Лекция №6

Тема №2: Передача ДИСКРЕТНЫХ сообщений (продолжение)

Тема лекции: ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ПОМЕХОУСТОЙЧИВОСТЬ

ПРИЕМА ЦИФРОВЫХ СИГНАЛОВ

Введение

В предыдущей лекции были рассмотрены основные виды цифровых радиосигналов и их характеристики. Исходя из особенностей того или иного вида манипуляции представляет особый интерес вопрос анализа потенциальной помехоустойчивости различных цифровых радиосигналов.

2.3. Различение детерминированных сигналов

Получим алгоритм различения двух детерминированных сигналов в условиях аддитивной флуктуационной помехи. В этом случае наблюдение на входе приемного устройства имеет вид

t  s[t, t] + n(t) , (2.7)

где n(t) – белый гауссовский шум (БГШ) с нулевым математическим ожиданием и односторонней спектральной плотностью с интенсивностью N₀; t - информационный параметр (первичный цифровой сигнал); t - вектор сопутствующих параметров, описывающий амплитудные замирания, случайные колебания фазы и т. д. То, что сигнал детерминирован означает, что вектор t на приемной стороне точно известен. Будем считать, что при приеме выполняется точная тактовая синхронизация, т.е. моменты изменения цифрового сигнала точно известны. Неизвестный параметр  принимает одно из двух значений:  = 1,  = 0, что позволяет представить сигнал следующим образом:

s(t,) = (1 -  )s₁(t) +  s₂ (t) .

В цифровых системах связи критерием помехоустойчивости наиболее часто выступает полная вероятность ошибки P_е. Поэтому различение сигналов s₁(t) и s₂(t) целесообразно выполнять в соответствии с критерием идеального наблюдателя, минимизирующего P_е.

(2.8)

где P_ps(  i) = P ( = i / ) = P_ps( ) - апостериорная вероятность, содержащая всю информацию о переданном символе   i (i = 1, 2), заключенном в наблюдении (t) на интервале времени от 0 до t (). Необходимо знать выражение для апостериорной вероятности при   0 и   1. На основании правила умножения совместную плотность вероятности P(, ) можем записать выражением

P(, ) = P( ) P( ) = P()P( ) ,

откуда следует, что

P( ) = P_ps( ) = P() P( ) P() . (2.9)

Перепишем (2.9) в виде

P_ps( ) = k P()L() , (2.10)

где L() функционал правдоподобия,

k = исходя из условия нормировки плотности вероятности.

С учетом (1.10) соотношение (2.8) примет вид

, (2.11)

где E_i = -энергия i-го сигнала.

После логарифмирования левой и правой части соотношения (2.11), с учетом монотонного характера логарифмической функции, и считая, что P(  1)= P(  0)=

= 0,5 получим

. (2.12)

С учетом (2.12) схемы оптимального различения двух детерминированных сигналов могут быть реализованы на согласованных фильтрах (СФ) или же с использованием корреляторов (рис.2.10 и 2.11 соответственно). Сравнение напряжения с выхода вычитающего устройства с порогом h происходит в моменты окончания элементов сигнала t = kT , k = 1,2,…

Рис.2.10. Оптимальные схемы различения двух детерминированных сигналов

на основе согласованных фильтров

Рис.2.11. Оптимальные схемы различения двух детерминированных сигналов

на основе корреляторов

2.4.Оценка потенциальной помехоустойчивости приема цифровых сигналов

Получим общее выражение для полной вероятности ошибки приема детерминированных цифровых сигналов независимо от вида манипуляции.

Выражение алгоритма приема (2.12) можно привести к виду:

(2.13)

Введем обозначения:

= y ,

0.5[] = h .

