Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 2 (2001)

с меньшим топологическим квантовым1 числом, в которые он мог бы распадаться. Конфигурации с большими значениями магнитного заряда в общем случае нестабильны. Существуют также интересные конфигурации, обладающие как магнитным, так и электрическим зарядом, — так называемые дионы 15.

Существует иной способ понять значение 1/е магнитного заряда монополя ¢т Хофта–Полякова, восходящий к первой работе

Дирака по магнитным монополям 16. Как отмечалось выше, вместо той калибровки, которую мы использовали, можно совершить калибровочное преобразование jn ® Rnm(x)jm, которое поворачивает jn в точку с фиксированным направлением 1v$ , например, вдоль третьей оси. Тогда напряженность поля Bnk º eijkFnij преобразуется в

RnmBmk, которая стремится к v$ nx$ k er2 ïðè r ® ¥, òàê ÷òî ìû íå

должны проектировать это на направление локальной ненарушенной симметрии. Цена, которую приходится заплатить за это удобство, заключается в том, что калибровочное преобразование сингулярно: вращение, переводящее вектор, направленный по x$ , на некторое фиксированное направление v$ , имеет вид

и оно сингулярно при x$ = −v$ . Это вращение R не единственно; например, можно осуществить вращение R(x$ ; − v$ ), переводящее x$ по направлению −v$ , а затем фиксированное вращение на 180° вокруг некоторой оси, перпендикулярной v$ , но тогда получившееся вращение станет сингулярным при x$ = +v$ . Чтобы избежать сингуляр-

ностей, нам следует выбирать в разных областях разные калибровки. Так, если v$ направлено вдоль третьей оси, можно использовать в области 0 < q < q0 калибровку, которая сингулярна при q = p, а в области q0 < q < p — калибровку, которая сингулярна при q = 0. Здесь q0 — произвольный угол в интервале 0 < q0 < p, часто выбираемый равным p/2. Везде за исключением q = 0 è q = p магнитное поле на больших расстояниях дается выражением B → gx$ r2 , где g — магнитный заряд. Его можно записать как ротор Ñ ´ A вектор-

ного потенциала, единственной ненулевой компонентой которого является азимутальная f-компонента. При 0 < q < q0 мы должны взять

Aφ = g(1 – cos q)/r sin q, сингулярную при q = p, à ïðè q0 < q < p должны взять Aφ = –g(1 + cos q)/r sin q, сингулярную только при q = 0. Разность DA между этими двумя векторными потенциалами есть градиент ÑL, L = 2gf, который, конечно, не влияет на магнитное поле при 0 < q < p, но может влиять на динамику заряженных полей. Калибровочное преобразование с L = 2gf изменяет поле зарядом q на множитель exp(2iqgf), который однозначен только,

если 2qg — целое число. Это и есть условие квантования Дирака. Существование магнитного монополя с магнитным зарядом g требует, чтобы все электрические заряды были бы целыми кратными величины (2g)–1. Это условие автоматически удовлетворяется для монополя ¢т Хофта–Полякова, т. к. g = 1/e, а все заряды в модели

Джорджи–Глешоу являются целыми кратными е/2.

В результате открытия нейтральных токов модель Джорджи– Глешоу была исключена как модель слабых и электромагнитных взаимодействий, однако существование магнитных монополей ожидается и в других теориях, в которых односвязная группа G спонтанно нарушается не до U(1), но до некоторой подгруппы H¢ ´ U(1), ãäå Í¢ îäíî-

связна. (Согласно приложению B к этой главе, для односвязных групп

G имеем p2(G/H) = p1(H), è åñëè H = H¢ ´ U(1), òî p1(H) = p1(H¢) ´ p1(U(1)) = p1(U(1)) = Z.) При спонтанном нарушении калибровочной

группы SU(2) ´ U(1) стандартной электрослабой теории монополи не

возникают, т. к. группа неодносвязна. (Подробнее об этом ниже.) Однако монополи появляются при спонтанном нарушении односвязной калибровочной группы G теорий объединения сильных и электрослабых взаимодействий, например, группы SU(4) ´ SU(4), SU(5) или Spin(10), до калибровочной группы SU(3) ´ SU(2) ´ U(1) ñòàí-

дартной модели. (См. раздел 21.5.) В этом случае ожидается, что монополи имеют массу, равную массе М d 1015–1016 ГэВ возникающих при таком спонтанном нарушении векторных бозонов, умноженной на обратный квадрат калибровочной константы связи. Такие монополи могли бы рождаться во время фазового перехода Вселенной, при котором G была спонтанно нарушена до SU(3) ´ SU(2) ´ U(1) при температуре Т порядка М.

