Мещерский И.В. Сборник задач по теоретической механике (1975)

Отв.ет:

•ге»о = 29,4 см/сек*; ВАВ =

= 5,24 сек-\

Ответ: а>=2 сек'1;

е = 1 6 сек'%,

К задаче

18.12.

©д = 565,6 см/сек1.

18.13 (571). Определить

угловую скорость

и угловое

ускорение

шатуна нецентрального кривошипного маханизма, а также

скорость

кальном

верхнем положении

кривошипа

ОА, если последний вра-

щается

вокруг

конца О с постоянной

угловой скоростью ш0, причем

даны: OA = r, AB — 1, расстояние оси О

кривошипа от линии дви-

жения ползуна

OC = h (см. чертеж к

зада-

че 16.16).

Ответ: 1) и> = -

\ Г — Я"

\Г — /Г) ' -

Лго)0

-Г. .

г/8

1

А^

щ = гш0;

WB =

К задаче 18.14.

18.14.

Стержень

ОА

шарнирного четырехзвенника ОАВО\ вра-

щается С ПОСТОЯННОЙ уГЛОВОЙ СКОРОСТЬЮО)0-

Определить

угловую

скорость,

угловое

ускорение

стержня АВ,

а также ускорение

шарнира В в положении,

указанном

на чертеже,

если АВ = 2ОА = 2а.

Ответ:

со= 0;

e=

^-a>j, ^

= ^g-au)o-

АВ = 60 см; расстояние

между

осью

вала и

осью цапф

цилиндра

ОО! = 60 см.

Определить

ускорение

поршня В

и радиус

кривизны его траек-

тории при двух

положениях цилиндра: 1) когда кривошип

и шатун

взаимно перпендикулярны

и 2) когда кривошип занимает положе-

ние

///; угловая

скорость

кривошипа

u>0 = const = 5 сек'1.

(См. чер-

теж

к задаче 16.27.)

Ответ: 1) да = 6,12 см/сек9;

р= 589 см;

Ответ:

Ускорение

направлено к центру

колеса

и равно —-.

18.22 (557). Вагон трамвая движется по прямолинейному горизон-

тальному

участку

пути

с замедлением wo =

2 м/сек9, имея в данный

момент скорость

va= 1 м/сек.

Колеса

катятся

по

рельсам без

скольжения.

Найти

ускорения

концов двух диаметров

ротора,

образующих

х вертикалью углы по 45°, если

радиус колеса

R =

0,5 м, а ротора

г = 0,25 м.

Ответ:

W\= 2,449 м/сек9;

Wi = 3,414 м/сек2;

w3 = 2,449 м/сек2;

•а>4 = 0,586 м/сек1.

.ров колеса,

из которых

один параллелен

рельсу,

если в рассматри-

ваемый момент

времени

скорость центра колеса г>о=1 м/сек,

уско-

рение центра колеса •а>о = 3 м/сек*, радиус

колеса

/? =

0,5 м.

Ответ:

Wi= 2 м/сек*;

яе>2 =

3,16

м/сек*;

w3

= 6,32 м/сек9;

о>4=

5,83

м/сек*.

18.24 (559).

Колесо

радиуса

R = 0,5 м

катится

без

скольжения

по прямолинейному рельсу, в данный

момент центр

О колеса

имеет

скорость г>о =

О,5 м/сек

и замедление

гСо=

О,5

м/сек9.

Ответ:

1)

г = 0,3536

м,

9 = — - j ;

2)

wc = 0,5

м/сек2;

3) WM= 0,3536 м/сек2;

4) р= 0,25 ж.

18.25 (560).

Шестеренка

радиуса # = 1 2 см

приводится

вдви-

жение

кривошипом 0/4, вращающимся

вокруг

оси О неподвижной

шестеренки

с тем же радиусом; кривошип вращается с угловым уско-

рением

е о

= 8

сек'2,

имея

в

данный

момент

угловую

скорость

о) == А

сек •

Определить:

1) ускорение

той точки подвижной

шестеренки, кото-

рая в

данный

жжент

совпадает

с мгновенным

центром

скоростей,

2) ускорение диаметрально противоположной точки JVii

3) положе-

ние мгновенного центра ускорений К.

Ответ:

1) ™AI= 9 6 см/сек2;

2) и»лг= 480 см/сек2;

3) МК= 4,24 см; ZAMK=

45°

К задаче 18.25.

К задаче 18.26

18.26

(561).

