Лиопо В.А. - Сборник задач по кристаллографии (2000)

Добавил:

fench Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Казанский национальный исследовательский технологический университет

Предмет:

Химия

Файл:

ось 1 (Самосовпадение):

.pdf

Скачиваний:

304

Добавлен:

16.08.2013

Размер:

404.75 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 73 4 5 6 7 > Следующая >>>

z z′

600

z, z′

д)	y		е)	y
д)	y		е)	y
y/		x/	x/		y/
y/					y/
		600			300

z,	z′	x	z,	z′	x

Рис. 7

Задача 8.

Как следует из рис. 8, матрица отражения указанной в условии

задачи плоскости имеет вид:
	cos 2ϕ		sin 2ϕ	0
m =		sin 2ϕ	− cos 2ϕ	0
					.
		0	0	1

Так как m2 = E ,	где E - единичная матрица, то группа отражения в
m имеет вид: m ,	E .

y x/

z, z/

Рис. 8

Задача 9.

а) Пусть ось n проходит через координатную ось z. Группа поворота вокруг этой оси включает n элементов, матричная запись которых имеет вид

cos

2π

− sin

2π

(Ln )(k) =

sin

2π

cos

2π

, k = 1,2 , ..n.

Плоскость отражения (m) совместима с координатной плоско-

стью хz, тогда отражение в этой плоскости опишется матрицей
1		0	0
	0	− 1	0
mxz =				.
	0	0	1

Взаимодействие (Ln )(k)

и mxz

приводит к появлению операций, опи-

сываемых матрицами

cos

2π

sin

2π

(Ln )(k)

k −

mxz =

sin

2π

cos

2π

, которые соответствуют матрицам

отражения в плоскостях, проходящих через ось z под углом πnk (см.

задачу 8). Число таких плоскостей равно n.

б) Взаимодействие оси (Ln )(k)	и оси 2, ей перпендикулярной (пусть 2
идет вдоль оси х)
	1		0	0
(2) =		0	− 1	0	,
(2) =		0	− 1	0	,
		0	0
		0	0	− 1

приводит к n осям второго порядка вида

cos

2π

sin

2π

sin

2π

− cos

2π

− 1

Эти оси 2 лежат в координатной плоскости ху, и их число равно n.

Задача 10.

Запишем матрицы поворота вокруг оси 2, идущей вдоль оси z (2z), отражение в плоскости, совпадающей с координатной плоскостью х у (mxу) и отражением в центре симметрии, совпадающем с началом

координат (1) :

	−	1 0			0			1		0		0
(2z) =		0 − 1 0				, (mху) =			0	1			,
(2z) =		0 − 1 0				, (mху) =			0	1		0	,
		0	0		1				0	0	−
		0	0		1				0	0	−	1
				−	1	0	0
			(1) =		0	− 1 0
			(1) =		0	− 1 0		.
					0	0
					0	0	− 1
						23

а) Поворот вокруг четной оси обязательно включает и поворот на 1800. То есть в группе четного поворота в качестве подгруппы фигурирует группа поворота вокруг оси 2.

(2z) (mху) = (mху) (2z) = (1) .

б) (mху) (1) = в) (2z) (1) = (1)

(1) (mху)= (2z). (2z) = (mху).

Задача 11.

Рассмотрим две плоскости, лежащие в координатных плоскостях: mx —перпендикулярна оси х , mу — перпендикулярна оси у.

− 1 0		0			1	0		0
	0 1	0			0	− 1		0	,
mх =	0 1	0	, mу =		0	− 1		0	,
	0 0	1			0	0		1
	0 0	1			0	0		1
			− 1		0	0
				0	− 1 0			= (2z),
(mх mу) = (mу) (mх)=				0	− 1 0			= (2z),
				0	0	1
				0	0	1	Ζ

2z — поворот вокруг оси 2, совпадающей с осью z.

