Раздаточный материал - 2014 логистика_1 / 02_03 - Основы теории и вероятности и мат_статистики / 01.4 - Условная вероятность

2

1.4. Условная вероятность

Вероятность события А, при вычислении которой учитывается информация о событии B, называется условной (conditional probability) и обозначается P(A|B).

Пример 1.

Игральная кость подбрасывается один раз. Известно, что выпало более трёх очков. Какова вероятность того, что выпало чётное число очков?

Зная, что выпало более трёх очков, мы можем сузить множество всех возможных элементарных исходов до трёх одинаково вероятных исходов: {4,5,6}, из которых событию A благоприятствуют ровно два: {4,6}. Поэтому P(A)=2/3

Посмотрим на вопрос с точки зрения первоначального эксперимента. Пространство элементарных исходов при одном подбрасывании кубика состоит из шести точек: {1,2,3,4,5,6}. Слова «известно, что выпало более трёх очков» означают, что в эксперименте произошло событие B={4,5,6}. Слова «какова при этом вероятность того, что выпало чётное число очков?» означают, что нас интересует, в какой доле случаев при осуществлении B происходит и А. Вероятность события А, вычисленную в предположении, что о результате эксперимента уже что-то известно (событие B произошло), мы будем обозначать через P(A|B).

Мы хотим найти, какую часть составляют исходы, благоприятствующие A внутри B (т.е. одновременно A и B, среди исходов, благоприятствующих B)

P(A|B)= 2/3 = (2/6)/(3/6) = P(A&B)/P(B)

Условной вероятностью события A при условии, что произошло событие B, называется число:

P(A|B)= P(A&B)/P(B)

Пример 2

Таблица. Поведение покупателей широкоэкранных телевизоров

Планировалась ли покупка?		Совершена ли покупка
	Да	Нет	Всего
Да	200	50	250
Нет	100	650	750
Всего	300	700	1000

Предположим, что нам стало известно, будто некая семья собирается купить широкоэкранный телевизор. Какова вероятность того, что эта семья действи­тельно купит такой телевизор? В данном случае нам необходимо вычислить условную вероятность Р (покупка совершена|покупка /панировалась). Поскольку нам известно, что семья планирует покупку, выборочное пространство состоит не из всех 1000 семей, а только из тех, которые планируют покупку широкоэкранного телевизора. Из 250 та­ких семей 200 действительно купили этот телевизор (см. табл.). Следовательно, ве­роятность того, что семья действительно купит широкоэкранный телевизор, если она это запланировала, можно вычислить по следующей формуле.

Р(покупка совершена\покупка планировалась) = (количество семей, планировавших и купивших широкоэкранный телевизор/ количество семей, планировавших купить широкоэкранный телевизор) = 200/250 = 0.8

Этот же результат дает формула P(A|B)= P(A&B)/P(B), где событие B заключается в том, что семья планирует покупку широкоформатного телевизора, а событие A — в том, что она его действительно купит. Подставляя в формулу реальные данные, получаем следующий ответ.

Р(покупка совершена /покупка планировалась)= (200/1000) / (250/1000) = 0.8

Правило умножения вероятностей:

P(A&B) = P(B) * P(A|B) = P(A) * P(B|A)

Если события A и B независимы, то

P(A&B) = P(A) * P(B),

т.е. вероятность событий А и B не меняется при наступлении событий, соответственно B и А.

Формула полной вероятности. Вероятность любого события может быть вычислена по формуле:

P(A)= P(B₁)*P(A|B₁) + P(B₂)*P(A|B₂) + … P(B_n)*P(A|B_n)

где B₁, B₂, … B_n — взаимоисключающие и исчерпывающие события.