3.6.2 Пример №1 решения задачи к4

Исходные данные:

1. ось вращательного движения пластины D перпендикулярна плоскости чертежа и проходит через точку О₁;

_{2) закон вращательного движения пластины (рад);}

2. закон движения точки М по поверхности пластины ОМ=S_r=20 t² (м);

3. размер a = 40 см;

4. Определить абсолютную скорость и абсолютное ускорение точки М для момента времени t = t₁= 1 с.

Решение

1. Тело D – квадратная пластина со стороной (рисунок 9) вращается в плоскости чертежа относительно оси, перпендикулярной этой плоскости и проходящей через точку О₁. Подвижная система координат жестко связана с телом D . Точка М совершает сложное движение:

относительное – вдоль прямолинейного канала пластины по закону ОМ = S_r =20 t²;

переносное – вместе с пластиной, вращающейся согласно закону .

2. Считаем, что положение пластинки на рисунке соответствует углу поворота в заданный момент времениt₁ = 1 c.

3. Определим положение точки М на движущемся теле D в заданный момент времени t₁ = 1 с:

S_r = OM = 20 t² = = 20 см.

Изобразим точку на теле D в заданном положении (рисунок 9).

4. Найдем абсолютную скорость точки М по формуле

. (1)

Относительную скорость V_r найдем, дифференцируя по времени закон относительного движения точки:

Рисунок 9

При t₁ = 1 c, V_r = 40= 40cм/с. Вектор направлен в сторону, соответствующую положительному направлению относительной координатыS.

В переносном движении точка М в заданный момент времени движется вместе с вращающейся пластинкой D по окружности радиуса О₁М . Скорость точки при переносном вращательном движении найдем по формуле

где

При t₁ = 1 c;

Положительное значение угловой скорости соответствует вращению пластинки D вокруг оси О₁ в направлении, указанном на рисунке, т. е. Противоположном движению часовой стрелки. Расстояние точки М до оси вращения определим по формуле

Вектор переносной скорости направлен перпендикулярно радиусу О₁М в сторону переносной угловой скорости (рисунок 9).

Модуль абсолютной скорости найдем по ее проекциям на оси координат:

(2)

Оси координат Х и Yнаправим, как показано на рисунке 61. Для вычисления проекций абсолютной скорости на оси координат найдем значения тригонометрических функций:

Тогда

5. Абсолютное ускорение точки найдем по формуле

. (3)

В относительном движении точка движется по прямолинейной траектории, поэтому относительное ускорение характеризует изменение относительной скорости только по величине и определяется по формуле

Рисунок 10

Вектор относительного ускорения (рисунок 10) направлен так же, как и вектор относительной скорости, так как знакиисовпадают, т.е. точка М совершает относительное движение с ускорением.

В переносном движении точка движется по криволинейной траектории – окружности радиуса О₁М , поэтому переносное ускорение будет представлено двумя составляющими:

, (4)

где - нормальное ускорение, характеризует быстроту изменения переносной скорости точки по направлению, причем векторнаправлен к оси вращения О₁ :

;

- касательное ускорение, характеризует быстроту изменения пере-

носной скорости по модулю, вектор направлен по касательной к траектории переносного движения точки:

где - угловое ускорение пластиныD в ее переносном вращательном движении.

При t₁ = 1 с

Так как знаки угловой скорости и углового ускорения совпадают, то переносное вращательное движение является ускоренным.

Таким образом

Вектор направлен перпендикулярно векторув сторону, соответствующую направлению углового ускоренияпереносного вращательного движения телаD (рисунок 6).

Модуль ускорения Кориолиса определяют по формуле

так как вектор угловой скорости перпендикулярен плоскости чертежа, т.е.. И тогда

Так как ось вращения тела D перпендикулярна плоскости чертежа, то для определения направления вектора ускорения Кориолиса необходимо лишь повернуть вектор относительной скорости на 90⁰ в сторону, соответствующую направлению переносной угловой скорости (рисунок 10).

С учетом (3) и (4) формула для вычисления абсолютного ускорения примет вид:

(5)

Для нахождения модуля абсолютного ускорения спроецируем векторное равенство (5) на координатные оси:

Тогда

1. Пример №2 решения задачи К4

3.Исходные данные:

1) ось АВ вращательного движения пластины D находится в плоскости чертежа;

_{2) закон вращательного движения пластины (рад);}

3. закон движения точки М по поверхности пластины

(м);

4) радиус пластины R = 0,6, м.

