Точки разрыва функции могут быть Ι рода (выполнено только условие 2 – «устранимый разрыв» или выполнено условие 1, причем в точке односторонние пределы конечны, но различны – «скачок») или ΙΙ рода (предел функции в точкене существует либо хотя бы один из односторонних пределов бесконечен).

Пример 2.1.

Исследовать функцию на непрерывность:

.

Решение.

1. Каждая из составляющих функций является элементарной, значит, каждая из них непрерывна во всех точках, в которых она определена. Точки, «подозрительные» на разрыв: х = 0, х = 1.

Пусть x = 0.

y(0) существует, у(0) = 3∙0 = 0.

Следовательно, в точке х = 0 функция непрерывна по определению.

Пусть х = 1.

y (1) существует; у(1) = 2.

3 ≠ 2, следовательно, точка х = 1 является точкой разрыва 1-го рода (скачок).

2. D(y): x ≠ 1.

Т. к. в точке х = 1 функция не определена, то это точка разрыва.

точка разрыва второго рода.

2.10. Найти точки разрыва функций:

1) ; 2);

3) 4)

2.11. Исследовать функции на непрерывность:

1) ; 2); 3)

4) 5); 6);

7) 8);

Контрольные задания

Вариант 1.

1. Найти пределы:

2. Исследовать на непрерывность и найти точки разрыва функции (указать их характер):

Вариант 2.

1. Найти пределы:

2. Исследовать на непрерывность и найти точки разрыва функции (указать их характер):

Вариант 3.

1. Найти пределы:

2. Исследовать на непрерывность и найти точки разрыва функции (указать их характер):

2.3. Производная и дифференциал

Определение. Производной функции f(х) называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента при ∆х стремящемся к нулю, если этот предел существует:

Производные простейших функций:

1. ()' =; частные случаи:; ()' =.

2. ()' =; частный случай:

3. ()' =; частный случай: ()' =.

4. (sinx)' = cosx. 5. (cosx)' = − sinx.

6. (tgx)' = . 7. (ctgx)' = .

8. (arcsinx)' = . 9. (arccosx)' = –.

10. (arctgx)' = . 11. (arcctgx)' = –.

Правила дифференцирования

1. Производная постоянной:

2. Производная суммы:

3. Производная произведения .

Следствие: , т. е. постоянный множитель можно вынести за знак производной.

4. Производная частного:

5. Производная сложной функции: ,

где f = f(x), g = g(x) – дифференцируемые функции.

Пусть функция задана параметрически: Тогда еепроизводная равна

2.3.1. Примеры вычисления производных

,

11. Найти производную функции, заданной неявно:

Решение.

2.12. Найти производную функции по определению производной:

1) 2)3)

4) 5)6)

2.13. Найти производную функции:

1)2)3)4)

5)6)7)8)

9)

10)

11) 12)13)

14) 15)16)

17) 18)19)

20) 21)22)

23) 24)25)26)27)28)

29) 30)31)

32) 33)34)

2.14. Найти производную функции и вычислить ее значение при x = x₀:

1) 2)

2.15. Найти производные функций, заданных неявно:

1) 2)

3) 4)

2.16. Найти производную n-го порядка функций:

1) 2)

3) 4)

2.3.2. Применение производной в экономике

2.17. Объем продукции u (ед.) в течение рабочего дня представляет функцию u = , гдеt – время (ч). Найти производительность труда, скорость и темп ее изменения через 2 часа после начала работы; за 1 час до ее окончания (при 8-часовом рабочем дне).

2.18. Зависимость между издержками производства y (ден. ед.) и объемом выпускаемой продукции х (ед.) выражается функцией:

а)б)

Определить средние и предельные издержки при объеме продукции, равном 5 ед.

2.19. Зависимость между себестоимостью продукции С и объемом Q ее производства выражается формулой Определить эластичность себестоимости при выпуске продукции, равном 30.

Указание. Эластичность функции y(x) равна

где и− относительные приращения функции и аргументов соответственно. Эластичность функции показывает приближенно, на сколько процентов изменится функцияy = f(x) при изменении аргумента x на 1 %.

2.20. Функции спроса q и предложения s от цены p выражаются соответственно уравнениями: 1) q = 7 − p, s = p + 1; 2)

Найти: а) равновесную цену; б) эластичность спроса и предложения для этой цены; в) изменение дохода (в процентах) при увеличении цены на 5 % от равновесной.

2.21. Функции спроса q и предложения s от цены p выражаются соответственно уравнениями q = 9 − p и s = p + 2.

