3. Метод резолюций в исчислении высказываний

Основная идея метода резолюций состоит в том, чтобы проверить, содержит ли множество дизъюнктов пустой дизъюнкт. Если множество содержит пустой дизъюнкт, то оно противоречиво (невыполнимо). Если множество не содержит пустой дизъюнкт, то проверяется следующий факт: может ли пустой дизъюнкт быть получен из данного множества. Множество содержит пустой дизъюнкт, тогда и только тогда, когда оно пустое. Если множество можно свести к пустому, то тем самым можно доказать его противоречивость. В этом и состоит метод резолюций, который часто рассматривают как специальное правило вывода, используемое для порождения новых дизъюнктов из данного множества.

Определение 3:Если A атом, то литералы A и ¬A контрарны друг другу, и множество { A, ¬A } называется контрарной парой. Отметим, что дизъюнкт есть тавтология, если он содержит контрарную пару.

Определение 4: Правило резолюций состоит в следующем:

Для любых двух дизъюнктов C1 и C2, если существует литерал L1 в C1, который контрарен литералу L2 в C2, то вычеркнув L1 и L2 из C1 и C2 соответственно и построив дизъюнкцию оставшихся дизъюнктов, получим резолюцию (резольвенту) C1 и C2.

Пример 4: рассмотрим следующие дизъюнкты:

C1: P∨R,

C2: ¬P∨Q.

Дизъюнкт C1 имеет литерал P, который контрарен литералу ¬P в C2. Следовательно, вычеркивая P и ¬P из C1 и C2 соответственно, построим дизъюнкцию оставшихся дизъюнктов R и Q и получим резольвенту R∨Q. Важным свойством резольвенты является то, что любая резольвента двух дизъюнктов C1 и C2 есть логическое следствие C1 и C2. Это устанавливается в следующей теореме.

Теорема 4. Пусть даны два дизъюнкта C1 и C2. Тогда резольвента C дизъюнктов C1 и C2 есть логическое следствие C1 и C2. Если есть два единичных дизъюнкта, то их резольвента, если она существует, есть пустой дизъюнкт 􀀀. Более существенно, что для невыполнимого множества дизъюнктов многократным применением правила резолюций можно породить.

Определение 5: Пусть S – множество дизъюнктов. Резолютивный вывод C из S есть такая конечная последовательность С1, C2,…, Ck дизъюнктов, что каждый Ci или принадлежит S или является резольвентой дизъюнктов, предшествующих Ci, и Ck=C. Вывод 􀀀 из S называется опровержением (или доказательством невыполнимости ) S.

Пример 5. Рассмотрим множество S:

1. ¬P∨Q,

2. ¬ Q,

3. P.

Из 1 и 2 получим резольвенту

4. ¬P.

Из 4 и 3 получим резольвенту

5. 􀀀.

Так как 􀀀 получается из S применениями правила резолюций, то согласно теореме 4 􀀀 есть логическое следствие S, следовательно, S невыполнимо. Метод резолюций является наиболее эффективным в случае применения его к множеству Хорновских дизъюнктов.

Определение 6: Фразой называется дизъюнкт, у которого негативные литералы размещаются после позитивных литералов в конце дизъюнкта.

Пример 6: Р1 ∨Р2∨…Рn∨¬N1∨¬N2…∨¬Nm

Определение 28: Фраза Хорна это фраза, содержащая только один позитивный литерал.

Пример 7: преобразовать фразу Хорна в обратную импликацию.

Р ∨¬N1∨¬N2…∨¬Nm

¬N1 ∨¬N2…∨¬Nm =¬ (N1∧N2∧…∧Nm)

P← (N1 ∧N2∧…∧Nm)

P← N1, N2,…Nm

При представлении дизъюнктов фразами Хорна негативные литералы соответствуют гипотезам, а позитивный литерал представляет заключение. Единичный позитивный дизъюнкт представляет некоторый факт, то есть заключение, не зависящее ни от каких гипотез. Часто задача состоит в том, что надо проверить некоторую формулу, называемую целью, логически выведенную из множества правил и фактов. Резолюция является методом доказательства от противного: исходя из фактов, правил и отрицания цели, приходим к противоречию (пустому дизъюнкту).