Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 2 (2001)

ãäå θ — свободный параметр. Отсюда, в частности, мы не можем

произвольно отбросить все конфигурации с ненулевым топологи- ческим числом, поскольку тогда инстантон с топологическим числом n в одной области должен быть сбалансирован инстантоном с топологическим числом –ν в какой-то другой области, что делает

невозможным вычисление средних значений без учета того, что происходит вдали от местонахождения измеряемых операторов.

Множитель f(ν) можно представить в более знакомой форме.

Согласно формуле (23.5.18), при такой нормировке калибровочных полей, что в стандартной SU(2) подгруппе структурные константы равны εijk, топологическое число можно записать как интеграл

Это выражение можно представить в виде функционального интеграла в пространстве Минковского. Так как (d4x)E = id4x, Fα34 = −iFα30, è ε1230 = –1, выражение (23.6.4) можно записать в виде

Однако, как отмечалось в начале раздела 15.2, мы в любом случае могли бы включить такой член с произвольным действительным параметром θ в лагранжиан любой неабелевой калибро-

вочной теории.

ÐВключениеÑÐ члена (23.6.6) в лагранжиан нарушило бы сохранение и . Конечно, можно было бы просто положить θ = 0, однако

это сделало бы недействительным то, что в разделе 18.7 былоÐ îöåÑÐ- нено как один из успехов квантовой хромодинамики: в ней и автоматически сохраняются сильными взаимодействиями, хотя, конечно, эти симметрии нарушаются слабыми взаимодействиями.

В частности, мы всегда можем определить фермионныеÐïîëÿ òàê,ÑÐ ÷òî θ = 0, но ценой возможного введения нарушающих или

сохранение фаз в массовые параметры.

Эта дискуссия показывает, что если бы хоть одна кварковая масса равнялась нулю, то угол тета не оказывал бы никакогоÑвлияния,ÑÐ и в квантовой хромодинамике не было бы нарушения или

. Анализ отношений масс кварков в разделе 19.7 показывает, что все кварки обладают ненулевыми массами, хотя иногда делаются утверждения, что включение слагаемых второго порядка по ms в этот анализ позволило бы считать mu равным нулю 28. Однако вне всяких сомнений кварки u и d довольно легкие, что приводит к некоторому подавлению эффектов, связанных с ненулевым углом тета. В разделе 19.4 мы видели, что mu è md — примерно порядка mπ2/mN (здесь mN используется как типичная квантово-хромодина-

мическая шкала энергий), так что можно ожидать подавления эффектов от угла тета четырьмя множителями mπ. Но это не совсем

так. Если Р и СР не сохраняются, то существует ненулевая амплитуда перехода π0 в вакуум, пропорциональная mπ4, но диаграммы-

«головастики» с пионными линиями, оканчивающимися в таких вершинах перехода в вакуум, усилены множителем mπ–2 от пионного пропагатора, так что в результате эффект пропорционален не mπ4, à mπ2. В частности, если определить фермионные поля так, что все

Известно, что электрический дипольный момент нейтрона меньше 10–25å ñì, òàê ÷òî |θ| < 10–9.

Чтобы естественным образом объяснить такую малость θ, Печ- чеи и Квинн 30 предложили теорию, в которой θ на самом деле

становится динамической переменной, которая может релаксироÐ ÑÐ - вать к минимуму эффективного потенциала, в котором и сохраняются. Их идея была подхвачена Вильчеком и мной 31, заметившими, что это требует существования легкой бесспиновой частицы — аксиона. Тот аксион, который появился в первой модели Печчеи–Квинна, был исключен экспериментальными данными,

однако существуют более общие возможности 32, когда аксион настолько слабо взаимодействует с обычной материей, что его невозможно наблюдать.

Общее свойство всех вариантов теории аксиона заключается в том, что существует некоторая U(1) симметрия, которая спонтанно нарушается при энергиях, намного превышающих те, которые ассоциируются с квантовой хромодинамикой, и кроме того нарушается аномалией, включающей глюонные поля. Согласно общему формализму гл. 19 и 22, низкоэнергетическая эффективная теория поля будет содержать поле голдстоуновского бозона j, òàê ÷òî ïîä äåé-

ствием преобразования симметрии

эффективный лагранжиан подвергается преобразованию

где А — безразмерная константа порядка единицы, характеризующая аномалию, а Fϕ — константа порядка энергетической шкалы, при которой симметрия спонтанно нарушается (j считается канонически нормированным). Тогда включающие j слагаемые в эффек-

тивном лагранжиане равны

ãäå M º Fϕ/A и многоточие означает возможные взаимодействия, включающие производные по j. Сравнивая выражения (23.3.16) и (23.3.6), видим, что при постоянном j все наблюдаемые будут функциями не j è q по-отдельности, но только комбинации q + j/M.

