Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 2 (2001)

Кроме того, для «тождественного» отображения g1 интеграл дважды берется по внутренности единичного шара (поскольку θ4

может быть как положительной, так и отрицательной), так что

Для класса с отображений, гомотопичных g1, имеем поэтому

откуда

Целое число ν называется топологическим числом. Этот ре-

зультат справедлив в представлении, для которого стандартная SU(2) подалгебра имеет генераторы ti1со структурными константами εijk è

условием нормировки1 Tr{titj} = dij. В более общем случае, если [titj] = igeijktk è Tr{titj} = Ng2dij, òî

Результаты (23.4.13) или (23.4.14) показывают, что для каждой простой группы Ли группа π3(G) содержит Z. Как указано в приложении Б к этой главе, π3(G) = Z для всех простых групп Ли. таким

образом, гомотопический класс g(θ) для любой простой группы Ли

полностью определяется ее гомотопическим классом, получающимся при деформации группы на ее стандартную SU(2) подгруппу.

23.5. Инстантоны

Как мы видели в разделе 23.1, топологически нетривиальные решения чисто калибровочной теории с простой калибровочной группой G в евклидовом пространстве-времени d = 4 измерений соответствуют элементам гомотопической группы π3(G) = Z. Ýòè ðåøå-

ния, представляющие четырехмерные полевые конфигурации, называются инстантонами и (по причинам, которые обсуждаются в следующем разделе) должны включаться вместе со своими флуктуациями в функциональные интегралы. После того, как Белавин, Поляков, Шварц и Тюпкин 1 продемонстрировали существование таких решений, ′ò Õîôò 23 показал, что включение этих конфигу-

раций в функциональные интегралы решает проблему U(1), о которой шла речь в разделе 19.10. Мы сначала обсудим сами инстантонные решения, а затем рассмотрим их роль при вычислении функциональных интегралов.

Согласно выражению (23.1.7), для того, чтобы топологически нетривиальное калибровочное поле имело конечное действие, сами калибровочные поëÿ äолжны при r → ∞ стремиться к чистой калиб-

ãäå Ai ≡ tαAαi è g(x$ ) — зависящий от направления элемент калибро-

вочной группы G.

Поэтому обсуждавшийся в предыдущем разделе топологический инвариант может быть записан с учетом асимптотического поведения калибровочного поля в виде

ãäå θa (a = 1, 2, 3) — любые три параметра, используемые для задания направления единичного 4-вектора x$ . Этот поверхностный

интеграл можно вычислить с помощью теоремы Гаусса. По аналогии с током (22.2.29) в пространстве Минковского, можно определить ток в евклидовом пространстве-времени

дивергенция которого равна

(Здесь εlijkE — полностью антисимметричный тензор с ε1234E ≡ 1). Ìû

используем представление калибровочной группы с полностью антисимметричными структурными константами, так что

где N — константа, зависящая от представления, в котором вычисляется след в выражении (23.5.2). Следовательно выражение (23.5.3) можно записать в виде

Поэтому, для того, чтобы продемонстрировать существование топологически нетривиальных полевых конфигураций, нам следует показать, что существуют такие конфигурации, для которых ин-

Для этой цели очень удобно использовать так называемое неравенство Богомольного 10. Èç òîãî, ÷òî

(24.5.9), так что данное решение принадлежит гомотопическому классу тождественного отображения. Как мы видели в предыдущем разделе, это означает, что решение имеет топологическое число ν = 1. Из выражений (23.4.14) и (23.5.9) (которое в данном случае

следует рассматривать как равенство) имеем

Из выражений (23.5.10) и (23.5.11) (с положительным знаком) находим также, что

Это решение неоднозначно, поскольку его можно подвергнуть трансляции или калибровочному преобразованию, но, если не учи- тывать эти степени свободы, не существует других решений полевых уравнений с топологическим числом единица 24.

Так как мы нашли полевые конфигурации с ν = 1, это означа- ет, что должны быть и полевые конфигурации с любым целым ν. Например, решения с ν, равным целому положительному числу N, можно построить, объединяя N решений с ν = 1 с центрами, нахо-

дящимися настолько далеко друг от друга, что можно пренебречь нелинейностями в полевых уравнениях. Решение с ν = −1 можно

получить, заменяя g1 в выражении (23.5.12) на g1–1, а решения с отрицательным целым значением ν = –N можно построить наложе-

нием N таких решений, разделенных большими расстояниями. В случае произвольного топологического числа выражения (23.5.15) и (23.5.16) принимают вид

Эти результаты получены для калибровочного поля, нормированного так же, как в выражениях (23.5.11)–(23.5.13). С учетом этой нормировки, действие I[A] равно не –S[A], а величине

