3.5. Коды Хемминга

Коды Хемминга (d_min=3, d_min=4) – коды, в которых проверочные разряды формируются в результате линейного преобразования информационных разрядов. Пусть имеется разрешенная КК а₁ … а_k b₁ … b_r. Проверочные элементы – есть результат линейного преобразования информационных:

b_i = _i1a₁ + _i2a₂ + … + _ika_k ,

где _ij – числа 0 или 1 (i = 1, 2, … , r; j = 1, 2, … , k).

Обнаружение и исправление ошибок кодами Хемминга сводится к последовательному анализу «синдрома». Под «синдромом» понимают совокупность элементов суммирования по модулю 2 принятых проверочных элементов и вычисленных проверочных элементов из принятых информационных, которые вычисляются по тому же правилу что и на передающей стороне

.

В случае, если в канале связи ошибок не произошло, все разряды синдрома представлены нулями, т. е. с₁ с₂ … с_r  0 0 … 0, в противном случае синдром не равен 0. Если d_min=3, то код может обнаруживать две ошибки и исправлять одну.

Пусть имеет место (n,k)-код (9,5), в котором r=4 и «синдром» имеет вид 1000. В Таблице 3.1 показано, что если «синдром» в двоичном коде содержит числа 1,2,4,8, то ошибки произошли в проверочных элементах. Появление в «синдроме» других чисел (представленных в двоичном коде) соответствует ошибкам в информационных элементах.

Таблица 3.1

Варианты «синдромов»	C1	C2	C3	C4	Разряды содержащие ошибку
1	0	0	0	1	b1
2	0	0	1	0	b2
3	0	0	1	1	a1
4	0	1	0	0	b3
5	0	1	0	1	a2
6	0	1	1	0	a3
7	0	1	1	1	a4
8	1	0	0	0	b4
9	1	0	0	1	a5

Пример. Пусть принята комбинация 11001 1111 (в третьем разряде произошла ошибка). Тогда b^₁=1, b^₂=0, b^₃=0, b^₄=1. В результате получим

3.6. Циклические коды

Существенным недостатком кодов Хемминга является необходимость выбора исход­ных разрешенных кодовых комбинаций, проверки условий формирования разрешенных КК, запоминание коэффициентов для формирования проверочных символов и синдромов для исправления ошибок.

Решением более простых процедур кодирования и декодирования являются циклические коды, основное свойство которых - циклический сдвиг кодовой комбинации приводит к новой разрешенной кодовой комбинации.

Пример. x_i={a_o,a₁,...,a_n-1} - разрешенная КК, x_j={a_n-1,a_o,a₁,...,a_n-2} - также разрешенная КК.

Циклические коды являются частным случаем полиномиальных кодов, принцип которых заключается в сопоставлении каждой КК сигнала некоторого многочлена. При построении циклических кодов КК представляют в виде многочленов от одной переменной:

G(x)=a_n-1 x^n-1 + a_n-2 x^n-2 + ... + a₁x + a₀ ,

где a_i - коэффициенты 0 или 1.

Пример. Кодовую комбинацию 1100101 можно записать как

G(x) =1x⁶+1x⁵+ 0x⁴+ 0x³ + 1x² +0x¹ +1x⁰ ,

или же, опуская члены суммы с коэффициентами 0, перепишем как

G(x) = x⁶ + x⁵ + x² + 1 .

Суммирование по модулю два дает такие же результаты как и вычитание. Поэтому как при умножении полинома на полином, так и при их делении используется основная логическая операция суммирования по модулю два.

Пример. В результате суммирования по модулю двух полиномов G₁(x)=x⁶+x⁵+x²+1 и G₂(x)=x⁵+x³ получим G(x)=x⁶+x³+x²+1.

Для рассмотрения принципа построения циклических кодов введем следующие обозначения: G(x) - полином степени k-1, отображающий кодовую комбинацию первичного кода; P(x) - образующий (порождающий) полином степени r=n-k и F(x) - полином степени n-1, отражающий кодовую комбинацию (кодовое слово) циклического кода.

