символ в правой и левой частях имеют различный смысл.

В многомодовых световодах, обычно, распространяется одновременно большое число мод. Поэтому величину уширения импульса определяют по некоторому заданному уровню, отсчитываемому от максимальной величины импульса. Следовательно межмодовая дисперсия будет меньше, чем величина . Кроме того, межмодовая дисперсия будет зависеть от модового состава излучения, распространяющегося по световоду. В простейшем приближении межмодовую дисперсию . В литературе для волоконных световодов со ступенчатым профилем показателя преломления приводят следующую формулу:

, (7.10)

где - длина межмодовой связи (иногда – длина установления стационарного модового распределения). Выражение (7.10) можно представить в виде:

, (7.11)

где - эквивалентная длина ВС. При имеет место . Тогда выражение можно рассматривать как величину удельной (погонной) дисперсии.

Различие межмодовой дисперсии для коротких и длинных световодов имеет следующее объяснение. Оценка времени , произведенная ранее, предполагает, что моды распространяются независимо друг от друга. Однако реально, при распространении любой моды часть энергии, вследствие рассеяния на макронеоднородностях сердцевины, передается другим модам. Как было отмечено ранее, указанный эффект аналогичен эффекту диффузии, а описание такого взаимодействия мод называют диффузионным приближением. Если световод имеет большую длину, то даже если на входе в ВС возбуждена только одна волноводная мода, ее энергия при распространении постепенно передается всем другим модам. На некотором расстоянии возникает динамическое равновесие между мощностями распространяющихся мод. При дальнейшем распространении излучения по ВС модовый состав не изменяется. Поэтому длину называют длиной установления стационарного модового распределения. Величина зависит от качества оптического волокна. Для ВС со ступенчатым ППП находится в пределах от десятков метров до нескольких километров.

В волоконных световодах с параболическим ППП выражение для дисперсии несколько иное:

(7.12)

Важно отметить, что , так как выражения (7.10) и (7.12) отличаются на величину . Поэтому межмодовая дисперсия в световодах со ступенчатым ППП существенно больше, чем в ВС с параболическим ППП. В градиентных световодах со степенным изменением ППП наименьшую дисперсию имеют световоды именно с параболическим (показатель степени равен 2) ППП.

Оценку полосы пропускания многомодового световода можно выполнить с помощью формулы:

, Гц (7.13)

В некоторых случаях необходимо знать разность постоянных распространения и время задержки импульса между соседними модами (т.е. между модами с близкими индексами). Получим необходимые выражения, исходя из взаимосвязи и собственного числа :

(7.14)

В общем случае разность постоянных распространения можно определить как

(7.15)

где , - любые собственные числа, - соответствующая разность постоянных распространения. Преобразуя выражение (7.15), полагая в разложении , получаем:

Используя свойство волноводных мод вдали от отсечки:

,

для имеем:

Для разности фазовых задержек можно получить:

Между ближайшими волноводными модами обмен энергией идет значительно интенсивнее, чем между модами, имеющими минимальное и максимальное значение осевой постоянной распространения. Поэтому для отдельно взятых ближайших мод величина значительно меньше, чем величина , используемая в формулах (7.10) и (7.12). Для большинства световодов со ступенчатым ППП эта величина менее 1 метра. Чем ближе к отсечке, тем меньше взаимосвязь мод. Это означает, что при более строгом определении межмодовой дисперсии в диффузионом приближении необходимо учитывать изменение коэффициента диффузии от величины постоянной распространения волноводных мод.