12.6. Медианный фильтр

Медианная фильтрация — метод нелинейной обработки сигна­лов, разработанный Тьюки (21]. Этот метод оказывается полез­ным при подавлении шума на изображении. Одномерный медиан-

Рис. 12.6.1. Примеры медианной фильтрации простейших дискретных сигна­лов, L = 5.

а — ступенчатый переход: б — пилообразный переход; в — одиночный импульс; г — сдвоенный импульс; д — строенный импульс; е — треугольный сигнал.

ный фильтр представляет собой скользящее окно, охватывающее нечетное число элементов изображения. Центральный элемент заменяется медианой всех элементов изображения в окне. Медиа­ной дискретной последовательности а_и а₂> ■••> ^aN Для нечетного N является тот ее элемент, для которого существуют (N — 1)/2 элементов, меньших или равных ему по величине, и (N — 1)/2 элементов, больших или равных ему по величине. Пусть в окно попали элементы изображения с уровнями 80, 90, 200, ПО и 120; в этом случае центральный элемент следует заменить значением

ПО, которое является медианой упорядоченной последователь­ности 80, 90, ПО, 120, 200. Если в этом примере значение 200 является шумовым выбросом в монотонно возрастающей последо­вательности, то медианная фильтрация обеспечит существенное

ние 200 соответствует полезному импульсу сигнала (при использо­вании широкополосных датчиков), то обработка приведет к потере четкости воспроизводимопхизобра-жения. Таким образом, медиан­ный фильтр в одних случаях обес­печивает подавление шума, в дру­гих — вызывает нежелательное подавление сигнала.

На рис. 12.6.1 показано воз­действие медианного и усредня­ющего (сглаживающего) фильтров с пятиэлементным окном на сту­пенчатый, пилообразный, им­пульсный и треугольный дискрет­ные сигналы. Из этих диаграмм видно, что медианный фильтр не влияет на ступенчатые или пи­лообразные функции, что обычно является желательным свойством. Однако этот фильтр подавляет импульсные сигналы, длитель­ность которых составляет менее половины ширины окна. Фильтр также вызывает уплощение вер­шины тпеугольной функции.

Однако медиана суммы двух произвольных последовательностей f (/) и g (/") не равна сумме их медиан:

Возможности анализа действия медианного фильтра ограни­чены. Можно показать, что медиана произведения постоянной К и последовательности f (/) равна

Это неравенство можно проверить на примере последовательностей |80, 90, 100, ПО, 120 и 80, 90, 100, 90, 80.

в которых длительность импульсных сигналов составляет менее половины ширины окна, будут подвергаться изменениям после каждого цикла обработки.

г медианного фильтра,

Рис. 12.6.3. Образцы изображений, обработанных одномерным медианным фильтром с целью подавления импульсных помех.

а — исходное изображение с импульсными помехами (15 искаженных элементов в каж­дой строке); б — результат медианной фильтрации при L = 3; в — результат медианной фильтрации при L ~ 5; г — результат медианной фильтрации при L = 7.

изображения. Если ослабление сигнала незначительно, окно фильтра расширяют до пяти элементов. Так поступают до тех пор, пока медианная фильтрация начинает приносить больше вреда, чем пользы. Другая возможность состоит в осуществлении каскад­ной медианной фильтрации сигнала с использованием фиксиро ванной или изменяемой ширины окна. В общем случае те области которые остаются без изменения после однократной обработю фильтром, не меняются и после повторной обработки. Области

с. 12.6.4. Образцы изображений, обработанных одномерным медианным льтром с целью подавления гауссова шума. - исходное изображение с гауссовым шумом с — 25; б — результат медианной филь-1Ции при L — 3; б — результат медианной фильтрации при L ~ 5; г — результат ме­ткой фильтрации при L = 7. Концепцию медианного фильтра легко обобщить на два изме-:ния, применяя двумерное окно желаемой формы, например пря->угольное или близкое к круговому. Очевидно, что двумерный 'дианный фильтр с окном размера L x L обеспечивает более (фективное подавление шума, чем последовательно примененные ризонтальный и вертикальный одномерные медианные фильтры окном размера L X 1; двумерная обработка, однако, приводит более существенному ослаблению сигнала. На рис. 12.6.2 пока-

зано влияние двумерной медианной фильтрации на пространствен­ный импульсный сигнал. Использовались фильтры с окнами двух типов: квадратным размера 3x3 и крестообразным размера 5X5. Как видно, медианный фильтр с квадратным окном разрушил углы изображенного квадрата, а фильтр с крестообразным окном оставил его без изменения.

На рис. 12.6.3 и 12.6.4 представлены образцы изображений, подвергнутых медианной фильтрации с целью подавления шумов. Как видно, медианный фильтр более эффективно подавляет разроз­ненные импульсные помехи, чем гладкие шумы. Медианную филь­трацию изображений в целях подавления шумов следует считать эвристическим методом. Ее нельзя применять вслепую. Напро­тив, следует проверять получаемые результаты, чтобы убедиться в целесообразности медианной фильтрации.