10

Де 2. Точность измерений де 2 2.02.3 Обработка результатов измерений

1. Простейшие методы обработки результатов многократных измерений.

2. Основные методы обнаружения и устранения грубых и систематических погрешностей.

3. Точечные и интервальные оценки распределения случайных погрешностей.

4. Нормирование погрешностей и формы представления результатов измерений.

5. Правила внесения поправок в результаты измерений.

6. Оценка погрешности прямых и косвенных многократных измерений.

1. Простейшие методы обработки результатов многократных измерений

Производится в следующей последовательности:

1. Проводится многократное измерение, в результате которого получаем значения физической величины в виде:

2. Исключаем систематическую ошибку путем введения поправки получаем при этом исправленный ряд наблюдений

3. Вычисляем среднее арифметическое значение , т.е. его оценку:

4. Вычислим отклонение результата - го измерения от оценки

5. Вычисляем СКО результата измерения

6. Оцениваем нормальность результата (промах) наблюдений. Для этого выбираем наибольшие отклонения и сравниваем их с СКО: . Если это неравенство не выполняется, то результат измерений не засчитывается.

7. Если погрешность измерения подчиняются закону Гаусса, то вероятность появления погрешности в пределах кратного стандартного отклонения σ_х (доверительный интервал ±σ_х , ±2σ_х , ±3σ_х):

Р(σ_х)=0.68; Р(σ_х)=0.95; Р(σ_х)=0.999.

Записываем результат вычислений х

8. Если погрешность измерения подчиняются закону Стьюдента, то СКО отклонения результата измерения:

9. Вычисляем доверительный интервал ε, задаваясь доверительной вероятностью ( например Р=0.95) . По её значению и количеству измерений N предварительно по таблице определим коэффициент Стьюдента - t_S.

Значения коэффициента Стьюдента в зависимости от принятой доверительной вероятности Р и числа результатов наблюдений n по таблице. Например, для N=4 и Р =0,95 t_S=3,182; N =5 при Р =0,95 t_S =2,776; для N =10 t_S =2,262; n=15 t_S =2,145 при той же Р =0,95 .

Записываем результат вычислений: Р=0.95

2. Основные методы обнаружения и устранения грубых и систематических погрешностей Обнаружение и устранения грубых погрешностей (промахов)

Выявление промахов необходимо провести до определения погрешностей измерений. Эта операция особенно целесообразна в том случае, если среди ряда измерений встречаются отдельные значения, резко отличные от других.

Промахи возникают, как правило, из-за неверных действий оператора, но могут также явиться результатом неисправности используемых средств измерений. Во всех случаях промахи не являются характеристикой измерений, и для избежания значительных искажений результатов их необходимо отбросить.

Для объективного решения вопроса о том, является ли промахом какой-либо результат измерения, применяются специальные методы. Наибольшее распространение получили два из них: метод (критерий) 3 и табличный метод (критерий Смирнова - Греббса).

В основу метода 3 («три сигма») положено допущение, что результаты однократных измерений могут отклоняться от их среднего арифметического значенияне более чем на 3. Если же какой-либо результат однократного измерения отклоняется отх более чем на 3, то – промах.

Метод 3 универсален и может быть использован при любом законе распределения рассматриваемых величин. Если закон распределения рассматриваемых величин неизвестен, то метод 3 формально применим, но при этом остается неизвестной доверительная вероятность, с которой выявляются промахи.

Для обнаружения промахов по методу 3 необходимо выполнить следующие операции:

1. подсчитать среднее арифметическое значение ряда измерений

2. подсчитать среднее квадратическое отклонение 

3. найти по абсолютной величине разность А между предполагаемым промахом x_п и средним арифметическим значением ряда измерений.

A = | x_п -|;

4. провести сравнение полученной величины А с 3.

5. Если выполняется условие А < 3, то величина x_п не является промахом.

6. Если условие А < 3 не выполняется, то x_П – промах и его следует отбросить.

Обнаружение и устранения систематических погрешностей

Систематические погрешности средств измерений – это, как уже отмечалось выше, составляющие погрешности, которые в данном ряду измерений остаются постоянными или закономерно изменяются.

Следует отметить, что систематические погрешности (как и случайные) в различных точках шкалы одного и того же прибора или измерительного устройства могут быть различны. Поэтому после проведения исследований можно с уверенностью говорить о величине погрешностей лишь в выбранных точках шкалы прибора. Что касается интервалов между точками, то здесь обычно исходят из предположения, что от точки к точке погрешности прибора изменяются плавно (без скачков).

Оценка систематической погрешности проводится в следующей последовательности:

1. в каждой из выбранных точек шкалы прибора определяется среднее арифметическое значение ;

2. систематическая погрешность средства измерений _С определяется в каждой из выбранных точек шкалы как разность между средним арифметическим и истинным значением измеряемой величиныв этой точке

_С = - x_{0 ,}

где – определено выше.

