Повторные независимые испытания
На
практике приходится сталкиваться с
такими задачами, которые можно представить
в виде многократно повторяющихся
испытаний, в результате каждого из
которых может появиться или не появиться
событие 
.
При этом интерес представляет исход не
каждого "отдельного испытания, а
общее количество появлений события 
в
результате определенного количества
испытаний. В подобных задачах нужно
уметь определять вероятность любого
числа 
появлений
события 
в
результате 
испытаний.
Рассмотрим случай, когда испытания
являются независимыми и вероятность
появления события 
в
каждом испытании постоянна. Такие
испытания называются повторными
независимыми.
Примером независимых испытаний может служить проверка на годность изделий, взятых по одному из ряда партий. Если в этих партиях процент брака одинаков, то вероятность того, что отобранное изделие будет бракованным, в каждом случае является постоянным числом.
Формула Бернулли
Воспользуемся
понятием сложного
события,
под которым подразумевается совмещение
нескольких элементарных событий,
состоящих в появлении или непоявлении
события 
в 
–м
испытании.
Пусть
проводится 
независимых
испытаний, в каждом из которых
событие 
может
либо появиться с вероятностью 
,
либо не появиться с вероятностью 
.
Рассмотрим событие 
,
состоящее в том, что событие 
в
этих 
испытаниях
наступит ровно 
раз
и, следовательно, не наступит ровно 
раз.
Обозначим 
появление
события 
,
a 
—
непоявление события 
в 
–м
испытании. В силу постоянства условий
испытания имеем
Событие 
может
появиться 
раз
в разных последовательностях или
комбинациях, чередуясь с противоположным
событием 
.
Число возможных комбинаций такого рода
равно числу сочетаний из 
элементов
по 
,
т. е. 
.
Следовательно, событие 
можно
представить в виде суммы сложных
несовместных между собой событий, причем
число слагаемых равно 
:
где
в каждое произведение событие 
входит 
раз,
а 
— 
раз.
Вероятность
каждого сложного события, входящего в
формулу (3.1), по теореме умножения
вероятностей для независимых событий
равна 
.
Так как общее количество таких событий
равно 
,
то, используя теорему сложения вероятностей
для несовместных событий, получаем
вероятность события 
(обозначим
ее 
)
|
(3.2) |
Формулу
(3.2) называют формулой
Бернулли,
а повторяющиеся испытания, удовлетворяющие
условию независимости и постоянства
вероятностей появления в каждом из них
события 
,
называют испытаниями
Бернулли,
или схемой
Бернулли.
Пример 1. Вероятность выхода за границы поля допуска при обработке деталей на токарном станке равна 0,07. Определить вероятность того, что из пяти наудачу отобранных в течение смены деталей у одной размеры диаметра не соответствуют заданному допуску.
Решение. Условие
задачи удовлетворяет требования схемы
Бернулли. Поэтому, полагая 
,
по формуле (3.2) получаем
Пример 2. Наблюдениями установлено, что в некоторой местности в сентябре бывает 12 дождливых дней. Какова вероятность того, что из случайно взятых в этом месяце 8 дней 3 дня окажутся дождливыми?
Решение.
