Классификация помехоустойчивых кодов

Основная классификация помехоустойчивых (избыточных) кодов приведена на рис. 2. В непрерывных кодах передаваемая информационная последовательность не разделяется на блоки. Избыточные элементы размещаются в определенном порядке между информационными.

В блочных кодах передаваемая информационная последовательность разбивается на отдельные блоки, которые кодируются и декодируются независимо друг от друга.

Блочные коды делятся на равномерные и неравномерные. Равномерными называются коды, у которых каждая кодовая комбинация содержит одинаковое количество единичных элементов. Коды с кодовыми комбинациями неодинаковой длины называются неравномерными. Равномерный код при n = 5 называют пятибитным (пятиэлементным кодом), при n = 7 - семибитным кодом и т.д.

Равномерные блочные коды делятся на разделимые и неразделимые. В разделимых кодах элементы информационной и проверочной частей кодовой комбинации всегда стоят на определенных местах. В неразделимых кодах деление на информационные и проверочные разряды отсутствует.

Разделимые коды, в свою очередь, делятся на систематические (линейные) и несистематические (нелинейные). Систематическими кодами называются блочные разделимые (n,k)-коды, в которых проверочные элементы представляют собой линейные комбинации информационных, несистематические коды таким свойством не обладают.

Основные характеристики помехоустойчивых кодов

А. Характеристики кодов (в том числе не помехоустойчивых)

1. Длина кодовой комбинации определяется количеством входящих в нее единичных элементов.

2. Основание кода. В цифровых системах связи используются двоичные коды m=2, при которых возможные значения амплитуды единичных импульсов отождествляются с символами 1 и 0.

3. Число кодовых комбинаций для равномерного кода с основанием m и длиной n определяется выражением N = mⁿ.

4. Вес кода (кодовой комбинации). Вес двоичного кодового слова - число ненулевых символов в кодовом слове, например при х = 100110 вес равен (х)=3.

5. Кодовое расстояние между двумя комбинациями одинаковой длины называется число бит, которыми данные комбинации отличаются. Оно равно весу кодовой комбинации, полученной при суммировании двух КК по модулю два.

Пример. Определим кодовое расстояние d для комбинаций

10101

 11011

01110 , т. е. d = 3.

Б. Основные характеристики помехоустойчивых кодов (дополнительные к выше изложенным)

1. Минимальное кодовое расстояние (d_min) есть наименьшее из кодовых расстояний всех возможных пар комбинаций данного кода. (Для первичных кодов (не помехоустойчивых) d_min=1). Минимальное кодовое расстояние определяет способность кода обнаруживать и исправлять ошибки различной кратности в принятом слове. Число обнаруживаемых и исправляемых ошибок связано с минимальным кодовым расстоянием следующими соотношениями

s  d_min – 1 , t  (d_min - 1)/2 , (3.1)

где s - число обнаруживаемых ошибок, t - число исправляемых ошибок. Для любого (n,k)-кода с минимальным расстоянием, не меньшим 2t+1 число проверочных символов определяется:

.

При d_min = 3

r = log₂(n+1) = log₂(r + k + 1) . (3.2)

Коды, для которых выполняется равенство (3.2) называются совершенными.

2. Коэффициент избыточности К_и - показатель степени удлинения кодовых слов для достижения заданной помехоустойчивости кода

, (3.3)

где N_n - общее число кодовых комбинаций. Для систематических (n,k) - кодов N_n=2ⁿ и N_k=2^k. Поэтому

.

3. Вероятность необнаруживаемой ошибки Р_но есть вероятность выдачи декодером ошибочного кодового слова. Р_но = P(t,n) - вероятность наличия в n - элементном кодовом слове ошибки кратности t и более.

Учитывая то, что ошибки в канале могут быть описаны биномиальным распределением, то для кодов исправляющих ошибки кратности t:

, (3.4)

а для кодов обнаруживающих ошибки кратности s:

, (3.5)

где р - вероятность появления i ошибок.

4. Коэффициент повышения достоверности К_пд показывает во сколько раз уменьшается вероятность появления ошибочных кодовых комбинаций на выходе декодирующего устройства по сравнению с вероятностью ошибочного приема кодовой комбинации в канале связи. Для кодов обнаруживающих ошибки коэффициент повышения достоверности равен

К_пд = P_ош /P_но . (3.6)

Так как P( 1,n) /P( d_min,,n) всегда больше 1, то К_пд >2^r. Для большинства кодов величина 2^r является оценкой снизу коэффициента повышения достоверности.

На основании определения вероятности необнаруживаемой ошибки и коэффициента повышения достоверности можно оценить эффективность использования избыточного кодирования.