18. понятие производной

Основные определения

Производная равна пределу отношения приращения функции к приращению аргумента, при условии, что последний стремится к нулю:

Ф

Определение

ункция, которая имеет конечную производную в некоторой точке, называется дифференцируемой в данной точке. Процесс вычисления производной называется дифференцированием функции.

Понятие производной

Пусть задана некоторая функция  . Возьмем какое-нибудь значение   из области определения этой функции:   . Соответствующее значение функции в этой точке будет равно   .

Приращение аргумента и функции

П

Определение

риращением аргумента называется разность между двумя значениями аргумента: "новым" и "старым".

Обычно обозначается как   .

З

Пример

адание. Найти приращение аргумента  , если он переходит от значения 3 к значению 3,2.

Решение. Искомое приращение:   .

Ответ. 

Зададим аргументу   приращение  . А тогда значение функции в новой точке .

П

Определение

риращением функции   в точке  , соответствующее приращению аргумента  , называется величина:

З

Пример

адание. Найти приращение функции   при   и

Решение. Подставляя в формулу, получаем, что приращение функции:

Ответ. 

Определение производной

П

Определение

роизводной   от функции   в точке   называетсяпредел отношения приращения функции   к приращению аргумента   :    при  , если он существует, то есть:

или

З

Пример

адание. Найти производную функции   в точке  .

Решение. Найдем приращение заданной функции в точке   :

Тогда

Ответ. 

Дифференцирование функции

О

Определение

перация нахождения производной функции называетсядифференцированием этой функции.

Функция   имеет производную на интервале   или называется дифференцируемой в этом интервале, если производная  существует в каждой точке этого интервала.

Функция   имеет в точке   бесконечную производную, если в этой точке   .

(

Теорема

О непрерывности функции в точке)

Если функция   имеет конечную производную в точке   , то она непрерывна в этой точке.

Замечание. Обратное заключение не всегда верно: если функция   непрерывна в некоторой точке   , то она может и не иметь производной в этой точке.

Ф

Определение

ункция   называется дифференцируемой в точке  , если приращение функции, соответствующее приращению аргумента, можно представить в виде:

где   - число, не зависящее от  ,   - б.м. функция при .

(

Теорема

О необходимом и достаточном условии дифференцируемости)

Для того чтобы функция   была дифференцируемой в точке  , необходимо и достаточно, чтобы   имела в этой точке конечную производную.

Теорема устанавливает, что для функции   дифференцируемость в данной точке   и существование конечной производной в этой точке - понятия равносильные.