Задача 12.
Матрицу (mϕ )		смотрите в задаче 8.
1		0	0				cos2ϕ	sin 2ϕ		0
	0	1	0		, (mϕ ) =		sin 2ϕ −		cos2ϕ	0	,
mz =	0	1	0		, (mϕ ) =		sin 2ϕ −		cos2ϕ	0	,
	0	0					0		0	1
	0	0	− 1				0		0	1
					cos2ϕ		sin 2ϕ		0
mϕ	mz = mz					sin 2ϕ	− cos2ϕ		0	,
mϕ	mz = mz			mϕ =		sin 2ϕ	− cos2ϕ		0	,
						0	0
						0	0		− 1
						24

что соответствует повороту вокруг оси 2, лежащей в плоскости ху под углом ϕ к оси х.

Задача 13.

Указанные операции точечной симметрии описываются матрицами:

		1	−			3	0		1 0			0
	2			2

1) (6z) =	3			1			0	; 2) 2х =	0	− 1		0 ;
	2				2

	0			0			1			0	−
									0			1

	−	1	0	0
3) (1) =		0	− 1	0
					.
		0	0
				− 1

1) а), б), д) — отражения в плоскости, проходящей через ось z под углом 1200 к оси х.

	−		1		3		0
		2		2
(1) (2х) (6z) = (2х) (1) (6z) =(2х)(6z) (1) =
		3				1	0	.
		2		2
							1
		0		0

2)в), г), е) - отражение в плоскости, проходящей через ось z под углом 600 к оси х.

				−		1		3		0
				−	2		2			0
(1)	(6z)(2х) =(6z) (1)	(2х) =(6z)(2х) (1)			2		2
			=		3				1	0	.
			=		2		2			0	.
					2		2			1
					0		0			1

Задача 14.

	1		0		0	− 2		2	0	− 2			2		0
							1	3				1		3
а)		0					2	− 2					2
			− 1 0			−			0 =	2					0 ,
							3	1			3		1

		0	0	−			0	0	1		0			0 −
					1										1

поворот вокруг оси 2, лежащей в плоскости ху, под углом 600 к оси х;

− 2		2	0	1 0				0		−	2	− 2	0
	1	3									1	3
	2	− 2			0	− 1			=		2	2
б) −			0					0		−			0 ,
	3	1									3	1

	0	0 1			0	0	−				0	0
								1					− 1

поворот вокруг оси 2, лежащей во второй четверти плоскости ху, под углом 300 к оси у.

	1 0				0	−	1 0			0	0		− 1 0		0		1	0
в)		0	− 1		0		0	1		0		1	0	0		− 1 0		0
															=
		0	0	−			0	0	−			0	0	1		0	0	1
					1					1

поворот вокруг оси, совпадающей с осью z, на угол 2700 (против часовой стрелки).

Задача 15.

Матрица - генератор (матрица элементарного преобразования), записанная в виде (q)

	′	′	′
	cos x x	cos y x	cos z x
(q)=	cos x′y	cos y′y		,
(q)=	cos x′y	cos y′y	cos z′y	,
	′	′	′
	cos x z	cos y z	cos z z

где х у z - исходные положения координатных осей, x′ y′ z′ - поло-

жения координатных осей после выполнения операции симметрии. Элементы группы рассчитываются следующим образом:

	1		0	0
(q)1, (q)2... (q)n , причем (q)n= (E) =		0	1	0
					.
		0	0	1

То есть указанные в задаче группы записываются:

	− 1 0					0								1 0						0
а)		0	− 1			0		(Е);					б)		0 − 1					0			(Е);
а)		0	− 1			0		(Е);					б)		0 − 1					0			(Е);
		0	0		−										0 0				−
		0	0		−	1									0 0				−		1
	− 1 0			0						− 2					2		0		− 2				− 2
													1		3							1	3
													3			1						3		1
в)		0	1	0			(Е);			г)	−		3	−		1	0		,			3	−	1
в)		0	1	0			(Е);			г)	−		2	−		2	0		,			2	−	2

		0	0									0			0 1					0			0
		0	0	− 1								0			0 1					0			0
	0 0 1					0 1			0					1 0					0
д)		1 0 0					0	0	1	(Е),			е)		0 1				0			(Е);
д)		1 0 0			,		0	0	1	(Е),			е)		0 1				0			(Е);
		0 1 0					1	0	0						0 0
		0 1 0					1	0	0						0 0				− 1
	0 1			0			−	1	0	0		0		− 1 0
		− 1	0	0		,		0	− 1	0	,		1	0			0	, (Е).
ж)		− 1	0	0		,		0	− 1	0	,		1	0			0	, (Е).
		0	0	1				0	0 1				0	0 1
		0	0	1				0	0 1				0	0 1

Задача 16.

