Раздаточный материал - 2014 логистика_1 / 02_03 - Основы теории и вероятности и мат_статистики / 01.1 - Базовые понятия

5

1. Основы теории вероятностей

1.1. Базовые понятия

Событие — это любой возможный результат случайного эксперимента.

Элементарное событие — это событие, которое можно описать одной характеристикой

Совместное событие — это событие, которое имеет несколько характеристик

Примеры

Элементарные события: Бросок кубика, время начала лекции, продолжительность лекции, число студентов в аудитории в момент начала лекции, сумма выпавших очков при броске нескольких кубиков, число покупателей товара за день, время наработки на отказ оборудования, средняя температуры воздуха за день, оценка студента за экзамен и т.д.

Совместные события: Значения очков, выпавшие при броске двух и более кубиков, число студентов и студенток в аудитории, число купленных единиц по нескольким товарам, число клиентов, которые хотят купить товар и купили товар, число положительных и отрицательных оценок по предмету и т.д.

Выборочное пространство (пространство эксперимента, пространство исходов) - совокупность всех элементарных событий. Множество Ϙ, содержащее все возможные результаты эксперимента.

• Дискретное пространство – имеет конечное число исходов (элементарных событий)

Примеры

Броски игрального кубика (6-гранный – 6 исходов, 20-гранный – 20 исходов), оценки за экзамен, число покупателей товара за день, число студентов в аудитории и т.д.

• Непрерывное пространство – имеет бесконечное число исходов (элементарных событий)

Примеры

Время отказа оборудования (любое неотрицательное значение), температура воздуха, время выполнения операции, отклонение от допуска размеров изготавливаемых деталей, чистота воздуха в помещении и т.д.

Любое событие – это подмножество множества Ϙ, образующего пространство эксперимента.

Примеры событий:

20-гранный кубик: выпадение любого числа (1 из 20), выпадение четного числа (10 исходов из 20), выпадение числа меньше 5 (4 исхода из 20). Положительная оценка за экзамен (3 исхода из 5), температура воздуха выше 0, изделие соответствует по допускам и т.д.

Вероятность — это возможность наступления некоторого события.

• априорная (теоретическая) вероятность,

• эмпирическая вероятность

• субъективная вероятность.

В рамках априорного классического подхода вероятность события оценивается на основе априорной информации. Количество (доля) успешных испытаний и общее количество испытаний известно заранее. В простейшем случае, когда все исходы испытаний равновероятны, их вероятность определяется в соответствии с формулой (классическое определение вероятности):

вероятность события = Х / Т (1)

где X — количество испытаний, в которых произошло событие, Т — общее количество испытаний в пространстве исходов

Вероятность невозможного события равна 0 (т.к. ей не соответствует ни один из исходов выборочного пространства). НО! Справедливо ли обратное утверждение: если вероятность =0, то событие невозможно?

Примеры

Элементарные события: 10-гранный кубик: вероятность выпадения «2» или «<3», или «чет» - рассчитывается по классической формуле.

Вероятность <3(8) & <3(10) = 0.25*0.2= 0.05 (4 из 80 исходов)

В рамках эмпирического подхода вероятность по-прежнему лежит в интервале от 0 до 1 и является результатом деления количества успешных исходов на общее количество испытаний, но вероятность вычисляется на основе наблюдаемой информации, а не априорной.

Примеры

Элементарные события: 10-гранный кубик: вероятность выпадения 2 или «<3» рассчитать по выборке из 10…15 бросков.

Основная задача прикладной статистики – по выборочным данным (наблюдениям) оценить теоретическую вероятность!

Третий подход к определению вероятностей — субъективный. В двух предыдущих случаях вероятность вычислялась совершенно объективно на основе априорной или апостериорной информации. Субъективная вероятность представляет собой шанс, который приписывается событию конкретным человеком. Другой человек может иначе оценивать шансы этого события. Оценки субъективной вероятности различных событий, как правило, основываются на личном опыте, общественном мнении и анализе конкретной ситуации. Субъективная вероятность полезна в ситуациях, когда эмпирическую вероятность события вычислить невозможно

Несколько простых заданий

(1) В трех углах равностороннего треугольника находится по муравью. Каждый из муравьев начинает двигаться в другой случайно выбранный угол по прямой. Какова вероятность того, что ни один из муравьев не столкнется с другим муравьем?

Есть два способа движения, при котором муравьи не встретятся друг с другом: они все должны двигаться по часовой стрелке или все против часовой стрелки. В противном случае встречи им не избежать.

Выберите одного муравья и назовите его, например, Биллом. После того, как Билл решил,

в какую сторону двигаться (по часовой стрелке или против часовой стрелки), другие муравьи должны двигаться в том же направлении, чтобы не столкнуться. Поскольку муравьи принимают решение случайным образом, шансы на то, что второй муравей направится в ту же сторону, что и Билл, — один из двух, аналогично и для третьего муравья эта вероятность такая же. Это значит, что вероятность избежать столкновения — один из четырех.

(2) «Давайте сыграем в русскую рулетку, — так начинается одна из популярных в инвестиционных банках Уолл-стрит тестовых задач. — Вы привязаны к стулу и не можете встать. Вот пистолет. Вот его барабан — в нем шесть гнезд для патронов, и они все пусты. Смотрите: у меня два патрона. Вы обратили внимание, что я их вставил в соседние гнезда барабана? Теперь я ставлю барабан на место и вращаю его. Я подношу пистолет к вашему виску и нажимаю на спусковой крючок. Щелк! Вы еще живы. Вам повезло! Сейчас, до того как мы начнем обсуждать присланное вами резюме, я собираюсь еще раз нажать на крючок. Что вы предпочитаете: чтобы я снова провернул барабан или чтобы просто нажал на спусковой крючок?»

Проще анализировать тот вариант, когда барабан прокручивается. В шести гнездах два патрона или, если вы оптимист, в барабане есть четыре пустых гнезда. Если вы решите вращать барабан, то шансы выжить будут четыре к шести, или два к трем.

В случае выбора второго варианта следует рассуждать так. Все четыре пустых гнезда расположены последовательно друг за другом. Причем одно из этих пустых гнезд только что спасло вашу жизнь. Для трех из этих четырех пустых гнезд следующее гнездо тоже окажется пустым, а четвертое пустое гнездо расположено в барабане как раз перед двумя патронами. Это значит, что если вы не будете проворачивать барабан, то шансы выжить — три из четырех. Три шанса из четырех — это лучше, чем два из трех, поэтому определенно не следует прокручивать барабан еще один раз

(3) Представьте, что вы живете в городе, где есть два роддома - один большой, другой маленький. В определенный день в одном из этих роддомов среди новорожденных оказывается 60% мальчиков. В каком роддоме это, скорее всего, могло бы произойти?

Действительно решение по теории вероятности (которую не зная лучше не поминать в суе) простое: вероятность рождения мальчика 50%, но чем меньше делаешь измерений тем больше погрешность, и соответственно в маленьком роддоме описанный случай вероятнее. Априорная (Теоретическая) и эмпирическая вероятность!