Автор неизвестен. - Механика жидкости и газа

формации за время dt, т.е. dl = du dt , тогда dudy = dtdldy , но dydl = tg γ, тогда dudy = tgdtγ . Следовательно, поперечный градиент

скорости представляет собой скорость относительной деформации сдвига. Таким образом, касательное напряжение в жидкости линейно зависит от скорости относительной деформации. В этом принципиальное отличие жидкости от твердого тела, в котором касательные напряжения зависят от величины деформации, а не от ее скорости.

Жидкости, удовлетворяющие (2.6) называются ньютоновскими, а не подчиняющиеся этой формуле - неньютоновскими. К числу последних относятся растворы полимеров и др.

2.3. Классификация сил.

Как и в механике твердого тела, в гидромеханике силы классифицируются по разным признакам: внутренние и внешние, сосредоточенные и распределенные.

Очевидно, что в механике жидкости могут рассматриваться лишь распределенные силы, не вызывающие деформации жидкого тела. При этом они должны быть внешними по отношению к объекту. Перевод внутренних сил в категорию внешних производится известным методом (метод сечений, либо метод «замораживания»), суть которого сводится к тому, что в среде выделяется («замораживается») замкнутый объем, внешняя среда мысленно отбрасывается и ее действие заменяется действием распределенных сил. Важнейшей особенностью гидромеханики как науки является то, что в ней, помимо приведенной выше классификации, силы разделяются на массовые и поверхностные.

2.3.1. Массовые силы.

Массовыми называют силы, величина которых пропорциональна массе рассматриваемого объема. Важнейшей особенностью является то, что они действуют на все частицы жидкости. В общем

случае это силы, подчиняющиеся второму закону Ньютона F = ma. В проекциях на декартовы оси координат можно записать: Fx = max ;

Fy = may; Fz = maz . В гидромеханике вместо ax , ay , az принято писать X, Y, Z. Поделив обе части записанных выражений на массу, получим Fmx = X ; Fmy = Y ; Fmz = Z .

Таким образом, X, Y и Z есть проекции единичных массовых сил на соответствующие координатные оси, иногда их называют напряжениями массовых сил. Если в жидкости выделить элементарный

12

каф. МАХП УГТУ (343) 375-4448 www.htf.ustu.ru mahp@htf.ustu.ru

объем dV, то его масса - ρdV . В общем случае массовая сила, действующая на этот объем ρF dV , а главный вектор массовых сил,

V

2.3.2. Поверхностные силы.

В отличие от массовых, поверхностные силы действуют лишь на частицы, находящиеся на поверхности жидкого объема.

Выделим на поверхности жидкого объема элементарную площадку ∆S, ориентация этой площадки в пространстве задается

ориентации площадки в пространстве. Это означает, что если через данную точку пространства провести одинаковые по величине, но различно ориентированные

площадки, то действующие на них напряжения поверхностных сил будут различны.

Физическая величина, характеризуемая в данной точке вектором pn , принимающим бесконечное множество значений в зависимо-

сти от ориентации площадки, называется тензором напряжений. Таким образом, на площадку dS действует поверхностная си-

S

13

каф. МАХП УГТУ (343) 375-4448 www.htf.ustu.ru mahp@htf.ustu.ru

(наклонной) грани тетраэдра , а площадь этой грани dS (см. рис. 2.4). Площади других граней - соответственно dSx , dSy , dSz, т.к. их

можно рассматривать как проекции грани ABC на координатные оси. Следовательно, dSx = dS cos(n, x ) = nx dS, где nx обозначает направляющий косинус. Аналогично, dSy = nydS, dSz = nzdS. Обо-

значим объем тетраэдра dV, тогда действующая на него массовая сила ρF dV , а массовая сила инерции ρa dV , где a вектор ускоре-

ния жидкого тетраэдра. Поверхностная сила, действующая на наклонную грань - pn dS. Для трех других граней можем записать:

−px dSx = −px nx dS −pydSy = −py nydS

−pzdSz = −pznzdS

и pz направлены в стороны,

противоположные координатным осям.

Запишем уравнение движения тетраэдра, которое в соответствии с общими законами механики должно иметь вид:

Масса ускорение = (результирующая массовых сил) + + (результирующая поверхностных сил).

Имеем:

ρa dV = ρF dV + pn dS − px nx dS − py nydS − pznzdS

Слагаемые ρa dV и ρF dV

сти, а остальные - второго, поэтому ими можно пренебречь, что дает

14

каф. МАХП УГТУ (343) 375-4448 www.htf.ustu.ru mahp@htf.ustu.ru

Из этого равенства следует, что напряжение pn при произвольной ориентации нормали n может быть определено, если известны на-

вает ось, перпендикулярную ориентации площадки, второй - ось, на которую спроектировано напряжение.

Для уяснения ориентации рассмотрим параллелепипед, выделенный в движущейся жидкости и показанный на рис. 2.5.

Из рисунка, в частности, видно, что напряжения с одинаковыми индексами являются нормальными, а с разными - касательными. В проекциях на декартовы оси координат выражение (2.9) может быть записано как

Совокупность этих девяти составляющих компонентов напряжения образует тензор напряжения. В матричной форме он записывается в следующем виде:

В тензорном анализе доказывается, что тензор напряжений является симметричным. Это означает, что величины, расположенные симметрично главной диагонали, равны (pyx = pxy ; pxz = pzx ;

pzy = pyz). Следовательно, для определения тензора напряжений достаточно знать не девять, а шесть скалярных величин.

