Работа трансформатора с нагрузкой

Для анализа работы трансформатора с нагрузкой уравнения электрического состояния первичной (8.4) и вторичной (8.5) цепей записывают в виде

(8,7)

U₁ = - E₁ + I₁r₁ + jI₁x₁,

из которого следует, что ток в первичной обмотке трансформатора равен

(8.7a)

I1 =	U1 + E1	.
	r1 + jx1

и

(8,8)

U₂ = E₂ - I₂r₂ - jI₂x₂,

в которых jI₁x₁ = - Ē_р1 и jI₂x₂ = - Е_р2, где x₁ и х₂ - индуктивные сопротивления первичной и вторичной обмоток, обусловленные потоками рассеяния.

Как уже говорилось выше, при работе трансформатора с нагрузкой (см. рис. 8.1) во вторичной обмотке действует ток I₂ и основной магнитный поток создают МДС обеих обмоток. Так как положительные направления действующих значений токов в первичной и вторичной обмотках одинаковые от начала к концу (см. рис. 8.1), то основной манитный поток обусловлен суммой МДС. Сумма МДС, она векторная, заменяется одной результирующей:

(8,9)

Iw₁ + I₂w₂ = (Iw)_рез .

При холостом ходе I₂ = 0 и

(Iw)_рез = I₁w₁ = I₁₀w₁

и создаваемый этой МДС магнитный поток Ф_m = Ф_m0. Значение ЭДС Е₁₀, индуктируемой этим потоком, как следует из уравнения (8.6), почти равно U₁, так как ток холостого хода I₁₀ мал и падение напряжения от него в r₁ и х₁ пренебрежимо мало:

U₁ ≈ Е₁₀.

При изменении нагрузки изменяются ЭДС Е₁, магнитный поток и результирующая МДС трансформатора. Однако, как уже об этом говорилось, падение напряжения в первичной обмотке как при холостом ходе, так и при нагрузке невелико и практически можно допустить, что  Е₁ = E₁₀ = U₁ и ЭДС не зависит от нагрузки.

Если это допустить, то необходимо предположить, что магнитный поток и создающая его МДС также не зависят от нагрузки и  имеют те же значения, что и при холостом  ходе:

Ф_m = Ф_m0 и (Iw)_peз = I₁₀w₁.

Такое допущение намного упрощает анализ работы трансформатора и не вносит существенных погрешностей в расчетные формулы. Поэтому уравнение МДС (8.9) принято записывать в виде

(8,10)

I₁w₁ + I₂w₂ = I₁₀w₁,

a I₁₀w₁ в одних случаях называть МДС тока холостого хода, в других — просто результирующей МДС, так как в общем случае это совсем не одно и то же.

Необходимо отметить, во-первых, что физические явления в трансформаторе довольно сложные и их нельзя объяснить, если допустить, что E₁ и Ф_m не зависят от нагрузки.

Как, например, объяснить в этом случае, пользуясь уравнением (8.7 а), почему с изменением тока I₂ изменяется ток I₁? Невозможно. В действительности ток I₁ изменяется потому, что изменяется ЭДС E₁. Это вытекает из (8.7 а). В выражении (8.7 а) величины U₁, r₁, х₁ не зависят от тока I₂ и с его изменением остаются неизменными. Следовательно, I₁ есть функция E₁, а она вызвана магнитным потоком Ф_m(E = 4,44wfФ_m). Магнитный поток изменяется в результате действия МДС I₂w₂. Во-вторых, при нагрузках, значительно превышающих номинальные, например коротком замыкании, магнитный поток намного меньше, чем при номинальном режиме, и все сделанные выше допущения привели бы к недопустимым погрешностям в расчетных формулах. Разделив правую и левую части уравнения (8.10) на w₁ и решив его относительно тока I₁, получим

(8,11)

I₁ = I₁₀ - I₂w₂/w₁ = I₁₀ + I'₂,

где I'₂ =  - I₂w₂/w₁ — приведенное значение тока вторичной обмотки.