Определить абсолютную скорость и абсолютное ускорение точки М для момента времени t = t₁= 1 с.

Решение

1. Тело D - пластинка радиуса R (рисунок 11), вращающаяся по закону вокруг неподвижной вертикальной оси АВ (Z), совпадающей с плоскостью чертежа. Точка М совершает сложное движение , состоящее из относительного движения точки по ободу тела D в соответствии с законом и переносного движения вместе с пластиной, совершающей вращательное движение. При этом в переносном движении точка перемещается по окружности, расположенной в плоскости, перпендикулярной оси вращенияZ, причем центр окружности находится на этой оси. Считаем, что в момент времени t = t₁, тело D заняло положение, показанное на рисунке 63.

Рисунок 11

2. Определим положение точки M на пластине D в момент времени

t₁ = 1с: м.

Дуге соответствует центральный угол

Так как точка О соответствует начальному положению точки М на теле D, то угол отложим от горизонтального диаметра ОО₁ в сторону, соответствующую положительному направлению отсчета относительной координаты S (рисунки 11, 12) поскольку значение S_r положительно.

3. Определим абсолютную скорость точки по теореме о сложении скоростей:

Относительную скорость определим из закона относительного движения:

При t₁ = 1 c : .

Рисунок 12

Численное значение относительной скорости положительно и поэтому вектор направляем перпендикулярно радиусу О₁М в сторону положительного отсчета относительной координаты S.

Так как переносное движение является вращательным, переносная скорость точки зависит от угловой скорости вращения тела и расстояния h до оси вращения:

где

При t₁ = 1 с получим :

Так как >0 , то пластинка вращается в направлении, совпадающим с указанным на рисунке 7 углом поворотателаD. При этом вектор угловой скорости совпадает с положительным направлением осиZ . И тогда вектор переносной скорости будет направлен перпендикулярно отрезку МК в сторону вращения тела, т.е. он направлен перпендикулярно плоскости чертежа (за чертеж, в противоположенную сторону от положительного направления оси Х). Численное значение переносной скорости равно

Так как векторы относительной скорости и переносной скоростивзаимно перпендикулярны, то абсолютную скорость точки определим по формуле:

4. Абсолютное ускорение точки определим по теореме Кориолиса:

(1)

Так как в относительном и переносном движениях точка движется по криволинейным траекториям, то относительная и переносная скорости будут изменяться по модулю и направлению, а векторы ускорений ибудут содержать касательную и нормальную составляющие. Тогда формула (1) примет вид

(2)

Относительное нормальное ускорение зависит от относительной скорости и радиуса кривизны траектории относительного движения точки, т.е. радиусаR пластины D :

Вектор направлен к точке О₁ – центру кривизны траектории точки М в ее относительном движении.

Относительное касательное ускорение характеризует изменение модуля относительной скорости с течением времени

Вектор направлен перпендикулярно векторув сторону, так как знаки относительной скорости точки и ее относительного касательного ускорения совпадают.

Переносное нормальное ускорение зависит от угловой скорости вращающегося тела и расстояния до оси вращения:

Вектор направлен вдоль отрезка МК к оси вращения тела, т.е. к центру траектории точки М в ее переносном движении. Переносное касательное ускорение точки зависят от углового ускорения телаи расстояния точки до оси вращения тела :

где

Знак углового ускорения совпадает со знаком угловой скорости, следовательно, переносное вращательное движение является ускоренным

Вектор направлен перпендикулярно векторуи совпадает с направлением вектора переносной скорости, так как знаки их численных значений одинаковы.

Модуль ускорения Кориолиса определим по формуле

(3)

Перенесем в точку М вектор угловой скорости . Угол между векторамиисоставляет 60⁰, следовательно:

Для определения направления вектора ускорения Кориолиса спроецируем вектор на плоскость, перпендикулярную векторуи повернем полученную проекцию на 90⁰ в сторону переносного вращения тела D. Таким образом, вектор будет направлен перпендикулярно плоскости чертежа в сторону, соответствующую положительному направлению оси Х.

Модуль абсолютного ускорения точки найдем, проецируя векторное равенство (14) на координатные оси:

(4)

где