Работа 3.01

Исследование статистических процессов в оптике

В.Н.Белов

Н.Г.Захаров

В.К.Иванов

ЗАДАЧА

1.С помощью фотоэлектронного умножителя (ФЭУ), работающего в режиме счета отдельных квантов света, исследовать статистический характер слабого светового пучка.

2.Провести исследование статистики термоэлектронной эмиссии с катода ФЭУ.

3. Получить экспериментальное подтверждение тому, что результаты единичных измерений имеют пуассоново распределение вокруг среднего значения.

ВВЕДЕНИЕ

Характер процессов в микромире и их вероятностное описание квантовой механикой не позволяют однозначно предсказывать результат взаимодействия микрочастицы с другими частицами, внешними полями и измерительными приборами. Результат единичного измерения имеет смысл случайной величины, однако характерные статистические закономерности могут быть изучены экспериментально в процессе многократных измерений.

Исследованию ряда статистических закономерностей, проявляющихся в природе слабого светового пучка и в явлении термоэлектронной эмиссии, посвящена лабораторная работа.

Прежде всего, обратимся к термоэлектронной эмиссии. Электроны проводимости в веществе ведут себя аналогично частицам, находящимся в широкой потенциальной яме. Распределение электронов по скоростям, а следовательно, по кинетическим энергиям, определяется температурой исследуемого образца. В классической механике это распределение по энергиям имеет максвелловский характер, что, действительно, справедливо при очень высоких температурах. Реально электроны подчиняются статистике Ферми-Дирака, что обосновывает квантово-механическое рассмотрение. При температуреТ = 0все электроны проводимости заполняют уровни энергии в потенциальной яме ниже некоторой определенной энергии, называемой энергией ФермиЕ_F. ПриТ> 0электроны с уровней энергии нижеЕ_Fстремятся перейти на более высокие энергетические уровни. В результате часть электронов приобретает кинетическую энергию, превышающую высоту потенциальной ступеньки на границе вещество-вакуум. Чем выше температура, тем большее количество электронов обладает такими энергиями. Однако покинуть образец смогут лишь те электроны, у которых углы падения на границу достаточно малы (угол падения -угол между вектором скорости и нормалью к поверхности), чтобы не возникло явление полного внутреннего отражения. Векторы скоростей электронов ориентированы в пространстве хаотически, кроме того, количество электронов с кинетическими энергиями больше высоты потенциальной ступеньки есть случайная величина со своими статистическими закономерностями. Естественно, количество вылетевших из образца электронов также является случайной величиной. Многократно измеряя (при фиксированной температуре) количество электронов, вылетевших за равные промежутки времени, можно получить распределение этой случайной величины.

В первой части лабораторной работы выполняют исследование статистики термоэлектронной эмиссии с катода фотоэлектронного умножителя (ФЭУ) в случае, когда катод не освещен.

Вместе с тем, энергию, необходимую для преодоления потенциального барьера на границе вещество-вакуум и вылета из образца, электроны могут приобрести другими способами, не черпая ее из теплового движения. Например, при поглощении кванта внешнего излучения, что известно как явление фотоэффекта.

Этот способ реализован во второй части лабораторной работы, выполняемой при освещении катода ФЭУ слабым световым пучком. В таком случае, в отличие от термоэлектронной эмиссии, происходит не один, а целый ряд статистических процессов. Они последовательно связаны с получением, ослаблением и регистрацией светового пучка. Так, в качестве источника света использован светодиод, испускание квантов в котором происходит в процессе излучательной рекомбинации носителей заряда и имеет случайный характер. Для ослабления светового пучка использован поглотитель, при прохождении сквозь который кванты излучения случайным образом взаимодействуют с атомами поглотителя. Понятно, что количество квантов в прошедшем поглотитель световом пучке не будет строго постоянной величиной, а с определенной вероятностью статистически распределено вокруг некоторого среднего значения. В силу статистической независимости эта вероятность будет определяться произведением вероятности испускания фотона и вероятности его прохождения сквозь поглотитель.