Это приводит к проблемам в ряде космологических моделей 17. Перед этим фазовым переходом скалярные поля с необходимостью были некоррелированы на расстояниях, превышающих размер горизонта —наибольшее расстояние, которое мог пройти свет с момента начальной сингулярности. В стандартных космологических

теориях 18 в ранний момент времени t размер горизонта составляет величину порядка t d (GNT4)–1/2 (ãäå GN g (1019 ÃýÂ)–2 — ньютонова постоянная), так что плотность числа монополей, родившихся в этот момент, было бы порядка t–3 d (GNM4)3/2, что меньше плотности числа фотонов M3 при Т d М на множитель порядка (GNM2)3/2. Ïðè Ì d 1015 ГэВ этот множитель порядка 10–12. Если монополи не находят друг друга и не аннигилируют, то это отношение должно оставаться примерно тем же до сегодняшнего дня, но при этом на каждый нуклон сегодня приходится примерно 109 фотонов микроволнового излучения, следовательно, на нуклон должно приходиться по меньшей мере 10-3 монополей. Это находится в разительном противоречии с наблюдениями. Указанный потенциальный парадокс был одной из причин появления инфляционных космологических моделей 19, в рамках которых существует период экспоненциального расширения Вселенной. Если это расширение произошло до образования монополей, оно очень сильно увеличило бы размер горизонта, если же оно произошло после образования монополей (но до периода вторичного нагревания), то резко уменьшилась бы плотность монополей.

Открытие монополей любого типа откроет возможности наблюдения примечательных явлений, в том числе, существования фермион-монопольных конфигураций с дробным фермионным числом 20, и нарушение сохранения числа барионов при фермион–мо- нопольном рассеянии.

* * *

Выше мы рассматривали только монополи, связанные со спонтанным нарушением односвязной калибровочной группы G. Возникает следующий вопрос. Для каждой группы Ли G, односвязна она или нет, существует односвязная группа`G с той же алгеброй Ли,

известная как накрывающая группа группы G. (Примеры см. в разделе 2.7.) Всякая неодносвязная группа имеет меньше представлений, чем ее накрывающая группы (например, двусвязные группы SO(n) имеют только скалярные, векторны и тензорные представления, в то время, как их накрывающие группы Spin(n) имеют вдобавок спинорные представления). Если дело обстоит так, что теория не содержит полей, принадлежащих дополнительным представле-

ниям накрывающей группы, можем ли мы по желанию рассматривать в качестве калибровочной группы теории либо неодносвязную группу G, либо ее накрывающую группу`G? В частности, зависит

ли список возможных монополей от того, содержит ли теория только поля, преобразующиеся как представления неодносвязной группы G, или дополнительные поля, реализующие представления ее накрывающей группы`G? Например, в оригинальной модели Джор-

джи–Глешоу 12 содержались только скалярные поля, принадлежавшие три-векторному представлению SO(3), но в модель входили и фермионы, принадлежавшие спинорным представлениям накрывающей группы Spin(3) = SU(2). Изменятся ли разрешенные значения магнитного заряда монополя, если добавить скалярные поля, принадлежащие спинорным представлениям SU(2)? Изменятся ли эти значения, если убрать фермионы?

Ответ заключается в том, что список возможных монополей не зависит от того, говорим ли мы, что калибровочной группой является неодносвязная группа G или ее накрывающая группа`G, è

поэтому он не изменяется, если мы добавим или уберем поля, принадлежащие представлениям`G, которые не являются представле-

ниями G. Как мы видели в разделе 23.1, в общем случае топологически стабильные подобные монополям конфигурации классифицируются по элементам группы π2(G/H). Согласно приведенным

âприложении В к этой главе результатам, когда H погружена в G,

эта гомотопическая группа состоит из тех элементов π1(H), которые отвечают тривиальному элементу π1(G). Но если мы заменяем G ее накрывающей группой `G, мы также заменяем Н другой подгруппой`Н, поскольку, когда Н погружено в`G, некоторые из петель в

Н не возвращаются в базовую точку. Это как раз те петли, которые

не становятся тривиальными при погружении Н в G, так что π2(G/ H) = π1(H′). Таким образом, до тех пор, пока речь идет о монополях,

мы можем с тем же успехом говорить, что калибровочной группой является не G, а`G.

