Лекция 4 взаимное положение прямой и плоскости, двух плоскостей

Вопросы:

1. Взаимное положение двух плоскостей:

- пересечение плоскости общего положения с плоскостью частного положения;

- пересечение двух плоскостей общего положения;

- параллельность двух плоскостей.

2. Взаимное положение прямой линии и плоскости

- пересечение прямой линии с плоскостью частного положения;

- пересечение прямой линии с плоскостью общего положения;

- параллельность прямой и плоскости; параллельность двух плоскостей; перпендикулярность двух плоскостей.

1. Взаимное положение двух плоскостей

Две плоскости могут принадлежать одна другой; быть параллельны или пересе­каться.

Пересечение плоскостей. Линия пересечения двух плоскостей – прямая. Положение прямой в пространстве определяют две точки. Чтобы найти линию пересечения плоскостей, достаточно знать две точки, принадлежащие двум плоскостям одновременно.

Пересечение плоскости общего положения с плоскостью частного положения

На рис. 23 показано построение линии пересечения фронтально-проецирующей плоскости Р с плоскостью треугольника АВС.

Рисунок23

Так как линия пересечения двух плоскостей принадлежит фронтально-проецирующей плоскости Р, то ее фронтальная проекция М2N2 совпадает c фронтальным следом Pπ2 плоскости Р. Горизонтальная проекция искомой линии пройдет через точки М1 и N1, расположенные на горизон-тальных проекциях АВ и АС соответствующих сторон треугольника (рис.23)

Пересечение двух плоскостей общего положения

Задача. Построить линию пересечения двух плоскостей общего положения Р(DАВС) и Т(mn) Рисунок 24

Алгоритм решения задачи (рис.24 ) 1. Вводим вспомогательную секущую плоскость Q частного положения (Q π2). 2. Находим линии пересечения вспомогательной плоскости Q с двумя заданными Р и Т: Q ∩ Р(DАВС) =А-1; Q ∩ Т(mn) = 2-3. 3. Определяем точку пересечения построенных линий: М=А-1 ∩ 2-3. Точка М принадлежит одновременно плоскостям Р и Т, следовательно, она принадлежит линии их пересечения. 4. Для нахождения второй общей точки вводим еще одну секущую плоскость и повторяем построения (п.2, п.3).

Решение этой задачи на эпюре показано на рис. 25:

Рисунок 25

Согласно алгоритму решения задачи про-водим вспомогательные секущие плоскости частного положения Q, Р (Qπ2, Rπ2 – их фронтальные следы). Вспомогательные (Q,Р) плоскости пересекают заданные плоскости по линиям А-1, 2-3 и 4-5, 6-7. В пересечении этих линий будут точки М (М2;М1), N (N2;N1), принадлежащие линии пересечения двух плоскостей.

На рис. 26, а плоскости общего положения P и Q заданы следами. Линия их пересечения МN пройдет через точки пересечения одноименных следов плоскостей. В точке N пересекаются фронтальные следы плоскостей, в точке М – горизонтальные. Проекциями линии пересечения будут прямые М₂N₂ и М₁N₁. На рис. 26,б показано построение линии пересечения плоскостей на эпюре.

а б

Рисунок 26