9

4.4. Показатели эффективности (Performance Measures)

Ранее мы показали, как найти размер заказа, который максимизирует ожидаемую прибыль (expected profit). Этот раздел показывает, как рассчитать ряд близких к нему показателей эффективности. Как показывает рисунок ниже, эти показатели тесно связаны.

Для примера, оценивая ожидаемый уровень избытка запасов (expected leftover inventory), мы сначала оцениваем ожидаемые потери продаж (expected lost sales) (которые имеют три входных параметра: размер заказа (the order quantity), значение функции потерь (the loss function table), и стандартное отклонение спроса σ). Затем ожидаемые продажи (expected sales) (которые имеют два входных параметра: ожидаемые потери продаж (expected lost sales) и ожидаемый спрос), и ожидаемый избыток запасов (expected leftover inventory) (который имеет два входных параметра: ожидаемые продажи (expected sales) и размер заказа).

Рис.4.5

Отношения между входными начальными параметрами (прямоугольники) и показателями эффективности (овалы).

Замечание: Некоторые показатели используют другие показатели как входные значения: например, expected sales требуют, как входы expected demand и expected lost sales.

Эти показатели могут оценивать любой размер заказа, а не только заказ, который максимизирует ожидаемую прибыль! Чтобы подчеркнуть этот момент, в этом разделе оцениваются эти показатели, предполагая, что заказано 3,500 единиц Hammer 3/2s. Напомним, что оптимальный размер заказа составляет 4101 единиц.

(1) Expected Lost Sales

Показатель expected lost sales - это ожидаемое количество единиц спроса (случайная переменная), превышающее размер заказа (фиксированное значение). (Поскольку размер заказа измеряется в физических единицах, то продажи и потерянные продажи измеряются также в единицах, а не в деньгах). Например, если мы заказали 3,500 единиц Hammer, но спрос мог оказаться выше и мы могли продать 3,821 единиц, то мы потеряли 3,821 - 3,500 = 321 единиц спроса. Ожидаемые потери продаж (Expected lost sales) – это объем спроса, который не был удовлетворен, и он должен интересовать менеджера даже если эти возможные потери продаж не показываются точно в стандартных бухгалтерских документах.

Обратите внимание, что нас интересуют только expected lost sales. Спрос может быть меньше, чем наш размер заказа, в этом случае потерянные продажи равны 0, или спрос может превысить размер заказа, в этом случае потерянные продажи положительны. Ожидаемые потери продаж (Expected lost sales) – это среднее значение всех этих событий (случаев без потери продаж и всех случаев с положительными потерями продаж).

Как найти ожидаемые потери продаж (expected lost sales) для любого размера заказа? Давайте, во-первых, допустим, что ранее рассмотренная дискретная функция распределения – это наш прогноз спроса. Таблица 4.5 повторяет ту таблицу, но в ней добавлена колонка lossFunction, L(Q) для каждого размера заказа. Функция потерь (Loss function) случайной переменной – это ожидаемое количество, на которое результат случайной величины превышает фиксированное пороговое значение Q.

Например, если O'Neill закажет 2,592 единиц Hammer 3/2, то, согласно Table 4.5, спрос превысит размер заказа в среднем на 841 единицу. Другими словами, ожидаемые потери продаж для компании O'Neill's (expected lost sales) составят 841 единицу. Суммируя, можно сказать, что expected lost sales при заказе Q точно равны значению функции потерь (loss function of the demand distribution) при значении Q (см. приложение A – более подробно о функции потерь).

TABLE 4.5. Hammer 3/2's Empirical Distribution and Loss Function

Q	F(Q)	L(О)	Q	FQ)	L(Q)	Q	F(Q)	L(Q)
800	0.0303	2392	2,592	0.3636	841	3,936	0.6970	190
1,184	0.0606	2020	2,624	0.3939	821	4,000	0.7273	170
1,792	0.0909	1448	2,752	0.4242	743	4,064	0.7576	153
1,792	0.1212	1448	3,072	0.4545	559	4,160	0.7879	130
1,824	0.1515	1420	3,104	0.4848	542	4,352	0.8182	89
1,888	0.1818	1366	3,136	0.5152	525	4,544	0.8485	54
2,048	0.21 21	1235	3,264	0.5455	463	4,672	0.8788	35
2,144	0.2424	1160	3,456	0.5758	376	4,800	0.9091	19
2,208	0.2727	1111	3,680	0.6061	281	4,928	0.9394	8
2,304	0.3030	1041	3,744	0.6364	256	4,992	0.9697	4
2,560	0.3333	863	3,808	0.6667	232	5,120	1.0000	0

Q =Order quantity

F(Q) - Probability demand is less than or equal to the order quantity

L(Q) - Loss function (the expected amount demand exceeds Q)

Таблица 4.5 довольно удобна потому, что дает нам ожидаемое значение потерянных продаж с минимальными усилиями. В самом деле, для любой дискретной функции распределения, нам нужна таблица функции потерь, аналогичная таблице 4.5. В приложении предоставлены функции потерь для распределения Пуассона с различными средними значениями. Приложение С показывает процедуру оценки F функции потерь для любой дискретной функции распределения.

Теперь выполним оценку ожидаемых потерь продаж (expected lost sales) если наш прогноз спроса для Hammer 3/2 представлен нормальным распределением (mean= 3,192 и standard deviation=1,181). Этот процесс фактически не сильно отличается от того, что мы уже делали: во-первых, ищем в таблице Standard Normal Loss Function Table ожидаемое значение потерянных продаж, затем используем z-statistic для нашего значения заказа, и затем преобразовываем standard normal expected lost sales в expected lost sales для нашего нормального распределения.

Допустим, заказано 3,500 единиц Hammer 3/2s. Сначала найдем значение z-statistic, которое соответствует Q = 3,500:

z = (Q – μ) / δ = (3500 – 3192) / 1181 = 0.26

Теперь используем таблицу Standard Normal Loss Function Table для поиска значения expected lost sales, если размер заказа равен z = 0.26; L(z) = L(0.26) = 0.2824. Для преобразования Standard normal expected lost sales в expected lost sales для нашего нормального распределения используем следующее выражение:

Expected lost sales = δ * L(z)

где δ = Standard deviation of the normal distribution representing demand

L(z) = Loss function with the standard normal distribution

Поэтому при заказе 3,500 единиц Hammer 3/2s мы можем ожидать потери 1,181*0.2824 = 334 единиц спроса.

Если вы хотите обойтись без таблицы Standard Normal Loss Function Table, тогда вы можете оценить значение loss function для нормального распределения в Excel с помощью следующего уравнения:

L(z) = Normdist(z,0,1,0) - z*(1 - Normsdist(z))