7. Особенности формирования погрешностей при косвенных, совместных

и совокупных измерениях

При обработке результатов измерений рекомендуется следующая последовательность действий:

1. Если это необходимо, преобразуйте формулу, связывающую измеряемые величины с искомой так, чтобы функциональная зависимость содержала все измеряемые величины непосредственно (без промежуточных формул).

2. Выполните оценку погрешности прямых измерений всех непосредственно измеряемых величин, входящих в формулу для искомой величины, с учетом погрешности многократных и однократных измерений.

3. С помощью средних значений измеряемых величин m рассчитайте значение искомой величины.

4. Получите выражение для погрешности измерений по одной из формул.

5. Запишите окончательный результат.

Погрешности косвенных измерений

Косвенное измерение  это измерение, при котором искомое значение величины находится по известной зависимости между этой величиной и величинами, подвергаемыми прямым измерениям.

Рассмотрим результат косвенных измерений для случая с одним аргументом

y = f(x),

где у – результат косвенного измерения (функция); х – результат прямого измерения (аргумент).

Предполагается, что погрешность измерения аргумента х известна и составляет величину ±_x.

Погрешность измерения функции у обозначим через ±_у и найдем её значение по известным значениям величин у, х и ±_x.

С учетом погрешностей ±_x и ±_y выражение у принимает вид

у ± y = f(х±_x).

Разложим правую часть равенства в ряд Тейлора и, пренебрегая членами разложения, содержащими _x в степени выше первой, получим

;

,

где _y – абсолютная погрешность результата косвенного измерения ве­личины у; _x – абсолютная погрешность результата прямого измерения величины х.

Относительная погрешность косвенного измерения _у определяется выражением

,

или

,

Рассмотрим результат косвенных измерений для случая с несколь­кими аргументами, т.е.

у = f(x, z, ..., t), (21)

где x, z, ..., t – результаты прямых измерений (аргументы);

у – результат косвенного измерения (функция).

Значение суммарной абсолютной погрешности косвенного измерения _у в этом случае находится по формуле

.

Значение суммарной относительной погрешности косвенного измерения _у для рассматриваемого случая находится по формуле

.

Значения _x, _z,  , _t – суммарные абсолютные погрешности результатов прямых измерений величин х, z, ... ,t. Соотношения _у и δ_у правомерны при условии, что рассматриваемые погрешности независимы (отсутствует связь между ними) и являются случайными величинами

Погрешности косвенных измерений

Функция (y)	Погрешности
	абсолютная (y)	относительная (y)
x + z
x- z
xz
x/z
xn	±nxn-1x	±nx
sinx	±xcosx	±x ctgx
tgx
cosx	±x sinx	± x tgx
ctgx
arctg x

Совместными называют проводимые одновременно измерения двух или  нескольких неодноименных   величин   для  установления   зависимости

между ними.

Совокупными  называются проводимые одновременно измерения нескольких одноименных величин, при которых их значения находят решением системы уравнений, получаемых при прямых или косвенных измерениях различных сочетаний этих величин.