(Это верно, когда фермионные поля определены так, что все массовые параметры Mf действительны; в противном случае наблюдаемые будут зависеть от q – åfArgMf + j/M.) Если все взаимодействия в теории, кроме тета-членаÐ ÑÐ(23.6.6) и взаимодействия j â

выражении (23.3.16), сохраняют и , тогда эффективный потенциал будет четен по q + j/M, так что он будет иметьÐ ÑÐстационарную точку при q + j/M = 0, не нарушая сохранения и . В реальном

мире симметрии Р и СР не точны, но единственные наблюдаемые нарушения связаны со слабыми взаимодействиями, которые лишь немного сдвигают среднее значение ϕ от значения –Mθ 33.

Даже не конкретизируя лежащую в основе теорию и пользуясь техникой эффективной теории поля, можно довольно много сказать об общих свойствах аксиона. Наиболее общий лагранжиан аксионного поля ϕ, включающий теперь тета-член и все взаимодействия

с u- и d-кварками до порядка 1/M, имеет вид

ãäå fu è fd — безразмерные константы связи, которые, как ожидается, порядка единицы. Как видно из выражения (23.6.8), переопределение кварковых полей (23.6.7) приводит к сдвигу величины ϕ(x)/ M + θ во втором члене лагранжиана (23.6.17):

Выбирая αf = –(θ + ϕ/M)cf/2 c постоянными коэффиуциента-

ìè cf, удовлетворяющими условию cu + cd = 1, мы исключаем слагаемое в лагранжиане, содержащее εμνρσFαμνFαρσ , и изменяем массо-

вый член в низкоэнергетическом лагранжиане квантовой хромодинамики:

Lm = −mu u−icu (θ + ϕM)γ 5 u − md d −icd (θ + ϕM)γ 5 d . (23.6.19)

Кроме того, из кинематической части кваркового лагранжиана мы извлекаем член с взаимодействием с производной:

òàê ÷òî fu è fd в выражении (23.6.17) заменяются на f′u = fu – cu/2 è f′d = fd – cd/2. Чтобы вывести вид эффективного лагранжиана для

пионов и аксионов при низких энергиях, последуем процедуре раз-

(mu + md)v / Fπ2 ,

что совпадает с квадратом массы π0, в согласии с формулой (19.7.20).

Тогда другое собственное значение является массой аксиона

С учетом выведенных в разделе 19.7 значений отношения масс кварков, находим отсюда ma = 13 ÌýÂ/Ì(ÃýÂ).

Этот же формализм можно использовать для того, чтобы чтото сказать относительно взаимодействий аксионов с адронами. Собственный вектор M02 c собственным значением ma2 имеет компоненту вдоль исходного направления π0, равную

(mucu − mdcd)Fπ / (md + mu )M .

Как отмечалось выше, из-за однопионного полюса это аксионадронное взаимодействие является доминирующим. Мы видим, что отношение амплитуд образования аксионов и пионов типично порядка Fπ/M. Тот факт, что в таких соударениях аксионы не наблюдают-

ся, указывает, что M > 3 ТэВ, в противоречии с исходным ожиданием 30,31, что аномальная U(1) симметрия спонтанно нарушается теми же скалярными вакуумными средними порядка 0,3 ТэВ, которые нарушают электрослабую SU(2) × U(1) симметрию. Отсутствие аксио-

нов в реакторных или ускорительных экспериментах можно объяснить, выбрав М в качестве независимого параметра 32, много большего масштаба нарушения электрослабого взаимодействия, но есть еще и астрофизические ограничения. Пределы на скорость остывания красных гигантов дают ограничение 34 M > 107 ГэВ, а наблюдение за сверхновой SN1987A показывает 35, ÷òî M > 1010 ГэВ *. Космологические соображения устанавливают 36 верхний предел M < 1012

* Ïðè M > 107 ГэВ масса аксиона должна быть меньше 1 эВ, так что звезды достаточно горячи, чтобы рождать аксионы. Отношение вероятностей распада аксиона и π0 на два фотона должно быть порядка произведения (Fπ/M)2 и отношения фазовых объемов (ma/mπ)3, èëè