Наконец, регистрация кванта излучения происходит при его взаимодействии с электронами катода ФЭУ. И в этом случае поглощение кванта с последующей передачей энергии электрону есть вероятностный процесс, который детально описывают законы квантовой механики. Количественной характеристикой фотоэффекта является "квантовый выход" - среднее количество вылетевших электронов, приходящихся на один квант излучения. При благоприятных условиях для специально подобранных покрытий выход не превышает 0,1 - 0,3 , то есть фотоэлектрон в среднем выбивается одним из 3 -10 квантов.

Статистические закономерности, которые описывают термоэмиссию или каждый из трех процессов, связанных с получением, ослаблением и регистрацией света, имеют схожую природу. Рассмотрим их основные особенности. Пусть Р - вероятность вылета одного электрона с катода ФЭУ в течение определенного интервала времени (например, 1 секунды), соответствующая либо термоэлектронной эмиссии, либо совокупности процессов, происходящих при освещении ФЭУ, Считая, что N - полное количество электронов проводимости в образце, а вылет каждого электрона является независимым событием, нетрудно заключить, что вероятность вылета n электронов пропорциональна Рⁿ. С другой стороны, (1 - Р)^N-n определяет вероятность того, что N - n электронов остались внутри образца. В силу независимости этих событий вероятность того, что в определенный интервал времени из N имеющихся электронов n покинут образец, должна определяться выражением:

Комбинаторный множитель, появление которого обусловлено физической неразличимостью электронов, задает количество возможных сочетаний из N электронов по п. Выражение (1) представляет собой известное в теории вероятностей биномиальное распределение.

Как функция, выражение P(n, N) имеет очевидные минимумы при n = 0 и n = N. Вместе с тем, при достаточно больших N (если Р < 1, а ) можно заметить, чтоР(n = 0, N) = Р(n = N, N) 0 . Следовательно, Р(п, N) достигает максимума при некотором промежуточном значении n. В курсе теории вероятностей показано, что это значение . Оно имеет смысл среднего значения случайной величины, которой в нашем случае является среднее количество электронов, вылетевших из образца в заданный интервал времени.

В принципе, выражение (1) дает полное описание интересующих нас случайных процессов, однако, удобнее пользоваться другой, предельной записью биномиального распределения при больших N . Действительно, в рассматриваемых процессах необходимо учесть, что 1 мм³ вещества обычно содержит N=10²⁰ электронов проводимости. Тогда предельный случай (N, а, но при этом сохраняется неизменным среднее количество вылетевших электронов ) приводит к следующему выражению:

Полученное выражение описывает уже распределение Пуассона, как предельный случай биномиального распределения. Новая формула удобна для анализа и вычислений, так как невелико и, кроме того, в ней не содержится N. Отметим, что распределение Пуассона нормировано на единицу, это следует из равенства:

.

В эксперименте по результатам многократных измерений дисперсию распределения измеряемой величиныn со средним значением находят через усредненный квадрат отклонения величины от ее среднего значения:

, где -

среднее значение, вычисляемое из результатов отдельных измерений , , ……, , - полное количество измерений. Важнейшим фактом, на котором построена

Рис. 1. Примерный вид распределения Пуассона.

обработка данных лабораторной работы, является характерное свойство распределения Пуассона, а именно, следующая связь его параметров, дисперсии и среднего значения: .

Представим теперь, что выполнено многократное измерение вылетевших из образца электронов n: , , ……, (за фиксированный интервал времени). Вероятность иметь в качестве результата отдельного измерения n электронов задается Р(n), согласно выражению (2). Чаще всего в массиве данных будут встречаться значения вблизи , а отклонения в большую и меньшую сторону будут присутствовать тем реже, чем больше сами эти отклонения.

Зависимость Р(n) (при ) изображена на рис.1.Р(n) имеет смысл относительной частоты появления в качестве результата отдельного измерения значения n. Отметим также, что при достаточно больших масштаб графика по горизонтальной оси сжимается, вследствие чего дискретная по n зависимость превращается в непрерывную кривую, которая и представлена на рис.1.