Из уравнения (8.11) вытекает, во-первых, то, что ток в первичной обмотке имеет две составляющие: ток холостого хода и ток, обусловленный нагрузкой, и, во-вторых, поскольку намагничивающий ток (ток холостого хода) не зависит от нагрузки, с изменением тока I₂ в той же степени изменяется ток I₁, что ранее было доказано с помощью закона сохранения энергии. Для качественного анализа и получения относительных количественных соотношений трансформатора с нагрузкой полезно использовать векторную диаграмму, которая является графическим отображением уравнений электрического состояния (8.7), (8.8) первичной и вторичной цепей трансформатора и уравнения токов (8.11).

Рис. 8.6. Векторная диаграмма нагруженного трансформатора

На рис. 8.6 изображена векторная диаграмма при  Z_н = r_н + jx_н . Необходимо отметить два важных положения, вытекающих из векторной диаграммы и рис. 8.1. Первое: напряжение вторичной обмотки почти совпадает по фазе с первичным (для идеализированного трансформатора совпадает точно). Второе: ток вторичной обмотки находится почти в противофазе с током первичной обмотки. Это означает, что МДС вторичной обмотки большую часть периода переменного тока является размагничивающей относительно МДС тока первичной обмотки (см. рис. 8.6).

Действительно, если напряжение u₁ = U_1msin ωt и направлено от начала к концу первичной обмотки, то, как это следует из векторной диаграммы, напряжениеи₂ можно записать так: u₂ = U_2msin (ωt - π) (угол несколько больше π, для идеализированного трансформатора точно π), но оно направлено от конца к началу вторичной обмотки. Если направление действия и₂ принять таким же, как и₁, — от начала к концу, то выражение и₂ следует записать в таком виде:и₂ = - U_2msin (ωt - π) или u₂ = U_2msin ωt. Отсюда следует, что в первую часть периода начала обмоток имеют положительный потенциал относительно своих концов, а во вторую часть периода — отрицательный, а это означает, что u₂ и u₁ почти совпадают по фазе (для идеализированного трансформатора совпадают точно).

Ток в первичной обмотке имеет выражение i₁ = I_1msin (ωt - φ₁) и направлен от начала к концу обмотки, ток во вторичной обмотке, как это следует из векторной диаграммы, равен i₂ = I_2msin (ωt - φ₁ - π) (угол несколько больше π, если же пренебречь током холостого хода I₀, то точно π). Следовательно, когда ток (движение положительных зарядов) в первичной обмотке направлен от начала к концу, то во вторичной — от конца к началу и наоборот. Таким образом, мгновенное значение результирующей МДС трансформатора равно почти арифметической разности (см. рис. 8.12) МДС первичной и вторичной обмоток

i₁w₁ - i₂w₂ = i₀w₁,

Рис. 8.7. Схема трансформатора

т. е. вторичный ток по отношению к первичному является размагничивающим, что соответствует правилу Ленца.

Определить значения величин, входящих в уравнения (8.7), (8.8), (8.11), например U₂ и I₂, при заданном значении нагрузки или построить график зависимости U₂ от I₂ возможно графически путем построений нескольких векторных диаграмм, что сопряжено со значительной затратой времени и погрешностью, свя­занной с неточностью графических построений. Поэтому для анализа и расчета трансформаторов используется схема замещения, в которой действительная магнитная связь между первичной и вторичной обмотками заменена гальванической, в результате чего возникает единая электрическая цепь переменного тока, позволяющая аналитически определить упомянутые выше величины. Схема замещения может быть получена следующим образом.