где g — обычная константа связи. Если бы мы использовали наше обычное соглашение и включили множитель g в генераторы и структурные константы, то действие I[A] совпадало бы с –S[A]. Если же включить множитель 1/g в Aαμ è Fαμν, то, вместо (23.5.15), получи- лось бы S[A] = 8p2/g2 , и в этом случае опять действие равнялось бы –8p2/g2, но вместо формулы (23.5.18) мы имели бы

В следующем разделе мы увидим, что при вычислении функциональных интегралов необходимо суммировать вклады от инстантонов со всеми топологическими числами. Вклад конфигураций с топологоческим числом n ¹ 0 в евклидовы функциональные интегралы подавлен множителем exp(I[A]) = exp(–8|n|p2/g2). В разделе

23.7 мы увидим, что коэффициент при этой экспоненте является целой отрицательной степенью –n константы g; в квантовой хромодинамике n = 12. Функция g–n exp(–8|n|p2/g2) и все ее производные

по g обращаются в нуль при g = 0, так что эти вклады являются непертурбативными, т. е. ни при каких условиях не могут быть получены в любом порядке теории возмущений.

Это не обязательно означает, что подобные вклады малы. Как мы видели в гл. 18, в квантовой хромодинамике константа g является не фиксированным безразмерным параметром, а бегущей функцией энергии, становящейся большой при низких энергиях. Эффективный масштаб энергий, использованный для определения константы в формуле (23.5.19), определяется квантовыми флуктуациями, которые обсуждаются в разделе 23.7. Однако по соображениям размерности этот масштаб не может слишком сильно отли- чаться от величины 1/R, где R — размер интстантона в выражении (23.5.12). Этот размер не фиксирован, и по нему следует проинтегрировать с некоторой весовой функцией, зависящей от рассматриваемого процесса. В квантовой хромодинамике бегущая константа связи gμ определяется при больших m формулой (18.7.7) в виде

2 = 8p2 ,

gμ b0 lnbmLg

ãäå β0 = 11 – 2nf/3 è Λ d 250 МэВ — квантово-хромодинамический

масштабный фактор. Поэтому для малых инстантонов множитель expe− 8π2g12 R j равен

expe− 8π2g12 R j = (RΛ)β0 .

Для больших инстантонов с RΛ . 1 этот множитель вычис-

лить нельзя, но ясно, что в данном случае не происходит подавления инстантонных эффектов.

Несмотря на первоначальные надежды, открытие инстантонов не привело к заметному продвижению в нашей способности производить количественные расчеты в квантовой хромодинамике. С другой стороны, как мы сейчас увидим, это открытие привело к существенным качественным изменениям в понимании квантовой хромодинамики и других калибровочных теорий.

Уже тот факт, что существуют решения полевых уравнений, для которых интеграл (23.5.15) не обращается в нуль, достаточен для того, чтобы разрешить обсуждавшуюся в разделе 19.10 проблему U(1). При глобальных U(1) преобразованиях ψ → exp(iγ5α)ψ ìåðà

интегрирования по кварковым полям подвергается изменению, которое определяется формулой (22.2.10):

где (при матрице t, равной единице) аномалия A(x) дается выражением (22.2.45):

Существование этой аномалии само по себе не решает проблему U(1), поскольку величина (23.5.22) является полной производной и поэтому в случае несингулярного калибровочного поля, достаточ- но быстро убывающего на бесконечности, имеет равный нулю интеграл. Инстантонное решение убывает лишь как 1/r и приводит к ненулевому значению этого интеграла, которое определяется формулами (23.5.22), (23.5.18) и (23.5.5):

Этим показывается, что аномалия действительно нарушает U(1) киральную симметрию.

Как мы видели в разделе 22.4, токи барионного и лептонного чисел также содержат аномалии, вызванные взаимодействием кварков и лептонов с SU(2) ´ U(1) калибровочными полями стандартной

модели. Поэтому инстантонные конфигурации SU(2) калибровочного поля приводят к нарушению сохранения числа барионов и лептонов 25. Как отмечалось в разделе 22.4, существует ряд токов, сохранение которых не нарушается аномалиями или чем-то еще, типа разности барионного и лептонного чисел или разностей электронных, мюонных и тау-лептонных чисел, так что эти разности будут сохраняться в любом нарушающим сохранение барионного и лептонного числа процессе. Например, распад протона или дейтрона запрещен, но распад He3 ® e+ + m+ +`nτ разрешен. Амплитуды этих эффектов подавлены тем же множителем exp(–8|n|p2/g2), что и раньше, но теперь g является SU(2) константой связи e/sin q, вычис-

ленной не при скользящем масштабе, а в естественном масштабе электрослабых процессов порядка mZ. Áåðÿ e2/4p = 1/129 (см. раздел 18.2) и sin2q = 0,23, находим, что подавляющий множитель при |n| = 1 равен exp(–373). Похоже, что наблюдение распада He3 íà òðè

антилептона маловероятно.