Найти

положение

мгновенного центра

ускорений и

скорость

VK ТОЧКИ фигуры, совпадающей с

ним в данный

момент,

а также

ускорение

We точки

фигуры,

с которой в данный

момент

совпадает

мгновенный

центр

скоростей,

если

шестеренка / радиуса г

катится внутри

шестеренки

// радиуса R = 2r и кривошип ООу, при-

водящий

в движение бегающую шестеренку, имеет постоянную угло-

вую скорость w0.

Ответ:

Мгновенный

центр

ускорений совпадает с

центром О

неподвижной

шестеренки; VK = 2ru>0;

18.27

(563).

Найти ускорения

концов В, С, D, Е двух

диаметроз

шестеренки

радиуса

гА = 5

см,

катящейся

снаружи

неподвижной

шестеренки

радиуса

г2 = 15 см. Подвижная

шестеренка

приводится

в движение при помощи кривошипа ОА, вращающегося с постоянной

угловой

скоростью

ш о = 3

сек'1

вокруг

оси О неподвижной шесте-

Ответ:

со= |/"з сек'1, е= 0.

18.30. Ускорения

концов однородного стержня

АВ длиной 12 см,

совершающего

плоское

движение, перпендикулярны

к АВ и направ-

лены в одну

сторону, причем и>л= 24 см/сек2, Wg=\2

см/сек2.

Определить

угловую скорость, угловое ускорение

стержня, а также

ускорение его центра тяжести С.

Ответ:

о)= О,

е = 1 сек'2,

ускорение

точки С

перпендикулярно

к АВ, направлено

в

сторону

ускорений

точек

А

и

В и равно

вершин его С и Д

если известно,

что в данный

момент ускорения

двух вершин А

и В

одинаковы

по

величине

и равны 10 см/сек2.

Направление ускорений то-

чек А и В совпадает со

А

" "

сторонами квадрата, как ука-

ш

зано на чертеже.

л

Ответ:

WQ = wD =

==10 см/сек2 и направлены

по сторонам квадрата. Мгно-

венный центр ускорений на-

D

ХОДИТСЯ В ТОЧКе пересече-

К задаче 18.33.

К задаче 18.34

ния диагоналей

квадрата.

18.34 (577).

Равносторонний

треугольник

ABC

движется в пло-

волчка вокруг

оси С равна

(ov

а постоянная угловая скорость собст-

венного вращения волчка равна ш.

Определить

величину и направление абсолютной угловой скорости

Я волчка.

Ответ: 2 = |Ло

-2шсвх cos 8,

cos(Q, z)

=

i

COS 6

=.

К задаче 19.2.

вращается с

угловой

скоростью

©! вокруг

оси £> направленной по

касательной к траектории центра тяжести С снаряда.

Определить

скорость

точки М снаряда

в его вращательном дви-

жении,

если

СМ = г

и

отрезок

СМ перпендикулярен к оси z; угол

между

осями z

и С равен

Ответ:

VM = (

c °s Tf)

скорость

центра основания конуса t)c = 48 см)сек = const.

Ответ:

w = 2 0 сек'1; ^ = 20 cos 15*, ^ = 20sin \5t,

Zi=0;

К задаче 19 3.

К задаче 19 4.

19.4 (597).

Конус, вершина

О

которого

неподвижна,

катится

по

плоскости

без

скольжения. Высота

конуса

СО—18

см, а угол

при

вершине

АОВ = 90°. Точка

С,

центр

основания конуса, дви-

жется равномерно и возвращается в

первоначальное положение че-

рез 1 сек.

Определить скорость

конца

В диаметра

АВ,

угловое

ускорение

конуса

и

ускорение

точек

А

и

В.

Ответ:

vB = S6i:\/r2

см/сек =

= 160 см/сек; s = 39,5 сек'2

и

направ-

лено перпендикулярно к ОА и ОВ; там =

= 1000 см/сек9

и направлено

параллель-

но OB; WB= 1000 \^2 см/сек\ лежит

в

плоскости

АОВ

и

направлено под углом

45° к ОВ.

К задаче 19 5.

19.5 (598). Конус А обегает

120 раз

в минуту

неподвижный

конус

В.

Высота

конуса OOi — 10 см.

Определить

переносную

угловую

скорость ше

конуса

вокруг оси

z, относительную угловую скорость сог

конуса вокруг оси ОО\, абсо-

лютную угловую

скорость

соа

и

абсолютное

угловое ускорение

га

конуса.

Отвеет: <ое = 4те сек'1;

шг=

6,92тс

сек'1;

ша = 8к сек'1

и направлена

по оси ОС;

ев

= 27,68яа сек"2 и направлено

параллельно

оси х.

