Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 2 (2001)

смотрения отображений окружности S1 на многообразие М мы рассматриваем отображения k-сферы Sk (поверхности (k+1)-мерного шара) на М, причем опять одна точка Sk всегда отображается в одну и ту же «базовую точку» р0 из М. Два таких отображения эквивалентны, если одно может быть продеформировано в другое при условии, что та же точка Sk всегда отображается в базовую точку. Элементами k-мерной гомотопической группы pk(M) являются клас-

сы эквивалентности таких отображений.

Часто удобно изображать d-сферу Sd как внутренность d-мер- ного гиперкуба, все точки границы которого отождествлены как одна точка. Например, мы уже видели, что окружность S1 можно рассматривать как интервал 0 £ q £ 2p, причем точки 0 и 2p отождеств-

лены. Аналогично, можно сделать карту S2, например, поверхности Земли, выколов южный полюс и растянув получившийся лист на единичный квадрат 0 £ z1 £ 1, 0 £ z2 £ 1. При непрерывных отобра-

жениях этого квадрата на М все точки границы квадрата отображаются в одну точку на М, поскольку все точки границы являются, на самом деле, одной точкой — южным полюсом сферы. В общем слу- чае, два отображения p(z1, ..., zd) è p¢(z1, ..., zd) сферы Sd íà Ì

гомотопически эквивалентны, если одно может быть непрерывно продеформировано в другое при сохранении равенства р на границе гиперкуба базовой точке р0.

Как и выше, для каждого класса эквивалентности с мы выбираем стандартное отображение p(z1, ..., zd; c). Произведение с1 è ñ2 определяется как класс эквивалентности, содержащий отображение

Единичный элемент е определяется как класс эквивалентности, содержащий отображение с р = р0 для всех z, а обратный класс с–1 к с определяется как класс эквивалентности, содержащий отображение с

Òàê æå, êàê è äëÿ p1(M), можно показать, что это умножение ассоциативно и что е ´ ñ = ñ ´ å = ñ, ñ–1 ´ ñ = ñ ´ ñ–1 = е. Все группы pn(M) ïðè n ³ 2 абелевы. (Существуют многообразия М, для которых

p1(M) неабелева, например, плоскость с двумя или более выколо-

тыми точками.)

В каждом из случаев, когда pk(M) = Z, должно существовать одно-однозначное отображение k-сферы Sk в k-сферу S¢k íà M, êî-

торое соответствует элементу «один» в Z (не путать с единичным элементом группы, который равен нулю). Элемент n â Z ñ n = 2, 3, ...

соответствует отображению Sk в ту же k-сферу S¢k на М, которое n раз покрывает S¢k, причем якобиан преобразования Sk ® S¢k положителен. Элемент n â Z ñ n = –1, –2, ... соответствует отображению Sk ® S¢k, которое покрывает S¢k |n| раз, причем якобиан преобразования Sk ® S¢k отрицателен.

Например, мы видели в предыдущем разделе, что в том слу- чае, когда односвязная группа G нарушается до группы U(1) электромагнетизма, возникают магнитные монополи. Как показано в приложении, в этом случае

так что магнитный монополь обладает целочисленным квантовым числом n, которое, как показано в разделе 23.3, пропорционально

магнитному заряду. Это квантовое число показывает, сколько раз 2-сфера большого радиуса, окружающая монополь, отображается на 2-сферу многообразия G/U(1) полей голдстоуновских бозонов (при этом относительная ориентация двух 2-сфер одинакова или противоположна в зависимости от того, положительно или отрицательно число n). Квантовое число n называют топологическим числом *.

Структура группы Z показывает, что это квантовое число сохраняется в том смысле, что монополь с квантовым числом n может объединиться с монополем с квантовым числом n¢, образовав при этом только монополь с квантовым числом n + n¢.

Если ненарушенной группой является SO(n) с n ³ 3, то соглас-

но результатам приложения В к этой главе

* Автор употребляет здесь и далее (в т. III) распространенный в англоязычной литературе термин winding number, который в разных русскоязычных источниках переводится как «число оборотов» или «число накрутки». Однако мы, следуя монографии А.С. Шварца «Квантовая теория поля и топология» (М.: Наука, 1989) предпочли использовать более общий термин топологическое число. — Прим. пер.

