9.6 Метод севево-западного угла

            Рассмотрим "северо-западный угол" незаполненной таблицы, то

есть клетку, соответствующую первому поставщику и первому потребителю.

            Возможны три случая.

            

Это означает, что первый поставщик отгрузил весь произведенный продукт первому потребителю и его

запас равен нулю, поэтому

                                   

При этом неудовлетворенный спрос в первом пункте потребления равен

                                   

            

то есть спрос первого потребителя полностью удовлетворен и поэтому                    

а остаток продукта в первом пункте производства равен

                                   

            

из рассмотрения можно исключить и поставщика, и потребителя. Однако при атом план получается вырожденным,

поэтому условно считается, что выбывает только поставщик,

                        

а спрос потребителя остается неудовлетворенным и равным нулю.

                                   

            После этого рассматриваем северо-западный угол оставшейся не-

заполненной части таблицы и повторяем те же действия. В результате

через n+m-1   шагов получим опорный план.

9.7 Пример

            Найти опорный план транспортной задачи

                                   

В таблице, обведенной двойной чертой , указаны объемы перевозок, полученные методом северо-западного угла. При этом небазисные нулевые перевозки не проставлены. Справа и внизу таблицы содержатся последовательно меняющиеся объемы возможных запасов и спросов. В число базисных вошла нулевая перевозка  , так как на предыдущем шаге                                    

и по п.3 метода считается выбывшим только поставщик, а неудовлетворенный спрос второго потребителя равен

                                   

9.8 Метод потенциалов

            Циклом в транспортной таблице называется несколько клеток, соединенных замкнутой ломаной линией, которая в каждой клетке совершает поворот на 90 , Знаком " + " отмечают те вершины, в которых перевозки увеличиваются, а знаком "- " - те вершины, в которых перевозки уменьшаются. Перемещение какого-то количества единиц груза по циклу означает увеличение перевозок на это количество единиц в положительных вершинах и уменьшение перевозок на это же количество единиц в отрицательных вершинах. При этом, если перевозки остаются неотрицательными, план остается допустимым. Стоимость плана при этом может меняться.

            Ценой цикла называется увеличение стоимости перевозок при перемещении единицы груза по этому циклу. Очевидно, цена цикла равна алгебраической сумме стоимостей, стоящих в вершинах цикла, при этом стоимости в положительных вершинах берутся со знаком " +", а стоимости в отрицательных вершинах берутся со знаком " - ".

            Идея метода потенциалов состоит в следующем. Для любой свободной клетки транспортной таблицы всегда существует единственный цикл, положительная вершина которого лежит в этой свободной клетке, а все остальные - в базисных. Если цена такого цикла отрицательна, то план можно улучшить перемещением перевозок по данному циклу. Количество единиц груза, которое можно переместить, определяется минимальным значением перевозок, стоящих в отрицательных вершинах цикла (если переместить большее число единиц груза, возникнут отрицательные перевозки). Если циклов с отрицательной ценой нет, то это означает, что дальнейшее улучшение плана невозможно, т.е. оптимальный план найден.

            Для нахождения циклов с отрицательной ценой вводится система

платежей

                                   

и определяются величины

                                   

называемые "псевдостоимостями" перевозок единицы груза из пункта i

в пункт j.  При этом цена цикла пересчета для каждой свободной клетки

равна

                        

если платежи

                                              для всех базисных клеток (i, j)