С учетом того, что появление  = 1 и   0 в передаваемой последовательности равновероятны, для вероятностей ошибочного приема можно записать

P(y h  = 0) = P(y h  = 1) . (2.14)

При этом формула полной вероятности ошибки может быть представлена в виде:

Р_е = Р(0)Р(10) + Р(1)Р(01) , (2.15)

где Р(0) = Р(1) =0,5 – априорные вероятности передачи  = 0 и  = 1; Р(10) =

= P(y h = 0 ) – условная вероятность того, что при переданном  = 0 вынесено решение о приеме = 1; Р(01) =P(y h = 1) - условная вероятность того, что при переданном  = 1 вынесено решение о приеме = 0. С учетом (2.14) полная вероятность ошибки (1.15) может быть определена как

Р_е = Р(10) = Р(01) = P(y h  = 0 ) = P(y h  = 1) . (2.16)

Найдем выражение для условной вероятности P(y h  = 0).

Если   0, то наблюдение (1.7) будет иметь вид t  s₁(t) + n(t), а y  h в случае выполнения неравенства

 0.5[] . (2.17)

Перепишем (2.17) в виде

, (2.18)

или

   0,5 ,

где

(2.19)

Поскольку величина  сформирована в результате линейного преобразования БГШ n(t), то  так же распределена по гауссовскому закону (рис.2.12) c нулевым математическим ожиданием и дисперсией D_ =R_ [(t₂ - t₁)=0].

(2.20)

С учетом фильтрующего свойства дельта-функции:

,

. (2.21)

Из (2.16) следует, что

(2.22)

где(z) – интеграл вероятности определяемый как

p()

P(y h  = 0)

0



- 0,5

Рис.2.12. Плотность вероятности случайной величины 

Таким образом, формула (2.22) определяет полную вероятность ошибки приеме цифровых детерминированных сигналов в общем виде (независимо от вида манипуляции).

2

W

t

(

)

t

.5. Потенциальная помехоустойчивость приема

радиосигналов АМн, ЧМн и ФМн

Задача оценки потенциальной помехоустойчивости приема детерминированных цифровых радиосигналов сводится к получению на основе (2.22) формулы полной вероятности ошибки, но для конкретного вида манипуляции.

Предварительно раскроем скобки в (2.19):

(2.23)

Здесь - энергия i-го сигнала, коэффициент взаимной корреляции сигналов.

Амплитудная манипуляция: На интервале времени от 0 до T

s₁(t) = 0 ,  = 0 ;

s₂(t) = A₀ cos(₀t + ) ,  = 1 .

Тогда

Е₂ = 0 (сигнал с пассивной паузой), R = 0 ,  = Е . (2.24)

С учетом (2.24) полная вероятность ошибки (2.22) при приеме АМн радиосигнала будет равна

(2.25)

Частотная манипуляция: ЧМн радиосигналы - сигнал с активной паузой:

s₁(t) = A₀ cos(₁t + ₁) ,  = 0 ;

s₂(t) = A₀ cos(₂t + ₂) ,  =1, 0  t  T; Е₁ = Е₂ = Е .  = Е. (2.26)

Считая, что сигналы s₁(t) и s₂(t) ортогональны (R = 0)  = 2Е. Полная вероятность ошибки приема ЧМн радиосигнала

(2.27)

Фазовая манипуляция: ФМн радиосигнал также относится к сигналам с активной паузой:

s₁(t) = A₀ cos(₀t + ) ,  = 0 , 0  t  T ;

s₂(t) = -A₀ cos(₀t + ) ,  = 1 , 0  t  T .

Таким образом Е₁=Е₂=Е, ,  = 4E. Полная вероятность ошибки приема ФМн радиосигнала

(2.28)

Вид функции Ф(z) приводится на рис.2.13.

Ф(z)

1

0,5

0

z

Рис.2.13. Вид функции

Вывод: При одной и той же энергии сигналов (но не средней мощности) наибольшей потенциальной помехоустойчивостью обладает фазовая, а наименьшей – амплитудная манипуляция.

Заключение

Таким образом, в лекции приведено решение задачи различения двух детерминированных сигналов при наблюдении их на фоне флуктуационной аддитивной помехи типа БГШ. Полученное выражение для полной вероятности ошибочного приема было использовано для оценки потенциальной помехоустойчивости цифровых радиосигналов с различными видами манипуляции. Полученные выражения для полной вероятности ошибки при приеме цифровых радиосигналов свидетельствуют о том, что наибольшей помехоустойчивостью обладают радиосигналы с ФМн.