Âэтом случае существует только один тип «монополя», соот-

ветствующий элементу –1 группы Z2, который может аннигилировать только в пары. Важно отличать этот случай от того, когда группа SO(n) заменяется ее односвязной накрывающей группой Spin(n), для которой вообще нет монополей. Мы вернемся к этому вопросу в конце следующего раздела.

Другой пример. В предыдущем разделе мы видели, что скир-

мионы в квантовой хромодинамике с n легкими кварками соответ-

ствуют элементам π3(SU(n)), что, согласно приложению В, есть Z.

Таким образом, эти скирмионы обладают сохраняющимся целочисленным квантовым числом ν, которое, вероятно, может быть отож-

дествлено с барионным числом. Аналогично, напомним из результатов предыдущего раздела, что инстантоны в калибровочной теории,

основанной на простой калибровочной группе G, соответствуют

элементам π3(G), которая, согласно приложению В, есть Z. Поэтому

инстантоны. как и скирмионы, обладают целочисленным топологи- ческим числом ν. В разделе 23.5 мы увидим, как это квантовое число

можно выразить в виде локального функционала калибровочного поля.

23.3.Монополи

Âкачестве детального примера топологически нетривиальной

полевой конфигурации рассмотрим монополь ′т Хофта–Полякова 2

и его обобщения. В разделе 23.1 мы видели, что если односвязная калибровочная группа G спонтанно нарушается до группы электромагнетизма U(1), то конфигурации конечной энергии классифицируются в соответствии с элементами группы π2(G/U(1)) = π1(U(1)) = Z.

(Случай неодносвязных групп Ли будет рассмотрен в конце этого раздела.) Согласно физической интерпретации гомотопических групп, которая обсуждалась в разделе 23.2, это означает, что данные конфигурации обладают сохраняющимся аддитивным квантовым числом. Однако нам все еще следует показать, что каждая из таких стационарных конфигураций действительно существует, и дать физическую интерпретацию их топологических квантовых чисел.

В качестве иллюстративного примера рассмотрим теорию (похожую на электрослабую модель Джорджи и Глешоу 12), в которой

калибровочная группа SU(2) спонтанно нарушается вакуумным средним SU(2) триплета скалярных полей jn. (В конце раздела мы пояс-

ним, почему в данном случае мы говорим о калибровочной группе SU(2), а не SO(3).) Лагранжиан скалярных и калибровочных полей в пространстве-времени Минковского выберем в виде

а функция V(jnjn) предполагается положительной и равной нулю при ненóëåâом значении ájñ (считающимся положительным) вели-

÷èíû jnjn . (В большинстве работ по монополям принимается, что V — полином четвертой степени l(jnjn – ájñ2)2 c l > 0, íî ìû

здесь не будем этого предполагать.) Выражение (23.3.1) описывает теорию, в которой имеется независящее от пространственно-вре- менных координат вакуумное решение с Anμ = 0. Вакуумное среднее jn ñ jnjn = ájñ2 нарушает SU(2) группу симметрии теории до ее

подгруппы U(1), которую можно отождествить с калибровочной группой электродинамики. Однако мы будем искать топологически нетривиальные неоднородные, но1 не зависящие от времени класси- ческие решения во временной калибровке, в которой An0 = 0, íî Ani ¹ 0. В этом случае лагранжиан равен взятой с обратным знаком

плотности потенциальной энергии H, которая равна

(квадраты подразумевают очевидные свертки по индексам). Поскольку все члены в выражении (23.3.4) положительны, в конфигурации с конечной энергией интеграл от каждого члена должен по-отдель- ности сходиться.