На рис. 8.7 изображена схема трансформатора, в которой активные сопротивления r₁, r₂ и индуктивные сопротивления x₁ и х₂ первичной и вторичной обмоток вынесены, магнитная связь осуществляется между идеализированными обмотками w₁ и w₂, в которых действуют ЭДС Е₁ и Е₂от основного магнитного потока. Трансформатор, в котором r₁, r₂, x₁, х₂ равны нулю, называется идеализированным; он обведен на рис. 8.7 пунктирной линией. Для образования гальванической связи, казалось бы, необходимо соединить точки aа' и бб' (рис. 8.7). Однако делать этого нельзя, так как значения ЭДС Е₁ и Е₂ не одинаковы и в результате возникло бы короткое замыкание. Поэтому вначале надо уравнять потенциалы точек aа' и бб', т. е. ввести вместо действительного значения ЭДС Е₂ его приведенное значение Е'₂, вместо действительного тока I₂ — его приведенное значение I'₂. В результате реальный трансформатор заменяется трансформатором с одинаковым числом витков первичной и вторичной обмоток. Приведенное значение ЭДС

Е'₂ = Е₁ = Е₂w₁/w₂ = Е₂п.

Приведенное значение (абсолютное) тока I'₂, как это вытекает из уравнения (8.11), равно  I'₂= I₂w₂/w₁. Это же можно доказать исходя из того, что мощность (электромагнитная мощность), воспринимаемая вторичной обмоткой от первичной, в схеме замещения  должна  иметь  то  же  значение,  что  и  в   реальном трансформаторе:

E2I2 = E'2I'2 = Е2	w1	I'2,
	w2

откуда I'2 = I2	w2	.
	w1

Поскольку в схеме замещения действуют приведенные значения Е'₂ и I'₂, отличные от действительных, необходимо привести и значения параметров вторичной цепи к первичной. В противном случае схема замещения не будет отражать реальные соотношения в трансформаторе.

Приведенные значения параметров вторичной цепи определяются из закона сохранения энергии: потери мощности в ак­тивном сопротивлении r'₂ и реактивная мощность индуктивного сопротивления х'₂ схемы замещения должны быть соответственно такими же, как в реальных r₂ их₂ вторичной обмотки трансформатора. Приведенные значения определяются из соотношений

I₂²r₂ = I₂²r'₂; I₂²x₂ = I₂²х'₂; I₂²z_н = I₂²z'_н,

откуда

r'₂ = r₂n²;  х'₂ = х₂n²;  z'_н = z_нn².

Приведенное значение напряжения на вторичной обмотке трансформатора

U'₂ = - U₂w₁/w₂ = - U₂n.

На рис. 8.8 изображена схема замещения трансформатора. Ветвь схемы замещения аб, в которой действует I₁₀, называется намагничивающей, ее параметры r₀ и х₀ были рассмотрены при изучении холостого хода трансформатора. Схема замещения представляет собой разветвленную электрическую цепь переменного тока, что несколько усложняет расчеты, поэтому в практике обычно пользуются упрощенной схемой замещения. В упрощенной схеме замещения намагничивающую ветвь аб переносят к выводам первичной обмотки. Это вносит некоторые погрешности из-за падения напряжения в r₁ и х₁. Однако падение напряжения столь мало, что им можно пренебречь. Для большинства трансформаторов, как об этом уже говорилось, ток холостого хода I₁₀ невелик и им можно пренебречь. Поэтому в упрощенной схеме замещения (рис. 8.9) предполагается, что I₁₀ = 0 и I₁ = I'₂, и намагничивающая ветвь на схеме не указывается.

Рис.     8.8.    Схема    замещения трансформатора

Рис. 8.9. Упрощенная схема замещения трансформатора

Упрощенная схема замещения трансформатора может быть получена и другим путем, который и рассмотрим.

Выразив Е₂ в (8.8) через E₁(E₂ = E₁w₂/w₁ = E₁/n) и решив уравнение относительно E₁, получим

E₁ = U₂n + I₂r₂n + jI₂x₂n.

