Нумерация алгоритмов

В данной лекции будут приведены эффективные кодирования натуральными числами множества всех алгоритмов для каждой из рассматриваемых моделей алгоритмов: машин Тьюринга, МПД-программ, частично рекурсивных функций. Данные результаты относятся к числу фундаментальных, так как они используются для получения многих важных фактов, в частности, для установления невычислимости ряда конкретных функций.

1. Нумерация машин Тьюринга

Зафиксируем счетные множества символов {a₀, a₁, …, a_i, …} и {q₀, q₁, …, q_j, …} и будем считать, что внешние алфавиты и алфавиты внутренних состояний всех машин Тьюринга берутся из этих множеств. При этом будем считать, что a₀ принадлежит всем внешним алфавитам машин и интерпретируется как пустой символ, а буквы q₀, q₁ принадлежат всем внутренним алфавитам машин и всегда означают заключительное и начальное состояния соответственно. Опишем теперь единый способ представления информации о машинах с помощью кодирования. Каждому символу из множества {L, R, E, a₀, a₁, …, a_i, …, q₀, q₁, …, q_j, …} поставим в соответствие двоичный набор согласно табл.15.1.

Далее, команде I машины Тьюринга Т, имеющей вид qa  q’a’d, ставится в соответствие двоичный набор вида

Код (I) = Код(q) Код(a) Код(q’) Код(a’) Код(d),

в котором коды букв приписаны друг к другу. Пусть машина Т имеет алфавиты A = {a₀, a₁, …, a_m} и Q = {q₀, q₁, …, q_n}. Упорядочим команды машины Т в соответствии с лексикографическим порядком левых частей команд:

q₁, a₀, q₁, a₁, …, q₁, a_m, q₂, a₀, …, q₂, a_m, …, q_n, a₀, …, q_n, a_m.

Пусть I₁, …, I_n(m+1), — соответствующая последовательность команд. Тогда машине Т поставим в соответствие двоичный набор вида

Код(T) = Код(I₁) Код(I₂)… Код(I_n(m+1)),

полученный приписыванием друг к другу кодов команд.

Таблица 15.1

	Символ	Код	Число нулей в коде
Символы сдвига	R L E	10 100 1000	1 2 3
Символы алфавита ленты	a0 a1 … ai …	10000 1000000 … 100…00 …	4 6 … 2i + 4 …
Символы алфавита состояний	q0 q1 … qi …	100000 10000000 … 100…00 …	5 7 … 2j + 5 …

Пример 15.1. Пусть дана машина Тьюринга Т. A = {a₀, a₁} и Q = {q₀, q₁}:

.

Тогда имеем Код(T) = 10⁷10⁴10⁵10⁴10³10⁷10⁶10⁵10⁶10³.

Легко видеть, что машина Т переводит конфигурации в конфигурации, и поэтому, представляя натуральное числоn как , получаем, что машинаТ вычисляет функцию f(x) = x.

Ясно, что указанное кодирование является алгоритмической процедурой. Имея код машины, однозначно восстанавливается множество ее команд — для этого надо выделить подслова, начинающиеся с единицы с нулями до следующей единицы. Пятерка таких подслов образует команду. Далее, легко видеть, что имеется алгоритмическая процедура, позволяющая по произвольному слову из 0, 1 выяснять — будет ли это слово служить кодом некоторой машины Тьюринга. Будем теперь рассматривать код машины Тьюринга как двоичную запись натурального числа. Данное число назовем номером машины Тьюринга. Поскольку все коды начинаются с единицы, то разным кодам соответствуют разные числа. Упорядочим машины Тьюринга по возрастанию чисел, представляемых их кодами, и занумеруем их Т₀, Т₁, …, Т_n, … .

Номер машины Т в этом упорядочении будем обозначать n_T.

Указанное упорядочение является эффективным в том смысле, что существует алгоритм, который по n выдает Код(T_n) и существует алгоритм, который, наоборот, по Код(T_n) выдает n_T.

Если обозначить через f_n(x) одноместную функцию, которую вычисляет машина Тьюринга T_n, то в результате получим нумерацию всех одноместных частично рекурсивных функций:

f₀(x), f₁(x), …, f_n(x), …

Согласно доказанному, каждая одноместная частично рекурсивная функция представлена в этой последовательности. Можно доказать, что каждая такая функция представлена в последовательности (5) бесконечное число раз. Аналогично можно определить нумерацию n-местных функций.