Томпсон. Механистическая и немеханистическая наука. Исследование природы сознания и формы

ПРИЛОЖЕНИЕ 2

Информационное содержание законов химии

Настоящее приложение посвящено обсуждению информационного содержания физических законов, обуславливающих как химические реакции, так и взаимодействие вещества с электромагнитным излучением. Особый интерес для нас представляют законы нерелятивистской квантовой механики, представленные на рис.1 в главе 5. Эти законы применяются к физической системе из M частиц с пространственными координатами Qi,..., QM. B качестве частиц рассматриваются электроны и различные виды атомных ядер. Мы будем считать, что частицы заключены в очень большом ящике, в котором присутствует излучение, характеризуемое параметрамиq„ (n = 1,2,3,...).

Выражение (а) на рис.1 представляет собой уравнение Шредингера, а символом Т обозначена волновая функция, определяющая состояние системы. Гамильтониан H в уравнении (б) записан в виде суммы членов, представляющих физические взаимодействия различных типов. Первый член описывает распространение электромагнитного излучения в пространстве. Второй член описывает кинетическую энергию частиц, два следующих — взаимодействие заряженных частиц с электромагнитным полем. Пятый член представляет взаимодействие электромагнитного поля и спина (магнитного момента) частицы. И наконец, шестой член уравнения описывает электростатическое и гравитационное взаимодействия частиц.

Для оценки информационного содержания физических законов мы разработали программу численного решения уравнения Шредингера с Гамильтонианом, представленным на рис.1. Разумеется, на реально существующих компьютерах эту программу выполнить невозможно, поскольку соответствующие вычисления даже для весьма малого числа частиц превышают возможности самых быстрых машин. Тем не менее было бы очень интересно посмотреть, как выглядят физические законы и их абстрактные определения в виде элементарных арифметических операций.

В приложении 1 мы определяли информационное содержание, пользуясь конкретным языком программирования, использующим 64-символьный алфавит, включающий в себя цифры 0,...,9,

286 Приложение 2

буквы A,...,Z, а также специальные символы, обозначающие операции

IF THEN GOTO FOR TO NEXT PRINT

Символы, их значения и синтаксические правила позаимствованы из языка программирования BASIC. Мы добавили еще несколько специальных символов — например INT, означающий операцию округления числа до меньшего целого. При помощи этих символов представляются элементарные операции языка, через которые определяются более сложные — например извлечение корня. (Полное описание применяемого нами языка приводится в книге Томпсона (Thompson, 1980).

Программа численного решения уравнения Шредингера записывается на этом языке при помощи 1738 символов, то есть занимает менее двух третей страницы. Помимо выполняемых операторов в программу придется включить таблицу физических констант — например, зарядов и масс различных атомных ядер. Если мы отведем для этих данных 1062 символа, то полная программа представления и решения квантово-механических уравнений увеличивается до размеров страницы и составляет 2800 символов.

При написании программы было сделано несколько предположений. Во-первых, мы подразумеваем, что ограничивающий физическую систему «ящик» удовлетворяет так называемым периодическим граничным условиям. Это дает возможность представлять электромагнитный векторный потенциал А в стандартной форме — в виде суммы членов А„, содержащих синусы и косинусы. Также предполагается, что ящик очень большой и частицы удерживаются силами гравитации в его центре (это можно обеспечить при помощи введения соответствующего гравитационного потенциала). Эти предположения в совокупности означают, что границы системы могут рассматриваться как бесконечный вакуум. Поскольку наша модель не предусматривает взаимодействия ядер, в нее должен быть введен источник тепла и света, то есть стационарный источник электромагнитного излучения.

Мы подразумеваем также, что спин электронов равен 1/2, а ядра лишены спина и, таким образом, рассматриваются в качестве точечных заряженных масс. Мы не вводим релятивистских поправок и ограничиваем действие закона Кулона 1/г расстоя-

чтобы дать общее понятие об' информационном содержании известных в настоящее время законов физики и химии.

Внимательно рассматривая положения теории эволюции, мы выделяем три основных принципа:

(1)существование самовоспроизводящихся организмов высокой сложности физически возможно;

(2)эти организмы могут изменяться в ходе случайной мута-

ции;

(3)эти организмы подвержены селекции путем естественного

отбора.

Отсюда можно было бы сделать вывод, что в качестве основы построения модели эволюции способен выступить любой закон, обеспечивающий выполнение условий (1) - (3). По мнению Вигнера, в настоящее время не представляется возможным точно определить, пригодны ли для этого законы квантовой механики. Тем не менее, как уже говорилось в разделе 5.1, Джону фон Нейману удалось сформулировать математическую модель, обеспечивающую условия (1) - (3). Его клеточные автоматы с ограниченным количеством состояний, расположенные в ячейках двухмерной плоскости, нефизичны, и все же на их основе можно конструировать самовоспроизводящиеся «организмы» (универсальные машины Тьюринга) любой степени сложности.