Систематическая погрешность _С может быть как положительной (при > x₀), так и отрицательной (при < x₀).

Истинное значение измеряемой величины x₀, как правило, неизвестно, и вместо x₀ используется действительное значение измеряемой величины, за которое принимают показания образцовых средств измерений.

Систематическая погрешность, подсчитанная по формуле _С = - x₀, является абсолютной и имеет ту же размерность, что и измеряемая величина.

Кроме абсолютных значений, подсчитываются относительная _С и приведенная _С систематические погрешности:

,

,

где x_N – нормирующее значение (в большинстве случаев х_N = х_K);

x_K – верхний предел шкалы прибора.

Относительная и приведенная погрешности выражаются обычно в процентах, но могут выражаться и в относительных величинах.

На рис. изображена числовая ось, на которой отложено истинное значение измеряемой величины x₀ и нанесены результаты измерений этой величины исследуемым средством измерений. В результате первого измерения получено значение х₁, второго – х₂, третьего – x₃, и т. д. (на рис. обозначены результаты только первых четырех измерений). На числовой оси отложены также величины и . На рисунке представлены, кроме того, среднее квадратическое отклонение (), систематическая погрешность (), случайная погрешность () и суммарная погрешность ().

Рис. Графическая интерпретация статических погрешностей средств измерений.

Таким образом, из приведенного рисунка следует, что систематическая погрешность является некоторой постоянно присутствующей средней величиной, но отнюдь не исчерпывает всех погрешностей измерительного устройства. Действительно, разность между результатами отдельных измерений и истинным значением измеряемой величины может превосходить систематическую погрешность (как, например, разности x₂-x₀, x₄-x₀ и т.д.), т.е. кроме систематической явно видна погрешность случайная.

Устранение систематической погрешности может быть достигнуто путем введения поправки в измерение, размер которой равен абсолютной величине систематической погрешности, а знак - обратный знаку этой погрешности.

Для устранения постоянных систематических погрешностей применяют следующие методы:

Метод компенсации погрешности по знаку. Этот метод применяется для исключения известных по природе, но не известных по значению систематических погрешностей. При этом измерения проводят в два этапа, таким образом, чтобы погрешность входила в результат измерения с противоположными знаками. При первом измерении результат записывается в виде:

.

При втором измерении .

Тогда, полусумма этих результатов будет свободна от систематической погрешности и результат измерения определяется как:

Таким способом устраняют систематическую погрешность от действия внешних магнитных полей на измерительные механизмы, уменьшаются погрешности в компараторах, мостовых схемах и т.д.

Пример: измерить ЭДС с помощью потенциометра постоянного тока, имеющего паразитную термоЭДС. В результате одного измерения получаем Е1. Затем, переключая, полярность измеряемой ЭДС, изменяем направление рабочего тока в потенциометре и вновь получаем результат Е2.

Метод противопоставления (изменения знака выходной величины).

Он основан на возможности изменений выходной величины при сохранении знака и величины систематической погрешности.

Этот метод используется для компенсации систематической погрешности в СИ интегрирующего типа (например, в цифровых вольтметрах). Измерения так же проводят в два этапа.

Метод замещения применим, если имеется регулируемая мера, выходная величина которой однородна с изменяемой величиной. Сначала измеряют неизвестную величину:

Затем к СИ подключают образцовую меру и с ее помощью устанавливают такое значение меры, которое вызывает такое же показание индикатора СИ.

Разница между значением меры и показанием индикатора СИ свидетельствует о наличии систематической погрешности. Наиболее широко этот способ используется при измерении R, C и L, например, с помощью мостовых схем переменного тока.

4. Метод поверки. Является общим для обнаружения систематической погрешности. Его суть заключается в сравнении показаний рабочего и образцового приборов. Систематическая погрешность определяется как разность показаний:

где Х_р, Х_о - результат измерения рабочим СИ и образцовым СИ соответственно. Результаты поверки, т.е. значение систематической погрешности является график поправок:

Затем при проведении измерений данным прибором систематическую погрешность, известную по величине и по знаку, исключают введением поправки, числовое значение которой равно значению систематической погрешности и противоположно по знаку. Поправка вводится путем прибавления ее к результату измерения:

,

где Х_д - исправленный результат измерения.

Новый результат измерения называется «исправленным».

Следует отметить, что с применением микропроцессорной техники и автоматизацией процесса измерений удается автоматически производить коррекцию СИ и исключение систематических погрешностей.

При проведении измерений часто используются схемные методы коррекции систематических погрешностей. Компенсационное включение преобразователей, различные цепи температурной и частотной коррекции являются примерами их реализации.

В тех случаях, когда причин систематических погрешностей несколько, на основе имеющихся оценок так называемых «элементарных» систематических погрешностей определяют суммарную систематическую погрешность. При этом каждую «элементарную» систематическую погрешность рассматривают как случайную величину.