5.3. Критерии оптимальности автоматических систем

В качестве критериев оптимальности управления, как правило, рассматриваются интегральные критерии качества. В общем случае критерий оптимальности зависит как от задающего воздействия, так и от регулируемой величины; он может зависеть также от величины управления и времени. Поскольку в большинстве случаев главной задачей регулирования является наилучшее (с той или иной точки зрения) приближение регулируемой величины к заданию, то целесообразно рассматривать частный случай критерия (5.11), являющийся функцией только ошибок системы:

где —ошибки, называемые координатами системы, причем.

В выражение (5.14) входят только ошибки системы от нулевого до n-го порядка включительно (управление входит в это выражение неявно, черезn-ю производную регулируемой величины). Одним из видов критерия (5.14) является интегральный критерий:

где — весовые константы, определяющие характер переходного процесса. В частном случае,получаем критерий оптимальности в виде интегральной квадратичной ошибки:

Минимизируя обобщенный интегральный критерий, мы запрещаем длительное существование не только самой ошибки, но и всех ее производных во времени.

Получается не только быстрый, но и плавный, без резких колебаний, переходный процесс. Характер переходного процесса определяется выбранными значениями весовых коэффициентов .

Можно также искать минимум суммы квадратичной ошибки и некоторой функции управления, представляющей, например, потери в силовой части системы:

В критерий в явном виде входит управление. Критерий типа (5.17) широко применяется при синтезе оптимальных автоматических систем. Более предпочтительно и логически обоснованно использование критерия оптимальности в форме (5.14), поскольку он является явной функцией ошибок системы (а их минимизация — важная задача автоматической системы) и в неявной форме — функцией управления.

Одним из частных случаев критерия оптимальности (5.14) является следующий критерий (при F =1):

Минимизация этого критерия приводит к решению задач на быстродействие.

5.4. Применение вариационного исчисления в оптимальНом управлении

Вариационное исчисление применяется для определения экстремали, т. е. оптимального изменения во времени какой-либо величины. По экстремали можно найти оптимальное управление в виде функции от времени. Будем рассматривать интегральный квадратичный критерий качества управления нелинейными объектами при произвольной форме задающего воздействия.

Главная задача классического вариационного исчисления заключается в том, чтобы найти такую однозначную и непрерывную функцию (t) (экстремаль), имеющую непрерывные производные по времени до n-го порядка включительно, для которой заданная интегральная функция от , (функционал):

принимает экстремальное значение. Искомая экстремаль должна удовлетворять граничным условиям:

где n— порядок системы.

В постановке задачи не учитываются ни уравнение объекта, ни какие-либо ограничения координат системы. Функция (t) рассматривается в общем виде. Это может быть ошибка системы(t) =(t) –x(t).

Основной теоремой вариационного исчисления является теорема Эйлера: если критерий функционала существует и достигается в классе кусочно-гладких функций, то он достигается на решениях дифференциального уравнения Эйлера.

Экстремаль определяется, решая систему дифференциальных уравнений второго порядка (уравнений Эйлера):

где , либо решая уравнение порядка 2n(уравнение Эйлера-Пуассона):

Уравнения классического вариационного исчисления (5.21, 5.22) являются лишь необходимыми, но не достаточными условиями экстремума функции. Достаточность получаемых условий часто ясна из физических соображений.

Отыскание экстремали в классе определенных выше функций (t), удовлетворяющих граничным условиям (5.20), накладывает ограничения на подынтегральную функциюFминимизируемого функционала (5.19). ФункцияFдолжна быть однозначна и непрерывна по всем координатам системы(). В интервале времени [0,t₁]. Для удовлетворения условиям (5.20), необходимо, чтобы функциябыла всегда дифференцируемой, по крайней мере, по нулевой () иn-ой (координатам системы.

В результате решения одного из уравнений (5.21, 5.22) находим выражение для экстремали в виде функции времени (t), а не оптимальное управление в форме (5.10). Эти уравнения являются исходными для решения сформулированной задачи синтеза оптимального управления.

Пример, найдем экстремаль, для которой выражение:

достигает минимума, причем заданы граничные условия: .

Система первого порядка (в подынтегральное выражение входят две координаты: , и ее первая производная⁽¹⁾). Уравнение Эйлера-Пуассона:.

Уравнение Эйлера-Пуассона: , с учетом граничных условий:

(5.24)

где .

Если = 0, то тогда экстремаль представляет собой следующую разрывную функцию:

(5.25)

Выражение (5.25) означает мгновенное устранение ошибки, что практически невозможно. Критерий оптимальности (5.23), при = 0, нельзя использовать для нахождения экстремали, являющейся непрерывной кривой и удовлетворяющей заданным граничным условиям.