В частности, для того, чтобы сходился интеграл от V(jnjn), вектор jn должен иметь фиксированную длину ájñ на бесконечнос-

ти, так что каждая конфигурация конечной энергии определяет

гладкое отображение большой 2-сферы S, окружающей монопольную конфигурацию, на 2-сферу jn, ãäå jnjn = ájñ2. Когда x$ принимает значения на S, jn может любое целое число N раз пробегать значения на сфере jnjn = ájñ2 . При этом якобиан Det(¶x/¶j) может

быть положительным, и в этом случае говорят, что топологическое число равно N, или отрицательным, и в этом случае топологическое число равно –N.

Чтобы понять, какое отношение топологическое число к магнитному заряду монополя, необходимо сначала рассмотреть, что в данной теории наблюдается как «магнитное поле». Какой бы ни была полевая конфигурация, можно ввести калибровку, в которой скалярное поле jn в любом заданном конечном объеме направлено в

определенную сторону, например, вдоль третьей оси, так что в этой области связанное с ненарушенной U(1) подгруппой SU(2) калибровочное поле есть A3i. ¢T Хофт нашел калибровочно-инвариан- тный тензор Fμν, который в такой калибровке сводится к обычному тензору напряженности электромагнитного поля ¶μA3ν – ¶νA3μ:

ãäå j$ n º jn jmjm . Чтобы проверить,что в калибровке с постоянными ϕ$ тензор Fμν — обычный тензор напряженности электромагнитногоnполя (и для дальнейших прменений), воспользуемся выра-

Таким образом, в калибровке, где ϕ$ n — фиксированный единич-

ный вектор, направленный вдоль третьей оси, имеем, как и обещано,

Fμν = ∂μ A3ν − ∂ν A3μ .

Магнитный заряд g любой локализованной полевой конфигурации определяется как коэффициент 1/4p, умноженный на маг-

нитный поток через большую замкнутую поверхность S вокруг конфигурации:

588 Глава 23. Протяженные полевые конфигурации

Первые два члена в выражении (23.3.6) для Fij являются производными, и поэтому не вносят вклада в интеграл (23.3.7), так что

Это выражение обладает важным свойством — оно топологи- чески инвариантно, т. е., интегрируя по частям, если необходимо, можно получить, что изменение g в результате бесконечно малой вариации δϕ$ n ïîëÿ ϕ$ n равно

εnmlδϕ$ n∂iϕ$ m∂jϕ$ l = 0 ,

èпоэтому δg = 0. Величина (23.3.8) связана с топологическим инва-

риантом, который называется индексом Кронекера.

Поскольку g — поверхностный интеграл, он аддитивен. Это означает, что для любых двух удаленных друг от друга локализованных конфигураций та поверхность S, которая используется для вычисления g, может быть взята в виде пары сфер, окружающих каждая свою конфигурацию, соединенных тонкой перемычкой, так

что значение g для всей системы будет суммой значений g1, g2 для отдельных локализованных конфигураций. Кроме того, поскольку

g — топологический инвариант, равенство g = g1 + g2 будет сохраняться для любой полевой конфигурации, получающейся плавным

слиянием двух конфигураций с магнитными зарядами g1 è g2. Отсюда следует, что g должно быть пропорционально топологическому числу. Арафуне, Фройнд и Гебель 13 проверили это и вычислили коэффициент пропорциональности, используя формулу (23.3.8) для произвольного топологического числа. Здесь мы просто вычислим

коэффициент, исследуя монополь ¢т Хофта–Полякова 2, ïîëÿ êîòî-

рого соответствуют топологическому числу единица.

Как мы видели в предыдущем разделе, «тождественный» (не путать с единицей) элемент S в p2(SU(2)/U(1)), который соответ-

ствует элементу «единица» в Z, состоит из конфигураций, в которых 2-сфера S на бесконечности один раз (с положительным якобианом) отображается на сферу, описываемую полем ϕ$ n. В качестве

представителя этого класса можно взять конфигурацию, в которой на бесконечности от направлено так же, как x. Для построения такой конфигурации, потребуем симметрии относительно объединенных вращений j = {j1, j2, j3} и x, а также сохранения четности,

и выдвинем анзатц:

Имеется важная аналогия между этой полевой конфигурацией и вихревой нитью в сверхпроводнике. Решение j = ±lf/2e äëÿ

поля голдстоуновского бозона, найденное в разделе 21.6, показывает, что несмотря на спонтанное нарушение калибровочной и вращательной инвариантности, решение в виде вихревой нити инвариантно относительно комбинации глобального калибровочного преобразования, для которого j ® j + L, и жесткого вращения f ® f ± 2eL/l. Аналогично, монопольное решение вида (23.3.9)–(23.3.10)

неинвариантно относительно вращений или калибровочных преобразований, но инвариантно относительно жеского трехмерного пространственного вращения и такого же глобального SO(3) калибровочного преобразования.