Подставив это значение Е₁ в (8.7), получим

U₁ = - U₂n - I₂r₂n - jI₂x₂n + I₁r₁ + jI₁x₁. (8,12)

Если пренебречь током холостого хода (I₁₀ = 0), то из (8.11) следует, что

I₁ = - I₂w₂/w₁ = - I₂/n.

Подставив это значение I₁ в (8.12), получим

U₁ = - U₂n - I₂r₂n - jI₂x₂n - I₂r₁/n - jI₂x₁/n. (8,13)

Выразив U₂ и I₂ в (8.13) через их приведенные значения U'₂ = - U₂n и I'₂ = - I₂/n, откуда  U₂ = - U'₂/n и I₂ = - I'₂п (знак минус появился вследствие того, что во вторичной обмотке ток I₂направлен от начала к концу, напряжение — от конца к началу, а в схеме замещения эти направления изменены на обратные), получим U₁ = U'₂ + I'₂r₂n₂ + jI'₂x₂n₂ + I'₂r₁ + jI'₂x₁.

Обозначив r₂п₂ = r'₂ и х₂п₂ = х'₂, получим

U₁ = - U'₂ + I'₂r'₂ + jI'₂x'₂ + I'₂r₁ + jI'₂x₁ = U'₂ + I'₂(r₁ + r'₂) +jI'₂(x₁ + x'₂) =

=U'₂ + I'₂r_к + jI'₂x_к = U'₂ + I'₂Z_к.

Этому   уравнению   соответствует   упрощенная   схема   замещения трансформатора, изображенная на рис. 8.9.

На основании закона Ома применительно к  упрощенной схеме замещения можно записать

I1 = I'2 =	U1	.
	√rк + r'н)2 + (xк + x'н)2

(8.14)

где r_к = r₁ + r'₂— активное сопротивление обмоток трансформатора; х_к = х₁ + х'₂ — индуктивное сопротивление обмоток трансформатора; r'_н — приведенное значение активного сопротивления нагрузки; х'_н — приведенное значение индуктивного сопротивления нагрузки.

Напряжение на выводах вторичной обмотки трансформатора

U'₂ = U₁ - I'₂r_к - jI'₂x_к . (8,15)

Падение напряжения в обмотках трансформатора

ΔU = U₁ - U'₂ = I'₂Z_к,

где Z_к = r_к + jx_к— полное сопротивление обмоток трансформатора.

Рис. 8.10. Схема опыта короткого замыкания (а), схема замещения трансформатора при коротком замыкании (б)

Сопротивления r_к и x_к определяются из опыта короткого замыкания, поэтому их называют параметрами короткого замыкания трансформатора.

Опыт короткого замыкания. Для выяснения соответствия значений расчетных данных сопротивлений r_к и x_к их действительным проводят опыт короткого замыкания. Опыт проводят и для определения r_к и x_к , когда их расчетные значения не известны.

Схема опыта короткого замыкания изображена на рис. 8.10, а. Значение полного сопротивления обмоток трансформатора z_к составляет всего 5 — 15% сопротивления нагрузки, и если бы вторичная обмотка оказалась замкнутой накоротко при номинальном напряжении на первичной обмотке, то в обмотках трансформатора возник бы опасный для обмоток ток, больший номинального примерно в 10 — 20 раз.

Поэтому опыт проводят следующим образом. После сборки схемы опыта с помощью какого-либо регулятора напряжения устанавливают напряжение на первичной обмотке такого значения, при котором ток в обмотках равен их номинальным значениям. Напряжение при этом окажется не более 5 — 15% номинального. Это напряжение называют напряжением короткого замыкания и обозначают U_1к . Затем записывают показание приборов. На рис. 8.10, б изображена схема замещения при опыте короткого замыкания.