0 (Е);

а) D2-222; б) С2v -mm2; в) C3v-3m; г) S4- 4 ; д) С4h-4/m; е) D4h-

4/mmm; ж) C6h-6/m; з) D6h-6/mmm; и) Тh-m3; к) 0-432; л) Тd- 4 3m.

Задача 17.

а) mmmmm2x, mm2y, mm2z, 2x/m, 2у/m, 2z/m, 2x, 2y, 2z, mx, my, mz, 1.

б) 6mm-3m, mm2, 3, 2, m.

в) 4/mmm-4mm, 4/m, mmm, mm2, 2/m, 2, m, 1.

г) 3 m- 3 , 3, m.

Задача 18.

В точечной группе m3m имеются различным образом ориентированные элементы симметрии. Матрицы соответствующих операций имеют вид.

				− 1						0	0
						0			−	1	0
Центр симметрии:						0			−	1	0		;
						0				0	−
						0				0	−	1							− 1
								1		0 0					1 0		0		− 1		0	0
Плоскости отражения:									0	1	0			;		0 − 1	0	;		0	0 −		1 ;
									0	0 −						0 0	1			0
									0	0 −		1				0 0	1			0	− 1 0
0			− 1 0				0			1 0				0 0			− 1		0		0 1
	− 1		0 0			;		1		0 0			;		0 1		0	;		0	− 1 0		;
	− 1		0 0			;		1		0 0			;		0 1		0	;		0	− 1 0		;
	0		0 1					0		0 1					− 1 0		0			1	0 0
	0		0 1					0		0 1					− 1 0		0			1	0 0
0		0	1		1				0	0
	0	1 0				0 0				1
	0	1 0		;		0 0				1	;
	1	0	0			0			1	0
	1	0	0			0			1	0

		−	1		0 0							− 1 0				0				−	1 0				0					− 1		0		0
оси 2:			0	−		1		0			;		0	1		0					0	1			0			;			0	0		1
оси 2:			0	−		1		0			;		0	1		0			;		0	1			0			;			0	0		1	;
			0		0 1								0								0 0			−							0 1 0
			0		0 1								0	0 − 1							0 0			−		1					0 1 0
		0		1 0								0		− 1			0			0 0					1						0	0		− 1
			1	0 0							;		− 1	0			0				0 − 1 0							;			0 − 1 0					;
			1	0 0							;		− 1	0			0			;	0 − 1 0							;			0 − 1 0					;
			0	0 −									0	0 −							1 0				0						1 0				0
			0	0 −				1					0	0 −				1			1 0				0					−	1 0				0
		− 1				0				0
			0			0				−			;
			0			0				−	1		;
			0			− 1				0
			0			− 1				0
		0		0 1							0			0 − 1					0			0	1					0			0 − 1
оси 3*:			1	0		0			;				1	0	0			;		− 1		0		0		;			1		0		0		;
оси 3*:			1	0		0			;		−		1	0	0			;		− 1		0		0		;			1		0		0		;
			0	1 0								0		1 0						0 − 1				0						0	− 1 0
			0	1 0								0		1 0						0 − 1				0						0	− 1 0
0 1				0		0						1 0						0		− 1 0				0						− 1 0
	0		0	1					0			0			;			0		0		1	;			0				0	−		(4 оси 3);
	0		0	1		;			0			0		− 1	;			0		0		1	;			0				0	−	1	(4 оси 3);
	1 0			0				− 1 0									−	1 0 0								1				0
	1 0			0				− 1 0						0			−	1 0 0								1				0	0
		0		1 0							0 −			1	0			0 0 1							0					0	− 1
оси 4:			1	0		0				;		1		0	0		;			0	1	0		;			0			1	0		;
оси 4:		−	1	0		0				;		1		0	0		;			0	1	0		;			0			1	0		;
			0	0 1								0		0 1					− 1 0 0								1			0 0
			0	0 1								0		0 1					− 1 0 0								1			0 0
		1		0			0					1		0		0
			0	0		−					;		0	0		1		(3 оси 4);
			0	0		−		1			;		0	0		1		(3 оси 4);
			0	1 0									0	− 1 0
			0	1 0									0	− 1 0