где l и m включают индексы спина и сорта, а Iν ≡ I[ϕν,u] — функция только ν, поскольку предполагается, что действие стационарно при всех полевых конфигурациях ϕν,u. Тогда интеграл по флуктуациям ϕ′ в формуле (23.7.1) даст сумму членов от сверток полей в О, умно-

женную (для действительных бозонных полей) на общий множитель [DetK(ν,u)]–1/2, причем следует понимать это так, что K дей-

ствует только в подпространстве тех флуктуаций, которые не влекут за собой изменений в коллективных парамтерах ν. Этот множитель можно записать как произведение по собственным значениям λn(ν,u) «матрицы» K(ν,u):

n

где штрих указывает на то, что исключены «нулевые моды», т. е. нулевые собственные значения K, для которых собственные функции соответствуют изменениям в коллективных параметрах.

Эти замечания позволяют уточнить результаты раздела 23.5 для зависимости вклада инстантонов с разными топологическими числами от константы связи. Пусть поля в нашей теории определены так, что действие принимает вид I[ϕ,g] = g–2I1[ϕ], ãäå I1[ϕ] íå

зависит от констант связи. (Например, как обсуждалось в конце раздела 15.2, в янг–миллсовских теориях в качестве калибровоч- ныго поля используется канонически нормированное калибровоч- ное поле, умноженное на g.) Тогда все собственные значения K пропорциональны g–2, и множитель (23.7.3) пропорционален g в степени, равной числу ненулевых собственных значений K. Эта степень, естественно, бесконечна, но ее можно записать как число всех собственных значений K, число которых также бесконеч- но, но не зависит от ν, минус число N (ν) нулевых мод, равное конечному зависящему от ν числу коллективных параметров. Мы заключаем, что помимо множителей, не зависящих от ν, вклад флуктуаций в окрестности конфигураций топологического типа ν

представляет собой зависящий от константы связи множитель, который может быть выражен через число N (ν) коллективных пара-

метров в виде

Оценка основана на приближении (23.7.2), соответствующем однопетлевому приближению, так что при учете членов более высокого порядка множитель (23.7.4) будет умножаться на степенной ряд по g, детали которого зависят от операторов O, входящих в функциональный интеграл.

Посмотрим, как это можно применить к инстантонам. Конечно, конфигурация с ν = 0 не содержит коллективных параметров, так что

ее вклад в функциональные интегралы есть просто степенной ряд по g. Конфигурация с ν = 1 имеет четыре коллективных параметра, опре-

деляющих пространственно-временное положение инстантона, один параметр, задающий масштаб инстантона и число N1 коллективных параметров, соответствующих вращениям и/или глобальным калибровочным преобразованиям, которые не оставляют инстантон инвариантным. Поэтому (включая теперь множитель exp(Iν), определяемый формулой (23.5.19)) зависимость инстантонов с ν = 1 от константы связи имеет вид g−5− N1 exp(− 8π2 g2 ). Äëÿ ν = 1 инстантона (23.5.12)

в SU(2) теории Янга–Миллса имеются тринезависимых вращения и три независимых SU(2) преобразования, но поскольку инстантон инвариантен относительно трех комбинированных вращений и SU(2) преобразований, N1 = 3 и флуктуации в окрестности ν = 1 инстантона приводит к зависимости от константы связи вида g–8exp(–8π2/g2).

В SU(3) теории Янга–Миллса имеются три независимых вращения и восемь независимых SU(3) преобразований, но снова инстантон инвариантен относительно трех независимых комбинированных вращений и SU(3) преобразований в стандартной SU(2) подгруппе (например, действующих на первые две компоненты фундаментального представления SU(3)), и кроме того инвариантен относительно одного дополнительного SU(3) преобразования, которое (как гиперзаряд) коммутирует со всеми генераторами стандартной SU(2) подгруппы. Отсюда N1 = 3+8–3–1 = 7, òàê ÷òî ν = 1 инстантон приводит к множителю, пропорциональному g–12exp(–8π2/g2).

Предположим теперь, что действие содержит также слагаемое

−z d4xz d4 y ψl (x)Klx,my(ν, u)ψm (y) ,

включающее независимые поля ψ è`ψ. Если ни одно из этих полей не содержится в O, то интеграл по ним дает множитель Det K(ν,u),