Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 2 (2001)

исчезающий, если у K(ν,u) имеются какие-то нулевые моды. Этот

результат легко понять, если вспомнить правила интегрирования по фермионным параметрам. Разлагая ψ(x) è`ψ(x) по собственным модам K, можно записать интеграл по ψ(x) è`ψ(x) как интеграл по

коэффициентам в этих разложениях. Коэффициенты нулевых мод не входят в квадратичное приближение в действии, так что для каждой такой фермионной нулевой моды получается интеграл по фермионному параметру, который не входит в подынтегральное выражение, так что согласно общим правилам раздела 9.5 этот интеграл равен нулю. Единственными неисчезающими членами в интеграле по фермионным параметрам будут те, для которых подынтегральное выражение содержит по одному множителю каждой переменной интегрирования. Отсюда интеграл по фермионным полям в выражении (23.7.1) не обратится в нуль только в случае, если в О имеется единственное фермионное поле для каждой нулевой моды в K. Для инстантонов существуют фермионные нулевые моды, числа и киральности которых определяются теоремами об индексах, типа доказанной в разделе 22.2 теоремы об индексе Атьи–Зин- гера, так что для заданного топологического числа разрешены только определенные процессы. На этой основе ′ò Õîôò 25 показал, что порождаемое инстантонами с ν = 1 не сохраняющее барионное и

лептонное числа эффективное взаимодействие в электрослабой стандартной модели должно включать ровно по одному каждому лептонному аромату.

23.8. Распад вакуума

Вакуумное состояние стабильно, если средние значения его скалярного поля соответствуют истинному минимуму эффективного потенциала. Однако если средние значения скалярного поля находятся в локальном минимуме, которые выше истинного, тогда такой вакуум метастабилен. «Фальшивое» метастабильное вакуумное состояние, соответствующее локальному минимуму, будет распадаться в стабильный «истинный» вакуум, соответствующий истинному минимуму, за счет процесса подбарьерного перехода, аналогичного ядерному альфа-распаду или спонтанному делению. Конечно, речь не идет о процессе, который можно наблюдать в лаборатории, но предположительно он происходил несколько раз

Мы вернемся позже к явному приближенному решению для ϕ(ρ), но сначала рассмотрим, как можно использовать такие реше-

íèÿ.

В данном случае мы имеем не однобаунсовую конфигурацию, при которой евклидово действие стационарно, но континуум, характеризующийся коллективными координатами x0 è t0. Согласно результатам раздела 23.7, мы должны провести интегрирование по этим параметрам, и так как В не зависит от x0 è t0, что в результате дает множители V и Т в ящике пространственного объема V. Вклад всех однобаунсовых конфигураций в функциональный интеграл (23.8.2) дается в однопетлевом приближении выражением

Коэффициент А пропорционален * произведению ∏′n λ−n1/2 , ãäå λn — собственные значения ядра δ2S[ϕ]/δϕ(x,t)δϕ(x′,t′), а штрихи

означают, что мы должны опустить нулевые собственные значе- ния, отвечающие изменениям коллективных координат x0 è t0. Используя формулу (23.8.10), видим, что вторая производная выражения (23.8.9) по R отрицательна при R = 1, так что имеется по крайней мере одно (на самом деле ровно одно 39) отрицательное собственное значение, и следовательно в данном порядке коэффициент А мнимый. Мы не будем пытаться вычислить А, заметим лишь, что в противоположность exp(–B) коэффициент А не содержит драматической зависимости от параметров теории, так что можно оценить его по соображениям размерности как величину

* Когда непрерывная группа симметрии G спонтанно нарушается до подгруппы H, существуют дополнительные коллективные координаты, задающие ориентацию H внутри G. Интегрирование по этим параметрам приводит к дополнительным множителям в А, равным объему факторпространства G/H.

порядка iM–4, где М — некоторый характерный масштаб масс в теории.

При больших V и Т можно найти дополнительные стационарные конфигурации, образуя наложение любого числа N таких баунсовых конфигураций, что приводит к вкладу, представляющему N- ю степень величины (23.8.12), деленному на N!, для того, чтобы учесть тот факт, что при интегрировании x0 è t0 по N, мы суммируем по конфигурациям, которые отличаются только перестановками N тождественных баунсов. Суммирование по N дает тогда степень величины (23.8.12), так что энергия (23.8.2) есть просто величина (23.8.12), деленная на –Т:

Поскольку А — порядка iM–4, вероятность распада фальшивого вакуума в единице объема будет величиной порядка

Заметим, что это — вероятность распада в единице объема, поскольку распад происходит не за счет изменения скалярного поля одновременно во всем пространстве, а за счет появления пузырьков истинного вакуума на фоне фальшивого вакуума.