В качестве разрешенных кодовых комбинаций циклического кода принимаются такие комбинации, которые делятся без остатка на заранее выбранный образующий полином P(x), выбираемый из таблицы порождающих полиномов. Построение циклического кода сводится к определению полинома F(x) для известных G(x) и P(x) при условии, что F(x) делится без остатка на P(x).

Существует два способа получения циклического кодового слова.

1. F(x) получается путем прямого перемножения полиномов P(x) и G(x). Однако, при этом образуется неразделимый код, декодирование кодовых комбинаций которого очень сложно (информационные и проверочные знаки неразделимы).

2. Представляем информационную часть кодовой комбинации длиной k в виде полинома G(x). Далее:

а) умножаем G(x) на одночлен x^r и получаем G(x)x^r, т.е. производим сдвиг k-разрядной кодовой комбинации на r разрядов;

б) делим многочлен Q(x)x^r на полином P(x) степень которого равна r;

в) полученный остаток R(x) (очевидно его наивысшая степень равна r-1) складываем по модулю два с Q(x)x^r и получим, таким образом, разрешенную кодовую комбинацию: F(x) = Q(x)x^r + R(x).

Пример. Закодируем циклическим кодом длиной n=10 КК 1110001.

Решение

1). r=n-k=10-7=3. Из таблицы образующих полиномов выберем P(x) степени 3.

P(x) = x³ +x²+1

2). Исходной кодовой комбинации соответствует полином

G(x) =x⁶ +x⁵ + x⁴ + 1.

3). Умножим полином сообщение на x³

Q(x) =x⁹ +x⁸ + x⁷ + x³.

4). Полученное произведение разделим на образующий полином P(x)

x⁹ + x⁸ + x⁷ + x³ x³ + x² +1

 x⁹ + x⁸ + x⁶

------------------- x⁶ + x⁴ +x

x⁷ + x⁶ +x³

 x⁷ + x⁶ + x⁴

------------------

x⁴ + x³

 x⁴ + x³ +x

----------------

R(x) = x

Ответ: Полином, отображающий комбинацию циклического кода, будет иметь вид

F(x)=Q(x)x^r + R(x) = x⁹+x⁸+x⁷+x³+x .

Ему соответствует передаваемая в канал КК циклического кода: 1110001 010.

А. Обнаружение ошибок при циклическом кодировании

Обнаружение ошибок при циклическом кодировании сводится к делению принятой кодовой комбинации на образующий полином, который использовался при формировании кода. Наличие остатка после деления свидетельствует о появившейся ошибке при передаче данного кода.

Б. Исправление ошибок

Остаток от деления свидетельствует о наличии ошибки. Для исправления ошибок (обнаружение места ошибки) необходимо обеспечить условие, при котором количество различных ненулевых остатков равно числу комбинаций из n по t (t- количество ошибок исправляемых кодом). Это означает, например, что с n=15 при t=2 следует иметь С²₁₅ =105 остатков, что обеспечивается при r = 7 (2⁷-1=127). Следовательно необходимо выбрать образующий полином с r=7 и код (15,7).

Исправление ошибки рассмотрим на конкретном примере.

Пример. Дан (11,7)-код с Р(0,1)=1001. (Р(0,1) есть образующий полином Р(х), выраженный в кодовой последовательностью 1 и 0-й). Пусть передается разрешенная комбинация

F(0,1) = 10110111100

Предположим, ошибка произошла в старшем разряде, т.е.

F*(0,1) = 00110111100

Для определения одной ошибки введем многочлен ошибки степени n.

E = 10000000000 (т.е. х¹⁰)

Разделим принимаемую кодовую комбинацию на образующий полином. То же проделаем с многочленом ошибки (т.е. поделим на образующий полином). Совпадение остатков покажет, что многочлен ошибки выбран правильно и ошибка именно в старшем разряде.

В случае, если ошибка произошла в середине принимаемого кода, остатки R₁ и R₂ не совпадут. При этом к принимаемой кодовой комбинации F*(0,1) необходимо справа дописать 0 и получить R₁ (т.е. сдвинуть последовательность влево). Такой сдвиг осуществлять до тех пор, пока R₁ и R₂ не будут одинаковыми. Число сдвигов плюс 1 покажет разряд, где произошла ошибка (относительно старшего разряда).