Двойственность в линейном программировании

Правила получения двойственной задачи из задачи исходной

1.Если в исходной задаче ищется максимум целевой функции, то в двойственной ей – минимум.

2.Коэффициенты при переменных в целевой функции одной задачи являются свободными членами системы ограничений другой задачи.

3.В исходной ЗЛП все функциональные ограничения - неравенства вида “≤”, а в задаче, двойственной ей, – неравенства вида “≥”.

3

Правила получения двойственной задачи из задачи исходной

4.Коэффициенты при переменных в системах ограничений взаимно двойственных задач описываются матрицами, транспонированными относительно друг друга.

5.Число неравенств в системе ограничений одной задачи совпадает с числом переменных в другой.

6.Условие неотрицательности переменных сохраняется в обеих задачах.

4

Теоремы двойственности

Теорема 1

Если одна из двойственных задач имеет конечный оптимум, то другая также имеет конечный оптимум, причем экстремальные значения целевых функций совпадают:

max L( X ) min L* (Y )

Если целевая функция одной из двойственных задач не ограничена, то условия другой задачи противоречивы.

5

Теоремы двойственности

Вывод из теоремы 2

Если компонент оптимального решения xj* больше нуля, то при подстановке в соответствующее ограничение двойственной задачи оптимального решения Y* это ограничение обращается в верное равенство, и наоборот.

7

Теоремы двойственности

Теорема об оценках.

Значения переменных yi* в оптимальном решении двойственной задачи представляют собой оценки влияния свободных членов bi в системе ограничений прямой задачи на величину целевой функции L(X*):

yi* L( X * )

bi

Компоненты оптимального решения двойственной задачи yi* принято называть двойственными оценками. В экономике употребляется также термин «объективно обусловленные оценки».

На свойствах двойственных оценок базируется экономико- математический анализ распределения ресурсов.

8

Пояснение теоремы об оценках

Пусть L* - максимальное значение дохода в задаче (I). Если запасы ресурсов bi , i=1,...,m изменить, то может измениться и максимальный доход L*. Это означает, что L* является функцией от ресурсов bi , i=1,...,m.

Оптимальное значение двойственной переменной

новое значение максимального дохода по формуле: или более общий вид

9

Свойства двойственных оценок

Свойство 1. Оценки как мера дефицитности ресурсов. Двойственные оценки отражают

сравнительную дефицитность факторов производства.

Чем выше величина оценки yj*, тем выше дефицитность j-го ресурса.

Факторы, получившие нулевые оценки, не являются дефицитными и не ограничивают производство.

10