19.6S (599).

Сохранив

условия предыдущей задачи, определив ско-

wDy

= — 480те2

см/сек*, wDg

= — 160

см/сек*.

19.7

(600).

Конус // с

углом при вершине а2

= 45° катится без

скольжения

по внутренней

стороне

неподвижного

конуса

/ с углом

при вершине <х1

=

90°.

Высота

подвижного

конуса

OOt

-—100 см.

Точка

О\, центр

основания подвижного конуса, описывает

окружность

в 0,5

сек.

Определить

переносную

(вокруг

оси г),

относительную

(вокруг

оси OOi)и

абсолютную

угловые

скорости

конуса II, а также его абсо-

лютное углозое

ускорение'.

Ответ:

ше

=

4гс сек'1 и направлена пооси z;

о)г

=

7,39и: сек'1

и

направлена по

оси ОХО;

ша

= 4тс сек'1

и направлена по оси

ОМ.2;

еа =11,3тс2

сек'9

и направлено по

К задаче 19 7.

оси

х.

19.8

(601).

Сохранив условия предыдущей задачи, определить

скорости и ускорения

точек

Оь

Мь

М% подвижного конуса.

Ответ:

г>0

=

153,2п: см/сек и направлена параллельно

отрицатель-

ной оси

Ox;

V\ = 306,4it

см[сек

и

направлена

параллельно

отрицательной

оси Ox; t)3

= 0, wo

=

= 612,8тс2 см/сек2

и направлено от О\ по перпен-

дикуляру

к Oz; проекции ускорения

точки М{.

^

см/сек\

W\2 = — 865тс2

см\сек\

см)сек1,

лежит

в

плоскости

OOiM^

и направлено перпендикулярно кОМ%.

19.9(602).

Диск

ОД

радиуса

# = 4|/~3 см,

вращаясь вокруг

неподвижной

точки

О, обкаты-

вает

неподвижный

конус

с

углом

при вершине,

К задаче 19 9.

равным 60°. Найти угловую скорость

вращения

диска

вокруг его оси симметрии, если

ускорение

ТОЧКИ А диска

ио величине

постоянно и равно 48 см/сек*.

Ответ:

ш = 2 сенГ1.

19.10 (603). Тело движется

вокруг

неподвижной

точки. В неко-

торый

момент угловая

скорость его изображается вектором, проекции

которого на координатные оси равны

у 3, у 5, У1'.

Найти в этот

момент

скорость

v

точки

тела, определяемой координатами К 12,

/20,

/28.

Ответ: v = 0.

19.11 (606). Коническое зубчатое

колесо, ось которого пересе-

кается с геометрической

осью

плоской

опорной

шестерни в центре

Ответ:

шг= 1,047

сек'я;

со = 0,907 сек~\

19.12 (608).

Угловая

скорость тела

ш= 7 сек"х; мгновенная

ось его состав-

ляет в данный

момент

с

неподвижными

К задаче 19 11.

координатными

осями

острые углы а,

Р и Т-

Ответ: vx — — 12 м/сек; vy = 0\ г»г = 4 м/сек; v=

12,65 м/сек;

d==\,82 м.

19.13

(609). Найти уравнения мгновенной оси и величину

угловой

скорости

(о тела, если

известно, что проекции скорости

точки

М\ф, 0, 2) на координатные оси, связанные с телом, равны

vxi = 1 м/сек;

vyl = 2 м/сек; vzl = 0,

а направление скорости

точки

М2(0, 1, 2) определяется

косинусами

углов, образованных с осями координат:

Ответ:

= 0; dx-\-z = 0;

= 3 , 2 сек~\

-!>

19.14. Коническое зубчатое колесо,

свободно насаженное на кривошип ОА,

обкатывается

по неподвижному кониче-

К задаче 19 14.

скому зубчатому основанию. Опреде-

лить угловую скорость w и угловое

ускорение s

катящегося

колеса, если

модули

угловой

скорости и

углового ускорения

(их направления указаны на рисунке) кривоши-

па ОА, вращающегося вокруг

неподвижной

оси OiO,

соответственно

равны (о0 и е0.

Ответ: &=-г^-в\,

е=-А— ei-\~u>l ctga£a (

где в\ — единичный

вектор,

направленный

от

точки

О к точке С,

а е^— единичный вектор, перпендикулярный к плоскости

ОАС и на-

правленный

на читателя.

19.15. В условиях

предыдущей задачи определить ускорения точек

С и В, если

радиус

основания

равен

R.