
- •Математическое моделирование и вычислительный эксперимент.
- •Виды погрешностей.
- •2. Приближенное решение нелинейных уравнений
- •3.Численное решение систем нелинейных уравнений.
- •4.Численные методы решения систем линейных алгебраических уравнений (слау).
- •5. Численное интегрирование. Квадратурные формулы Ньютона–Котеса. Формула трапеций, формула Симпсона. Погрешность квадратурных формул. Интегрирование с помощью степенных рядов. Метод Монте-Карло.
- •6. Численное дифференцирование.
- •7. Интерполирование функций.
- •8. Численное решение задачи Коши для дифференциальных уравнений.
- •9. Краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений.
- •13. Комбинаторные объекты и комбинаторные числа
- •14. Рекуррентные соотношения
- •15. Булевы функции. Представление булевых функций полиномами Жегалкина.
- •17. Множества.
- •Операции над множествами
- •Свойства отношений
- •Примеры отношений эквивалентности
- •18. Графы.
- •Эйлеровы графы.
- •5 Красок
- •19. Алгоритмы на графах. Алгоритмы на графах.
- •Задача о кратчайших путях
- •Различные алгоритмы на графах
- •Перебор с возвратами
- •Методы сокращения перебора: эвристики, метод ветвей и границ, динамическое программирование.
- •20. Деревья.
- •21. Проблема разрешимости в алгебре высказываний.
- •24. Понятие о компьютерном математическом моделировании. Этапы и цели. Классификация математических моделей. Моделирование физических процессов.
- •25. Имитационное моделирование.
- •26. Моделирование фрактальных объектов. Моделирование фрактальных объектов.
- •Самоподобные множества с необычными свойствами в математике
- •Рекурсивная процедура получения фрактальных кривых
- •Фракталы как неподвижные точки сжимающих отображений
- •Фракталы в комплексной динамике
- •Стохастические фракталы
- •Применение фракталов
- •Конструктивные, алгебраические и стохастические фракталы.
- •Понятие о фрактальной размерности.
- •Рекурсивный алгоритм построения конструктивных фракталов.
- •Построение
- •Свойства
9. Краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений.
Постановка краевой задачи для обыкновенного дифференциального уравнения
Пусть дано дифференциальное уравнение второго порядка
|
(1.10) |
Двухточечная краевая задача для уравнения (1.10) ставится следующим образом.
Найти
функцию
,
которая внутри отрезка
удовлетворяет
уравнению (110), а на концах отрезка —
краевым условиям
|
(1.11) |
Рассмотрим случай, когда уравнение (1.10) и граничные условия (1.11) линейны. В этом случае дифференциальное уравнение и краевые условия записываются так:
|
(1.12) |
|
(1.13) |
где
–
известные непрерывные на отрезке
функции,
–
заданные постоянные, причем
и
.
Приближенное решение обыкновенных дифференциальных уравнений методом конечных разностей
Данный метод заключается в следующем.
Разбиваем
отрезок
наn
равных частей с шагом
и получаем точки
,
в которых требуется найти искомые
значения
.
Введем
обозначения:
Заменим
приближенно в каждом внутреннем узле
производные
конечно-разностными схемами:
|
(1.14) |
а на концах отрезка положим:
|
(1.15) |
Используя формулы (1.14)–(1.15), приближенно заменим уравнения (1.12)-(1.13) системой уравнений:
|
(1.16) |
Получим линейную алгебраическую систему, содержащую n+1 уравнение с n+1 неизвестным. Решив данную систему, получаем таблицу приближенных значений искомой функции.
Более
точные формулы получаются, если заменить
центрально-разностными отношениями:
|
(1.17) |
а на концах отрезка положить:
|
(1.18) |
Используя эти формулы, приближенно заменим уравнения (1.12)–(1.13) системой уравнений:
|
(1.19) |
Приближенное решение обыкновенных дифференциальных уравнений методом прогонки
При большом n непосредственное решение системы (1.16) становится громоздким. Поэтому были разработаны различные методы решения систем такого вида, например, метод прогонки.
Рассмотрим систему (1.16). Метод прогонки решения системы заключается в следующем.
Запишем
уравнения системы (1.14) в виде:,
где
|
(1.23) |
Полученную систему приводим к виду:
|
(1.24) |
Числа
последовательно вычисляются по формулам:
при
|
(1.25) |
При
|
(1.26) |
Вычисления производятся в следующем порядке.
Прямой
ход. По
формулам (1.23) вычисляем значения
.
Находим
по формулам (1.25). Затем вычисляем
по формулам (1.26) для
Обратный
ход. Из
уравнения (1.24) при
и последнего уравнения системы (1.16)
получаем:
Решив
эту систему относительно
,
будем иметь
|
(1.27) |
Используя
уже известные числа
,
находим
.
Затем вычисляем значения
,
последовательно применяя рекуррентные
формулы (1.22):
|
(1.28) |
Значение
находим из предпоследнего уравнения
системы (1.16):
|
(1.29) |
Таким образом, все вычисления «прогоняются» два раза.
Вычисления
прямого хода заготавливают вспомогательные
числа
в порядке возрастания индекса
.
При этом для вычисления значений
используется краевое условие на левом
конце отрезка интегрирования. Затем на
первом шаге обратного хода происходит
согласование полученных чисел
с краевым условием на правом конце
отрезка интегрирования, после чего
последовательно получаются значения
искомой функции
в порядке убывания индекса
.