Нами была составлена программа вычисления функции М(Х) для простейшей модели клеточного автомата, предложенной И. Коддом6. На ее основе можно создавать модели самовоспроизводящихся машин Тьюринга и путем несложной модификации учитывать влияние случайных мутаций. На первом этапе модель представляется пустой решеткой, впоследствии постепенно заполняемой хаотически распределенными состояниями. Программа вычисления М(Х) состоит из 1856 символов (занимает две трети страницы).

Как мы уже отмечали в разделе 5.2, вероятность эволюции высших форм в модели столь низкого информационного содержания практически равна нулю, даже если бы в начальном состоянии модели присутствовала популяция примитивных самовоспроизводящихся автоматов. В таком «обществе», р'аздираемом борьбой за пространство и жизненные ресурсы, можно ожидать проявления действия естественного отбора. В таком случае можно было бы также ожидать возникновения «высшего разума». Однако даже если бы он и появился, то оказался бы столь

чужд нам, что называть его «разумом» в полном смысле этого слова было бы нельзя. В общем, если какой-либо класс форм характеризуется описанием высокого информационного содержания, то вероятность эволюции этого класса невелика.

В заключение рассмотрим возможный способ определения функции М(Х) для нашей квантово-механической модели. Вопервых, мы должны установить схему кодирования молекулярных конфигураций целыми числами X. Необходимым условием объединения двух атомов в молекулу является сближение их ядер до определенного расстояния, зависящего от типа атомов и типа связи. Таким образом, схема связей внутри молекулы представляется в виде сети межъядерных расстояний.

Предположим, что расположение ядер в нашей модели описывается координатами Qi,..., Q№ где N<M. При помощи нашей схемы кодирования мы можем определить функцию Bx(Q\,..., QJV), принимающую значение 1, если некоторое подмножество ядерных координат (Qi,..., QN) удовлетворяет пространственным условиям, задаваемым значением X. В противном случае Вх = 0.

При помощи этой функции мы можем вычислить вероятность того, что в данной физической системе присутствует молекула, описываемая значением X. Если система находится в квантовомеханическом состоянии ¥, то

где интеграл берется по всем переменным ¥. Поскольку Вх определяет лишь необходимое (но не обязательно достаточное) условие существования молекулы X, то М(Х, *¥) задает верхний предел вероятности ее присутствия в системе.

Каждая совокупность Qi,..., QN представляет лишь ограниченное количество молекулярных конфигураций. Должна существовать величина Т, для которой

£^(Q„K,Q*)<:r (45)

х

для всех совокупностей Qi,..., QN.

Для оценки величины Т наложим дополнительное ограничение на Вх. Потребуем, чтобы она принимала значение 1 только если некоторые из координат удовлетворяют условию для X, но находятся вне пределов расстояния связи от прочих Q,. В таком

случае условие Вх = 1 означает, что соответствующая молекула присутствует в системе, не являясь при этом частью молекулы большего размера. То есть каждая Qy может быть частью не более чей одной конфигурации, соответствующей X, для которого

Ял40ь-.,QJV)=1.ОтсюдаГ^N.

Функция М(Х,У) определяется в соответствии с формулой (44), а волновая функция — физическими законами, и начальными и граничными условиями. Мы можем также рассчитать вероятность обнаружения X в системе, характеризуемой смешанным

состоянием. Пусть его компоненты Ч'у входят в смешанное состояние с весом ц. В таком случае искомая вероятность ограничена величиной ^OjMlx^j]. Таким образом, полное инфор-

мационное содержание функции М(Х) дается выражением

L(M) S Цначальных условий) + Цграничных условий) + (46)

Дфизических законов) + L(B) + L(t) + константа.

Рассматриваемая нами функция Вх задается кодом, объем которого не превышает половины страницы и, следовательно, для задания L(B) потребуется примерно столько же, то есть около 8400 бит. Напомним, что в разделе 5.2 мы отводили этому члену целую страницу, учитывая более сложный вид Вх.

Константа равна количеству символов, необходимых для записи формулы (44) плюс незначительные «непредвиденные расходы». При расчете L(M) мы вынуждены учитывать ее временную зависимость, поскольку время входит в функцию состояния системы. Однако в весьма широком интервале времени — от нуля до миллиардов лет — член L(t) оказывается ничтожно мал, и, следовательно, им можно пренебречь. Как было показано ранее, Дфизических законов) в нашей модели составляет около страницы текста. Отведя четыре страницы на описание начальных и граничных условий, мы получаем верхний предел ДМ), указанный выражением (16) раздела 5.3.