Как уже отмечалось, для того, чтобы интеграл от V(jnjn) сходился, необходимо, чтобы jnjn стремилось к ájñ2 ïðè r ® ¥, так что в этом пределе F(r) ® 1. Чтобы установить предельное поведение

G(r), заметим, что ковариантная производная скалярного поля равна

так что скалярное слагаемое в гамильтониане имеет вид

Чтобы найти стабильную конфигурацию, минимизирующую интеграл от гамильтониана (23.3.4), требуются детальные численные расчеты. Однако существует предельный случай, в котором можно получить аналитическое решение. Для того, чтобы это увидеть, удобно сначала вывести выражение для общей нижней границы энергии монополя при заданном магнитном заряде g (Богомольный 10). Заметим, что выражение (23.3.4) можно записать в виде

Используя тождество Бьянки (15.3.9), можно переписать второе слагаемое:

так что интеграл от него равен заданному магнитному заряду:

± 1 eijk z d3xFnij Dkjn = ±ájñz B × dA = ±4pájñg . 2

Поскольку все другие члены в H положительны, мы пришли к общей нижней границе энергии конфигурации с магнитным зарядом g:

Ïðè g = ±1/e это дает энергию E ³ 4pájñ|g|, и при малой кон-

станте связи е это много больше, чем поправки за счет квантовых флуктуаций, которые самое большее — порядка ájñ. Именно поэто-

му можно серьезно относиться к классической конфигурации как к главному члену в разложении по теории возмущений.

Теперь возникает искушение попробовать минимизировать энергию при заданном магнитном заряде, положив первый член в (23.3.18) равным нулю, так что

но в общем случае это не приводит к конфигурации, при которой энергия стационарна. Условием того, что энергия будет стационар-

ной по отношению к вариациям скалярных полей, является уравнение поля

в то время как из условия (23.3.20) совместно с тождеством Бьянки (15.3.9) вытекало бы, что DkDkjn = 0. Из этого аргумента следует, что в частном случае, когда V(jnjn) очень мало, возможно, нало-

жив условие (23.3.20), почти достичь нижней границы (23.3.19) и следовательно минимизировать энергию при заданном магнитном заряде. (Если V — полином четвертой степени l(jnjn – ájñ2)2, предположение о малости V означает, что l n e2, как в сверхпроводниках I рода.)

Подобные стабильные конфигурации изучались таким способом Богомольным 10. Ранее эти конфигурации были найдены Прасадом и Соммерфилдом 14 без непосредственного использования условия (23.3.20). Обычно их называют БПС монополями.

Условие Богомольного (23.3.20) позволяет записать дифференциальные уравнения первого порядка для F(r) и G(r), решить которые намного легче, чем полевые уравнения второго порядка, выведенные непосредственно из условия стационарности энергии. Используя выражения (23.3.11) и (23.3.13), находим, что члены в

условии (23.3.20), пропорциональные ε ijk [δkn − x$ kx$ n ] è εijkx$ kx$ n ñî-

ответственно, приводят к дифференциальным уравнениям

ãäå r º eájñr. Заметим, в частности, что поле jn, задаваемое выражениями (23.3.9) и (23.3.24), обращается в нуль при r ® 0, òàê ÷òî,

как это и отмечалось в разделе 23.1, SU(2) симметрия в центре монополя восстанавливается.

Вернемся к случаю потенциала V произвольной величины. Монополь ¢т Хофта–Полякова стабилен, т. к. нет конфигураций