* * *

Существует иной подход 26, проливающий свет на некоторые1 стороны физики инстантонов. Можно ожидать, что во временной калибровке с Aα4(x, x4) = 0 калибровочное поле при x4 ® ±¥ ñòðå-

мится к независящим от времени чистым калибровкам

ãäå g±(x) — групповые элементы в представлении, определяемом генераторами ta. Предполагая, что Aα(x, x4) обращается в нуль при x ® ¥, групповые элементы g±(x) должны стремиться при x ® ¥ к постоянным значениям g±, òàê ÷òî ïðè x4 ® ¥ трехмерные про-

странства можно рассматривать как три-сферы с точкой на бесконечности, рассматриваемой как обыкновенная точка. Следуя тем же рассуждениям, что и при выводе формулы (23.4.13), получим

eijk z d3x Trog±−1(x)¶ig± (x)g±−1(x)¶jg± (x)g±−1(x)¶kg± (x)t = 24p2n± ,

(23.5.25)

ãäå n± — целые числа. Интеграл по границе 4-пространства в (23.5.2)

можно рассматривать как разность интегралов по «плоскостям» x4 = +¥ è x4 = –¥, так что из формул (23.5.8) и (23.5.18) (с N = 1) нахо-

äèì:

Экспоненциальный множитель exp(–8|n|p2/g2) èç (23.5.19) ìîæ-

но поэтому рассматривать как амплитуду перехода от конфигурации с пространственным топологическим числом n– ïðè x4 ® -¥ ê

конфигурации с пространственным топологическим числом n+ ïðè x4 ® +¥. Экспоненциальный вид этого множителя при n ¹ 0 отража-

ет то, что это — процесс тунеллирования: никакой непрерывной последовательностью чисто калибровочных полей невозможно перейти от конфигурации с одним пространственным топологическим числом к конфигурации с другим таким числом.

Интерпретация множителя exp(–8|n|p2/g2) как амплитуды тун-

нельного перехода позволяет предположить, что процессы с несохранением барионного и лептонного чисел могут происходить быстрее при температурах выше 1 ТэВ, где, вместо того, чтобы тунеллировать сквозь барьер, тепловые флуктуации могут перевести вакуум над барьером 27. Такой процесс может иметь значение в космологии, но при этом все равно должны соблюдаться упомянутые выше правила отбора: тепловые флуктуации не меняют разности плотностей барионного и лептонного чисел или разностей плотностей трех типов лептонных чисел.

23.6. Óãîë òåòà

Мы видели, что существуют конфигурации с произвольным целым топологическим числом. Откуда мы знаем, что эти конфигурации должны включаться в функциональный интеграл? Чтобы рассуждать непредвзято, предположим, что мы складываем конфигурации с произвольными весовыми множителями f(n) äëÿ êàæ-

дого топологического числа, не исключая при этом возможности,

что некоторые или все эти весовые множители могут равняться нулю. Тогда среднее значение локальной наблюдаемой О, находящейся внутри большого евклидового пространственно-временного объема Ω, равно

ãäå ϕ означает все поля теории, индекс ν при знаках интеграла

указывает, что мы должны включить только конфигурации с топологическим числом ν, à IΩ[ϕ] — интеграл от лагранжиана по про- странственно-временному объему Ω. Предположим теперь, что Ω разделен на два очень больших объема Ω1 è Ω2, причем O находится в Ω1. Интеграл по всем полям с топологическим числом ν можно записать как интеграл по всем полям с топологическим числом ν1 в объеме Ω1 и с топологическим числом ν2 в объеме Ω2, причем производится сумимирование по ν1 è ν2 при условии ν1 + ν2 = ν. Таким

образом, в хорошем приближении выражение (23.6.1) принимает вид

(23.6.2)

Но тогда при произвольных весовых множителях это среднее не совпадает с тем, которое бы получилось, если просто отбросить объем Ω2, в противоречии с общими идеями кластерного разложе-

ния. (См. гл. 4.) Для того, чтобы в этом отношении сократились множители, включающие объем Ω2, должно выполняться равенство

f(ν1 + ν2 ) = f(ν1)f(ν2 ) .

Так будет в случае, если и только еслии f(ν) имеет вид