Примечания

1.Garey, Superweak Interactions and the Biological Time Direction, pp.1-5

2.Начиная с момента своего появления в 40-х годах и по сей день теория квантовой релятивисткой электродинамики сопряжена со значительными математическими трудностями,

для преодоления которых как правило используется метод ренормализации. Использование данной процедуры в некоторых случаях позволило исследователям производить вычисления, результаты которых прекрасно согласуются с экспериментальыми данными. Тем не менее математические проблемы не устранены, и по мнению Поля Дирака, «в будущем метод ренормализации будет отвергнут, а получаемое с его помощью соответствие теории и эксперимента следует рассматривать как счастливую случайность» (Dirac, «Evolution of the Physist's Picture of Nature», p.50).

3.Wigner, Epistemological Perspective on Quantum Theory.

4.Wigner, The Probability of the Existence of a Self Reproducing

Unit, pp. 231-238.

5.Wigner, Epistemological Perspective on Quantum Theory, p. 374.

6.Codd, Cellular Automata.

Библиография

Adler, J. «Is Man a Subtle Accident?» Newsweek, 3 November 1980, pp. 95-96.

Andrews, Henry N. Jr. «Studies in Paleobotany». New York: John Wiley and Sons, 1961.

Axelrod, Daniel I. «Evolution of the Psilophyte Paleoflora». Evolution. Vol. 13, June 1959, pp. 264-275.

Axelrod, Daniel I. «The Evolution of Flowering Plants». In Evolution After Darwin. Vol. 1, The Evolution of Life. Edited by S. Tax. Chicago: University of Chicago Press, 1960.

Bell, Eric T. «Men of Mathematics». New York: Simon and Schuster, 1937.

Bell, Joh'n S. «On the Problem of Hidden Variables in Quantum Mechanics». Reviews ofModern Physics. Vol. 38, no. 3, July 1966,pp. 447-452.

Berg, Howard C. «How Bacteria Swim». Scientific American, August 1975,pp.36-44.

Bhaktivedanta Swami Prabhupada, A.C. «Bhagavad-gita As It Is». Sanskrit text, translation, and commentary. New York: Collier Books, 1972.

Bhaktivedanta Swami Prabhupada, A.C. «Sri Isopanisad». Sanskrit text, translation, and commentary. Los Angeles: Bhaktivedanta Book Trust, 1974.

Bhaktivedanta Swami Prahhupada, A.C. «Srimad-Bhagavatam of Krisna-Dvaipdyana Vyasa». Sanskrit text, translation, and commentary. Cantos 1-10 (30 vols.) Los Angeles: Bhaktivedanta Book Trust, 1972-1980.

Bhaktivedanta Swami Prabhupada, A.C. «Teachings of Lord Caitanya». Los Angeles: Bhaktivedanta Book Trust, 1974.

Bhaktivedanta Swami Prahhupada, A.C. «The Nectar of Devotion».

A Summary Study of Srila Rupa Gosvami's «Bhakti-

rasamrita-sindhu». Los Angeles: Bhaktivedanta Book Trust, 1970.

Bohm, David. «Causality and Chance in Modern Physics». London: Routledge and Kegan Paul, 1957.

Bohm, David and Bub, J. «A Proposed Solution of the Measurement Problem in Quantum Mechanics by a Hidden Variable Theory». Reviews of Modern Physics. Vol. 38, no. 3, July 1966,pp.453-468.

Brush, Stephen G. «Should the History of Science be Rated X?» Science. Vol. 183, 22 March 1974, pp. 1164-1172.

Buddenbrook, Wolfgang von. The Senses. Ann Arbor: University of Michigan Press, 1958.

Capra, Fritjof. «The Tao of Physics». New York: Bantam Books, 1975.

Chaitin, Gregory G. «Algorithmic Information Theory». IBM Journal of Research and Development, Vol. 21, no. 4, July 1977,pp.350-359.

Codd, E. F. «Cellular Automata». New York: Academic Press, 1968.

Cozzarelli, Nicholas R. «DNA Gyrase and the Supercoiling of DNA». Science. Vol. 207, 29 February 1980, pp. 953-960.

Crick, Francis. «Split Genes and RNA Splicing». Science. Vol. 204, 20, April 1979, pp. 264-271.

Daneri, A.; Loinger, A.; and Prosperi, G.M. «Further Remarks on the Relations Between Statistical Mechanics and Quantum Theory of Measurement». // Nuovo Cimento. Vol. 44B, no. 1,1966, pp. 119-128.

Daneri, A.; Loinger, A. and Prosperi, G.M. «Quantum Theory of Measurement and Ergodicity Conditions». Nuclear Physics. Vol. 33, 1962, pp. 297-319.

Darwin, Charles. «On the Origin of Species». New York: Athenum, 1972.

Darwin, Charles. «The Life and Letters of Charles Darwin». Vol. 1. New York: D. Appleton, 1896.