Результат (23.8.14) часто оказывается полезным в случае, когда В велико, так что подбарьерный переход сильно подавлен, и можно оцентить фактор подавления просто как exp(–B). К счастью, наиболее естественная ситуация, в которой В велико, это та, когда удается вычислить В в замкнутой форме. Это случай, когда энергия V(ájñ) º –e истинного вакуума лишь немного меньше нулевой энергии фальшивого вакуума, но V(j) положительно и не мало между j = 0 è j = ájñ. Чтобы минимизировать в этом случае евклидово действие (23.8.3), нужно взять j близким к ájñ внутри четырехмерного шара большим радиусом R, при котором j падает до нуля внутри

оболочки толщиной L d M–1, характерной для потенциала в пределе e ® 0. (Иногда это называют «приближением тонкой стенки», но,

возможно, лучшим названием было бы «приближение большого пузыря».) В этом приближении действие (23.8.3) равно

где S — поверхностное натяжение, равное вкладу оболочки в действие, отнесенному к единице площади. Второй член в левой части формулы (23.8.7) становится пренебрежимо малым при ρ d R, òàê

что задача становится по существу одномерной. Поэтому можно взять поверхностное натяжение из неравенства (23.1.4), которое при подстановке решения полевых уравнений становится равенством. В теперешних обозначениях

так что действие в своей стационарной точке имеет значение

Заметим, что В велико для малых ε, так что в этом случае

вероятность распада фальшивого вакуума сильно подавлена. После прохождения сквозь барьер пузырек истинного вакуума будет расти со скоростью света, сталкиваясь в конце концов с другими пузырьками, пока все пространство не окажется в состоянии наименьшей энергии.

Приложение А. Евклидовы функциональные интегралы

В этом приложении описывается использование евклидовых функциональных интегралов в квантовой теории поля. Как отмеча- лось в разделе 9.1, квантовую теорию поля можно сформулировать в четырехмерном евклидовом пространстве-времени. Вместо того, чтобы углубляться в нетривиальное аналитическое продолжение, необходимое для вычисления элементов S-матрицы в данном подходе, мы проиллюстрируем здесь использование евклидовых

функциональных интегралов, обратившись к задаче, для которой они естественно приспособлены.

Рассмотрим набор эрмитовых канонических переменных Qa è Pa, с коммутационными соотношениями

В квантовой теории поля считается, что индекс а, как в разделе 9.1, включает пространственную координату x и любые дискретные лоренцовские индексы и индексы сортов m, а кронекеровский дельта-символ в формуле (23.А.1) понимается как d = d3(x – y)dmn. Определим собственные состояния Qa:

Аналогично определены собственные состояния |pñ оператора Pa.

Задача, котрую мы рассматриваем, состоит в вычислении матричного элемента

где Н — гамильтониан, а Т — произвольная положительная постоянная. Одним из приложений является изучение энергий основных состояний. Если наименьшее собственное значение Н равно Е0, и собственный вектор этого состояния есть |0ñ, тогда при Т ® ¥

F(q′, q; T) ® áq′|0ñá0| qñexp(-E0T) ,

òàê ÷òî

F ln F(q′, q; T)I

E0 = - limT→∞ G J . (23.À.6)

H T K

Кроме того, можно вычислить функцию распределения в статисти- ческой механике, зная след

ãäå 1/b — температура.

Чтобы вывести формулу функционального интеграла для F(q¢,q; T), определим евклидовы зависящие от времени операторы

Одно различие между этим формализмом и обычным формализмом в пространстве Минковского заключается в том, что «временная» эволюция операторов управляется неунитарным преобразованием подобия (23.А.8), так что здесь нет простой связи между правыми собственными состояниями áq,t| оператора Q(t) и эрмитово сопряженными левых собственных состояний |q,tñ, не считая состо-

яний, взятых в точке t = 0.

На этом языке определение (23.А.5) величины F(q¢,q;t) можно

переписать в виде