15

каф. МАХП УГТУ (343) 375-4448 www.htf.ustu.ru mahp@htf.ustu.ru

Следует учесть одно обстоятельство. Векторы напряжений px , py , pz в соотношении (2.9), носящем имя Коши, и приложенные к ко-

ординатным площадкам, не имеют объективного физического смысла, т.к. зависят от выбора системы координат. Поэтому такие величины причисляются к так называемым «квазивекторам», хотя к ним и можно применять все операции, применимые к физическим векторам. К понятию тензора можно подойти и другим путем, который, возможно, покажется более простым. Поэтому целесообразно хотя бы кратко остановиться на нем. Для наглядности тензор можно представить как какой-то оператор, с помощью которого можно преобразовывать векторы в векторы. Упрощая и сводя математический аппарат к механическому, оператор можно представить как какую-то «машину», которая по определенным правилам перерабатывает вводи-

мые в нее векторы. Зная принцип работы этой «машины», можем знать и вектор, который появляется на выходе. Можно записать

a = A B

где a- входной вектор; B - выходной вектор;

A - оператор, который и называют тензором.

Существенное ограничение заключается в том, что оператор должен быть линейным. Определить тензор - это значит задать правила, по которым работает оператор. Для интересующихся таким подходом можно рекомендовать книгу Астарита Дж., Марручи Дж. Основы гидромеханики неньютоновских жидкостей. - М.: Мир, 1978.- 307с.

И в заключение еще несколько замечаний. Выше уже отмечалось, что одно из фундаментальных свойств жидкости - ее вязкость - не проявляется, если она находится в состоянии равновесия, т.е. в этом случае касательные компоненты тензора равны нулю и действуют лишь нормальные pxx , pyy , pzz, ориентированные по внешним

нормалям (см. рис. 2.5). При этом ясно, что они являются растягивающими напряжениями. Как показывает опыт, в отличие от твердого тела, которое может воспринимать как растягивающие (положительные нормальные напряжения), так и сжимающие (отрицательные нормальные напряжения) напряжения без разрыва сплошности, жидкое тело способно воспринимать лишь сжимающие усилия. Можно показать, что при отсутствии касательных напряжений

pxx = pyy = pzz, из чего следует, что нормальные напряжения в дан-

ной точке не зависят от ориентации площадки. Величины, численно равные нормальным напряжениям, но взятые с противоположным знаком, в гидромеханике называют давлениями, либо более полно -

16

каф. МАХП УГТУ (343) 375-4448 www.htf.ustu.ru mahp@htf.ustu.ru

3.1. Уравнение равновесия жидкости.

Уравнения равновесия жидкости могут быть получены из уравнений движения в напряжениях (2.16), если положить в них

ux = uy = uz = 0. Кроме того, как было показано, в покоящейся жидкости касательные напряжения не проявляются, т.е. все производные по t равны нулю. И, наконец, нормальные напряжения заменяем дав-

лением, что дает

X − ρ1 ∂∂xp = 0;

Уравнения (3.1) носят название системы дифференциальных уравнений Эйлера для гидростатики. Эта система уравнений показывает, что существует непосредственная связь между величиной гидростатического давления в точке и ее координатами. Эта связь может быть раскрыта, если проинтегрировать (3.1).

На жидкое тело могут действовать силы, имеющие различную физическую природу. Поэтому правомерна такая постановка вопроса: всегда ли под действием приложенных сил жидкость может находиться в состоянии равновесия? Для ответа на этот вопрос необходимо выполнить некоторые преобразования системы дифференциальных уравнений (3.1).

3.2. Основное уравнение гидростатики в дифференциальной форме.

Умножим каждое из уравнений, входящих в (3.1) на dx, dy и dz соответственно и просуммируем их, что даст

Выражение, стоящее в скобках во втором члене уравнения, есть не что иное, как полный дифференциал давления - dp, поэтому можем записать

(3.4)

Это уравнение называют основным уравнением гидростатики в дифференциальной форме. В левой части его - полный дифференциал, поэтому и правая часть также должна быть полным дифференциалом. Следовательно, силы и плотность должны быть такими функ-

циями x, y и z, чтобы они обращали правую часть (3.4) в полный дифференциал. Если этого не происходит, то равновесие жидкости невозможно. Другими словами, если жидкость находится в состоянии равновесия, то правая часть (3.4) является полным дифференциалом

какой-то функции Φ.

Считая плотность постоянной (ρ = const), можем записать

Из теоретической механики известно, что скалярное произведение силы на элементарное перемещение частицы называют элементарной работой, т.е.

Силы, работа которых не зависит от пути движения, а только от начального и конечного положений, называют потенциальными. При этом для того, чтобы работа силы не зависела от пути движения, необходимо и достаточно, чтобы выражение для элементарной работы, т.е. (3.6), было полным дифференциалом некоторой скалярной

функции P, называемой силовой. Взятая с противоположным знаком, она называется потенциалом. Таким образом, рассмотренную выше функцию можно назвать силовой функцией, а (3.4) представить как

Из чего следует, что несжимаемая жидкость может находиться в равновесии только под действием сил, имеющих потенциал.

3.3. Эквипотенциальные поверхности и поверхности равного давления.

Поверхности, в каждой точке которых Φ = const, называют эквипотенциальными. Частным случаем эквипотенциальной поверхности является поверхность равного давления, т.е. поверхность, в каждой точке которой p = const. В этом случае dp = 0 и (3.4) принимает

Уравнение (3.8) называют уравнением поверхности равного давления. Если из массовых сил на жидкость действует только сила тяжести, то X = Y = 0; Z = −g (знак минус, т.к. сила тяжести ориентиро-

вана в сторону, противоположную оси z); −gdz = 0 и z = const, т.е.

20

каф. МАХП УГТУ (343) 375-4448 www.htf.ustu.ru mahp@htf.ustu.ru