Например, пока рассматриваются скалярные поля, можно счи- тать, что калибровочной группой модели Джорджи–Глешоу является двусвязная группа SO(3), а не ее односвязная накрывающая группа SU(2). Тогда ненарушенной подгруппой является SO(2),

âкоторой мы отождествляем преобразования, отличающиеся вра-

щением на 360°. Таким образом, группа π1(SO(2)) включает петли, идущие от единичного элемента к вращению на 360°. Однако, если

SO(3) погружена в SU(2), подобные пути уже не будут петлями. Но группа π2(SO(3)/SO(2)) отличается от группы π1(SO(2)):

когда SO(3) погружается в SU(2), эта группа исключает гомотопи- чески нетривиальные петли, т. е. как раз те петли, которые идут от единичного элемента к вращению на 360°. Таким образом, π2(SO(3)/

SO(2)) есть U(1) подгруппа группы SU(2), так, как будто с самого начала калибровочной группой теории была группа SU(2).

Всегда удобно считать, что калибровочная группа G, связанная с любой полупростой калибровочной алгеброй, является односвязной накрывающей группой, так что можно использовать простой результат: π2(G/H) = π1(H). Как мы только что видели, в этом

случае свойства связности Н фиксируются ее погружением в G, или, точнее, погружением алгебры Ли группы Н в алгебру Ли группы G. Например, калибровочная алгебра SU(3) может быть спонтанно нарушена либо в подалгебру SU(2), относительно которой фундаментальное представление SU(3) преобразуется как дублет плюс синглет, либо в подалгебру SO(3), относительно которой фундаментальное представление SU(3) преобразуется как три-вектор. В первом случае у нас нет возможности считать, что ненарушенная подгруппа есть SO(3); так как π1(SU(2)) = 0, монополей в данном

случае нет. Во втором случае, в качестве ненарушенной калибровочной группы следует рассматривать не SU(2), а SO(3), так что в теории есть конфигурации типа монополей, которые классифицируются согласно элементам группы π1(SO(3)) = Z2. На природу не-

нарушенной подалгебры Н и ее погружение в калибровочную алгебру G могут оказывать динамическое влияние разные типы полей, которые вводятся в лагранжиан, но как только алгебра Н и ее погружение в алгебру G зафиксированы, список монополей оказывается совершенно не зависящим от набора полей в теории.

В частности, рассуждения, которые привели к условию квантования Дирака, показывают, что в любой теории, в которой алгебра Ли спонтанно нарушена до подалгебры, включающей оператор электрического заряда, разрешенные магнитные заряды являются целыми кратными обратной величины наименьшего электрического заряда, появляющегося в представлениях накрывающей группы G, независимо от того, существуют ли частицы такого заряда в теории на самом деле. Если алгебра G сама содержит генератор U(1), то мы должны рассматривать накрывающую группу этой U(1), которая является некомпактной группой трансляций вдоль

600 Глава 23. Протяженные полевые конфигурации

Части интеграла I[gab] по полусферам q £ q1 £ 1/2 è 1/2 £ q1 £ 1 можно вычислить, перейдя к переменным q¢1 =2q1 è q¢1 = 2q1 – 1 соответ-

ственно, что дает члены I(ca) è I(cb) в выражении (23.4.2).

В частности, отсюда следует, что для гомотопических классов e, c, c ´ c и т. д., а также c–1, c–1 ´ c–1 è ò. ä.

Если для некоторого с интеграл I(c) ¹ 0, то все эти инвариаты

различны, так что различны все классы сn, и поэтому они образуют подгруппу Z группы pd(M). Это почти объясняет большую разницу

между размерами гомотопических групп в случае нечетных и четных размерностей, показанную в приложении В к этой главе. Например, p1(U(1)) = Z, p3(G) = Z для всех простых групп Ли G, а p5(SU(n)) = Z äëÿ âñåõ n ³ 3, в то время как для всех групп Ли G

p2(G) = 0 è p4(G) конечна.

В качестве простого примера, когда I(c) ¹ 0, рассмотрим гомотопическую группу p1(U(1)), совпадающую с группой p1(S1), êîòî-

рую мы использовали как пример в начале предыдущего раздела. Всякое отображение S1 ¬ U(1) можно охарактеризовать значением n, равным разности чисел, показывающих, сколько раз фаза эле-

мента U(1) обходит S1 против часовой стрелки, и сколько раз эта фаза обходит S1 в противоположном направлении, пока координата q обходит S1, причем два отображения гомотопически эквивалентны, если и только если значения n у них одинаковы. n-й класс содержит отображение gν(q) = exp(2inpq), 0 £ q £ 1, для которого

и это подтверждает, что p1(U(1)) = Z.

Имея целью вычисление I(g) в менее простых случаях, предположим, что мы непрерывно деформируем множество М в группу Ли Н размерностью d. Результат осуществления преобразования Н с параметрами q, за которым следует преобразование Н с параметрами j, есть преобразование Н с параметрами q¢(q, j). На языке матричного представления g(q) это можно записать в виде