Рис.   8 11.   Схема  трансформатора к примеру

Мощность, измеряемая ваттметром, есть мощность всех потерь энергии в трансформаторе. Однако из-за малого значения напряжения на первичной обмотке и, следовательно, малого значения амплитуды магнитной индукции, что вытекает из выражения  U_1к = E_1к = 4,44 w₁fB_mS_ст , потери мощности в магнитопроводе, которые примерно пропорциональны квадрату амплитуды магнитной индукции, намного меньше, чем при номинальном напряжении, и значительно меньше потерь в обмотках трансформатора при номинальном токе и ими можно пренебречь. Таким образом, ваттметр фактически измеряет мощность потерь в обмотках трансформатора при номинальной нагрузке:

ΔР_к = I²_1нr₁ + I²_2нr₂ = I²_1нr₁ + I'²_2нr'₂,

а так как

I'_2н = I_1н   и   r'₂ = r₂n₂,

то

ΔP_к = I_1н²(r₁ + r'₂) = I_1н²r_к ,

откуда определяется значение

r_к = ΔP_к /I_1н².

Значение полного сопротивления определяется по  показаниям вольтметра и амперметра и составляет

z_к = U_1к/I_1к = U_1к /I_1н .

Значение идуктивного сопротивления определяется из выражения

x_к = √z_к² - r_к².

В трансформаторах малой мощности (10 —500 Вт) r_к > х_к , средней r_к < х_к , большой r_к << х_к .

Пример 8.1. Как изменятся амплитуда магнитной индукции, ток холостого хода, напряжение на вторичной обмотке, токи во вторичной и первичной обмотках трансформатора, а также мощность, потребляемая трансформатором, и потери мощности в магнитопроводе трансформатора, если уменьшить число витков первичной обмотки на 5 — 10% (выключатель Впереключить из положения а в положение б, рис   8.11)?

Решение.  1. Как вытекает из выражения

U₁ ≈ E₁ = 4,44fw₁B_mS_ст

при уменьшении числа витков первичной обмотки w₁ увеличится амплитуда магнитной индукции В_m в магнитопроводе трансформатора, так как  остальные  величины,  входящие  в  уравнение,  не  изменятся.

2.  Как вытекает из выражения

B_m = μ_aH_m,

увеличится значение амплитуды напряженности магнитного поля в магнитопроводе.

3. Из закона полного тока

H_ст m l_ст + H_0m l₀ = I_0mw₁

следует, что с увеличением Н_m увеличится и ток холостого хода I_0m.

4. Напряжение на вторичной обмотке U₂ увеличится, что вытекает из выражения

U₂ = U₁    w₂/w₁

5. Ток во вторичной обмотке I₂ увеличится, что следует из закона Ома,

I₂ = U₂/z_п

6. Ток в первичной обмотке I₁ и мощность, потребляемая трансформатором Р, увеличится, что следует из закона сохранения энергии,

P = U₂I₂ = I₂²r_п ≈ I₁U₁

или из уравнения

Ī₁=Ī₀ + Ī'₂.

7.  Потери мощности в магнитопроводе трансформатора возрастут, поскольку они пропорциональны примерно квадрату амплитуды магнитной индукции, а она увеличилась

Пример 8.2. Как изменятся напряжение вторичной обмотки, ток холостого хода и потери мощности в магнитопроводе трансформатора, рассчитанного для работы в сети с частотой f = 50 Гц, если его включить в сеть с частотой f = 100 Гц того же значения первичного напряжения?

Решение   1   Как вытекает из выражения

U  ≈ Е₁= 4,44w₁fB_mS_ст ,

с увеличением частоты f уменьшится значение амплитуды магнитной индукции B_m ,следовательно, и напряженности магнитного поля H_m(B_m = μ_аH_m), и тока холостого хода  I₀(H_ст ml_ст + H_0ml₀= I_0mw₁).

2. Напряжение вторичной обмотки не изменится, так как оно определяется из соотношения

U₂ = U₁    w₂ /w₁.

3. Потери мощности в магнитопроводе трансформатора

ΔPст = GΔP10Bmn(	f	)1,3
	50

уменьшатся, так как показатель степени n ≈ 2, а показатель степени частоты f равен 1,3.