* Для каждой оси возможен поворот против и по часовой стрелке. 29

		0		0 1				0		− 1		0							0 − 1 0						0		0		− 1
			− 1	0	0				1	0		0				;			1		0	0		;		0	−	1	0		;
оси 4 :			− 1	0	0	;			1	0		0				;			1		0	0		;		0	−	1	0		;
			0	1 0					0	0 −																1	0		0
			0	1 0					0	0 −			1						0 0 − 1							1	0		0
		− 1		0 0					−	1	0 0
													−
			0	0		1		;		0	0		−	1					(3 оси 4 );
			0	− 1 0						0 1 0
			0	− 1 0						0 1 0
		0		0 −			1			0 0				1					0 0			− 1			0		0 1
			− 1	0		0			;	1	0			0				;		1	0	0		;		− 1	0		0	;
оси 6 :			− 1	0		0			;	1	0			0				;		1	0	0		;		− 1	0		0	;
			0	− 1 0						0 − 1				0						0 1		0				0	1 0
			0	− 1 0						0 − 1				0						0 1		0				0	1 0
0 − 1					0			0		− 1 0					0					1 0		0 1					0
	0		0	−		;
	0		0	−	1	;			0	0	1		;				0			0	− 1	;		0		0	1		(4 оси 6 ).
	− 1 0								1	0 0							1						− 1 0				0
	− 1 0				0				1	0 0							1			0 0			− 1 0				0

Порядок группы m3m равен 48.

Задача 19.

mmm-8; 222-4; 23-12; m3m-48 (см. задачу 18).

Задача 20.
1		0		0 −	1	0	0
	0	− 1			0	− 1	0
а) 222 -	0	− 1		0	0	− 1	0	;
	0	0	−		0	0	1
	0	0	−	1	0	0	1
								30

<<< < Предыдущая 1 23 / 73 4 5 6 7 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Химия

#
16.08.2013580.51 Кб60Лачинов М.Б., Черникова Е.В. - Методические разработки к практическим работам по синтезу высокомолекулярных соединений (часть 1) (2002)(ru).pdf
#
16.08.2013446.68 Кб48Лачинов М.Б., Черникова Е.В. - Методические разработки к практическим работам по синтезу высокомолекулярных соединений (часть 2) (2002)(ru).pdf
#
16.08.2013773.92 Кб148Лебедева М.И. и др. - Практикум по аналитической химии (2002).pdf
#
16.08.20131.25 Mб308Лебедева, Анкудимова - Сб. задач и упраж. по химии [2002].pdf
#
16.08.2013944.8 Кб281Леонтьева А.И., Брянкин К.В. - Общая химическая технология. Ч. 1. [2004].pdf
#
16.08.2013404.75 Кб304Лиопо В.А. - Сборник задач по кристаллографии (2000).pdf
#
16.08.20131.15 Mб265Логинова Н.В., Полозов Г.И. Введение в фармацевтичекую химию [2004].pdf
#
16.08.20138.94 Mб42Мазор Л. Методы органического анализа М. Мир, 1986.djvu
#
16.08.20137.25 Mб51Малыгин Е.Н. и др. - Новые информационные технологии в открытом инженерном образовании [2003].pdf
#
16.08.201312.48 Mб63Марри Р., Греннер Д., Мейес П. - Биохимия человека (Том 1) (1993)(ru).djvu
#
16.08.201314.3 Mб63Марри Р., Греннер Д., Мейес П. - Биохимия человека (Том 2) (1993)(ru).djvu