Найти: а) равновесную цену; б) эластичность спроса и предложения для этой цены; в) изменение дохода (в процентах) при увеличении цены на 10 % от равновесной.

2.22. Функции долговременного спроса q и предложения s от цены p на мировом рынке нефти имеют соответственно вид: q = 30 − 0,9p, s = 16 + 1,2p.

1. Найти эластичность спроса в точке равновесной цены.

2. Как изменятся равновесная цена и эластичность спроса при уменьшении предложения нефти на рынке на 25 %?

2.23. Зависимость между себестоимостью готовой продукции предприятия у (млн руб.) и объемом выпускаемых изделий х (тыс. шт.) выражается уравнением Найти эластичность себестоимости продукции предприятия, выпускающего 12 тыс. шт. изделий. Какие рекомендации можно дать руководителям предприятий об изменении величины объема выпускаемой продукции?

2.24. Зависимость потребления y от дохода x задается функцией Показать, что эластичность функции потребления от дохода не зависит от параметраа и стремится к нулю при неограниченном возрастании дохода.

2.25. Функция потребления некоторой страны имеет вид: гдеx − совокупный национальный доход.

Найти: а) предельную склонность к потреблению; б) предельную склонность к сбережению, если национальный доход составляет 32.

2.26. Функция сбережения некоторой страны имеет вид: гдеx – совокупный национальный доход.

Найти: а) предельную склонность к потреблению; б) предельную склонность к сбережению, если национальный доход составляет 27.

2.27. Функция спроса q от цены p описывается формулой гдеиk – известные величины. Найти, при каких значениях цены p спрос будет эластичным.

2.28. Найти изменение выручки с увеличением цены на товар при разных вариантах эластичности спроса, если выручка V(р) равна произведению цены р на величину спроса q(р).

2.3.3. Дифференциал функции

Определение. Дифференциалом функции у = f(х) называется выражение

Применение дифференциала в приближённых вычислениях: при достаточно малых значениях х

Пример 2.2.

Вычислить приближенно с помощью дифференциала:

Решение.

2.29. Найти дифференциал функции и вычислить его значение

при заданных x и х:

2)

3)4)

2.30. Вычислить приближенно:

1) 2)3)4)

Контрольные задания

Вариант 1.

1. Найти производные функций:

а) б)

2. Найти производную функции, заданной параметрически:

3. Найти производную 2-го порядка:

4. Найти Δy и dy функции приx = 2, Δx = 0,01.

5. Вычислить приближенно с помощью дифференциала

Вариант 2.

1. Найти производные функций:

а) б)

2. Найти производную функции, заданной параметрически:

3. Найти производную 2-го порядка:

4. Найти Δy и dy функции приx = 3, Δx = 0,02.

5. Вычислить приближенно с помощью дифференциала

Вариант 3.

1. Найти производные функций:

а) б)

2. Найти производную функции, заданной параметрически:

3. Найти производную 2-го порядка:

4. Найти Δy и dy функции приx = 1, Δx = 0,03.

5. Вычислить приближенно с помощью дифференциала

2.4. Приложения производной

Одно из приложений производной − правило Лопиталя при вычислении пределов (в случаях неопределенностей и):

Примеры.

2.31. Найти пределы по правилу Лопиталя:

1) ; 2); 3); 4);

5) ; 6); 7); 8);

9) ; 10).

2.4.1. Исследование функции на монотонность,

Экстремумы и выпуклость.

Асимптоты графика функции

Определение. Критической точкой функции у = f(х) называется точка в которой производная равна нулю или не существует.

Теорема. Если в промежутке (а; b) производнаяположительна/отрицательна, то в этом промежутке функциявозрастает/убывает.

Теорема. Если при переходе через критическую точку производнаяменяет знак с «+» на «−» (с «−» на «+»), то − точка максимума (минимума) функции

Определение. Функция называетсявыпуклой вверх (вниз) в промежутке (а; b), если в этом промежутке точки графика лежат под (над) касательными, построенными в этих точках. Точкой перегиба называется точка графика функции, которая делит его на части с разными направлениями выпуклости.

Пример 2.3.

Исследовать функцию на монотонность и экстремумы, выпуклость.

Решение.

Исследуем функцию на монотонность и экстремумы.

Сделаем рисунок (рис. 2.1).

Рис. 2.1. Исследование функции на монотонность и экстремумы

х = 1,5 – точка минимума, y_min =

Исследуем функцию на выпуклость.