2.8. Косвенные измерения

Косвенные измерения предполагают наличие функциональной связи

,

где — подлежащие прямым измерениям аргументы функции Y.

Очевидно, погрешность в оценке Y зависит от погрешностей при измерениях аргументов. При этом могут иметь место два случая: аргументы взаимонезависимы и взаимозависимы.

Для независимых аргументов абсолютная погрешность

,

относительная

,

и СКО функции

,

где частные производные вычисляются при,, а величиныопределяют, например, с помощью коэффициентов Стьюдента для одного и того же значения доверительной вероятности.

При вводе — абсолютного коэффициента влияния аргументах в функцию Y ее абсолютная погрешность составит

.

Тогда относительная погрешность определяется как

,

где относительный коэффициент влияния.

Если в качестве меры точности измерений выступает СКО, то

.

Если аналитические функциональные связи вида (2.19) не установлены, то при разработке методики выполнения измерения можно использовать опытные значения и.

или ,

где — изменение функции, вызванное изменениемi-го аргумента; и — средние (расчетные или номинальные) значения функции и аргумента. Окончательный результат записывают в виде при вероятностиР.

В качестве практических рекомендаций можно использовать следующие положения;

- если коэффициенты влияния менее 0,001 (0,1%), то эти параметры можно не учитывать;

- для коэффициентов влияния в пределах 0,001...0,050 (0,1...5%) требования к точности их измерения невелики (2...5%);

- если коэффициенты влияния больше 0,05 (5%), то требования точности информации повышаются до 1% и выше.

В случае взаимной зависимости аргументов находят парные коэффициенты корреляции

.

Значения ρ лежат в пределах -1 < ρ < +1. При ρ = 0 — величины взаимонезависимы. Однако если ρ = 0, следует проверить значимость этой величины. Для этого используют t— критерий

.

Если расчетное по формуле (2.25) значение , то взаимосвязь между параметрами необходимо учитывать. Практически, если ρ < 0,20,...,0,25, то корреляционную связь считают несущественной.

При наличии взаимосвязей между и с учетом перечисленных уравнений

,

где i=1, 2, …, i, …, k, …, n.

При числе взаимозависимых аргументов больше двух тесноту связи оценивают частным или множественным коэффициентом корреляции, в основе вычисления которого лежат значения парных коэффициентов корреляции. Например, для трех аргументов x, y и z

.

Коэффициент Rвсегда положителен и заключен между 0 и 1. Если, например, величина zнаходится в зависимости от х и у как z= ах + bу + с, то влияние величины х на изменение z оценивают частным коэффициентом корреляции

.

Аналогично определяется . Частные коэффициенты корреляции обладают теми же свойствами, что и коэффициенты линейной корреляции.

2.8.1. Алгоритм обработки результатов косвенных измерений включает следующие этапы:

1. Для результатов прямых измерений аргументов х вычисляют выборочные средние и выборочные стандартные отклонения

.

2.Для каждого аргумента вычисляют суммарные систематические погрешности в виде СКО:

где ,характеризуют разброс результатов из-за субъективных причин, округления и т.п.

3. Находят выборочное среднее функции по т аргументам с учетом коэффициентов влияния

.

4. Вычисляют стандартные отклонения случайных и систематических составляющих функции

; .

5. Сравнивают и:

а) если , то результат записывают в видепри вероятности Р. Здесь, задавшись вероятностью Р, полуинтервалнаходят с помощью коэффициентов Чебышева по формуле ;

б) если , то результат записывают как,

при и ;

в) если исравнимы, то результат представляют в виде; ;.

Доверительные границы результатов косвенных измерений можно оценить и по формулам, аналогичным (2.14) и (2.15), предварительно оценив не исключенную составляющую систематической погрешности косвенного измерения, как по каждому аргументу, так и в целом функции.

Представление относительной погрешности сложной функции в виде

дает возможность вычислить погрешность функции по известным погрешностям аргументов (прямая задача); оценить допустимые погрешности аргументов, при которых общая погрешность не превысит заданной величины (обратная задача); оптимизировать условия измерений, обоснованно минимизируя суммарную погрешность,заранее установив требования к точности измерения, подобрать соответствующую аппаратуру.

Пример 2.8. Рассмотрим факторы, влияющие на погрешность определения удельного эффективного расхода топлива , который может быть представлен в виде функции величин, измеряемых прямым методом

,

где Gи τ — доза топлива и время ее расхода; — постоянная частота вращения двигателя за времяее измерения;— крутящий момент на валу двигателя.

Решение. Погрешность определяется по формуле:

.

В соответствии с нормативами величина должна быть измерена с точностью до 1 %. Если принять, что каждый из аргументов одинаково влияет на общую погрешность, то

.

Однако известные методы не позволяют измерить , с точностью выше ±0,5%,G— ±0,2%. В то же время частоту вращения я временные интервалы имеется возможность измерять более точна — с относительной погрешностью не хуже ±0,1%. Таким образом, суммарная погрешность при использовании существующих средств измерения составит ± (0,5+0,2+0,1+0,1+0,1) =± 1%, что удовлетворяет требованиям ГОСТа.

Приведенный пример показывает, что для повышения точности косвенных измерений, прежде всего, нужно стремиться снизить наибольшие погрешности отдельных аргументов.

Традиционный подход к решению основной задачи косвенных измерений (нахождению оценки результатов косвенного измерения и его погрешности) состоит в следующем:

• предполагают достаточную гладкость функции (2.19);

• разлагают эту функцию в ряд Тейлора в окрестности аргумента ;

• исследуют значимость отбрасываемого остаточного члена ряда Тейлора, предполагая незначительность погрешностей оценок аргумента.

При этом необходимы сведения (реальные или принимаемые за реальные) о законе распределения погрешностей аргумента.

Для технических измерений предложен более простой и не менее точный подход, основанный на методе математического программирования, сводящий аналитическую задачу к вычислительной [13]. При этом в информации о законе распределения аргумента нет необходимости. В качестве оценки принимается полусумма максимального и минимального значений функцииY, а оценки абсолютной погрешности — полуразность этих значений:

; (2.27)

Тогда относительная погрешность

. (2.28)

Пример 2.9. Измерение мощности Р в активной нагрузке сопротивлением R = 100 Ом ±5 Ом определяется с помощью вольтметра класса точности γ= 1,5 с пределом измерения = 300 В.Оценить измеренную мощность и погрешность, если прибор по­казал =240 В.

Решение 1. Предел абсолютной погрешности вольтметра составляет

.

2. Относительная погрешностьU и R составит

3. Из уравнения косвенного измерения Р= U²/R находим

= 629 Вт;

= 528 Вт.

4. По формулам (2.27), (2.28) находим оценки

=(629+528)/2=579 Вт;

=(624-528)/2=51 Вт;

.

Надо отметить, что определение коэффициентов влияния при косвенных измерениях — задача весьма ответственная и трудоемкая. Необходимость оценки этих коэффициентов пока не нашла должного понимания, хотя знание их не только позволяет целенаправленно нести работу при оптимизации производственных процессов, но и при техническом обслуживании и ремонте, выборе соответствующих средств и методов измерения. Зачастую это формирует итребования к режимам эксплуатации ТС.