Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 2 (2001)

ни одна точная дискретная симметрия, кроме СРТ, и ни одна спонтанно нарушенная приближенная или точная дискретная симметрия, так что на сегодняшний день проблема доменных стенок неактуальна.

в. Инстантоны и т. п. Рассмотрим теперь калибровочную теорию с действием

ãäå Fαij — обычный тензор напряженности поля, и мы считаем d ³ 4. Это можно рассматривать как действие квантовых калибро-

вочных полей в евклидовом d-мерном пространстве-времени, или как потенциальную1 энергию классических калибровочных полей во временной калибровке с A0α = 0 в (d + 1)-мерном пространстве-

времени.

Для того, чтобы S[A] было конечным, напряженность Fαij должна обращаться в нуль при x ® ¥. Этого можно достичь, если Aαi(x) достаточно быстро убывает при x ® ¥, íî äàæå ïðè d ³ 4 возможна ситуация, когда S[A] конечно для поля Aαi(x), убывающего как 1/|x|, если только поле при |x| ® ¥ стремится к чистой калибровке:

ãäå g(x$ ) — зависящий от направления элемент калибровочной группы G. Более того, Aαi(x) не изменяется, если заменить g(x$ ) íà g0g(x$ ) для любого фиксированного элемента группы G0 Î G, так что, выбрав g0 = g−1(x$ 1), можно добиться, чтобы g(x$ 1) = 1 для любого направления x$ 1. Поэтому каждое калибровочное поле с конечным S[A] определяет отображение единичной сферы g(x$ 1) = 1 на групповое многообразие, причем точка x$ 1 отображается в единичный элемент

G. (В случае, когда калибровочное поле обращается в нуль быстрее, чем 1/|x|, при |x| ® ¥, это отображение переводит все точки еди-

ничной сферы в тождественный элемент калибровочной группы.) Множество классов всех топологически различных отображений Sd– 1 ¬ G, при которых одна точка Sd–1 отображается в фиксированный элемент G, называется (d–1)-й гомотопической группой группового многообразия. Как указано в Приложении В к этой главе, для любой полупростой группы Ли G группа p3(G) нетривиальна. Топологи-

чески нетривиальные стационарные точки действия S[A] при d = 4 называются инстантонами 1. Их значение в квантовой хромодинамике обсуждается в разделах 23.5 и 23.6.

Для того, чтобы S[A] было стационарным при значении поля A(x), необходимо, чтобы A(x) удовлетворяло полевому уравнению

Простые рассуждения об изменении масштаба снова ограничивают значения размерности d, при которой можно надеяться найти топологически нетривиальный локальный минимум S[A]. Определим AR (x) ≡ A(xR. Тогда

S[AR ] = Rd− 4S[A] ,

òàê ÷òî ïðè d ¹ 4 у S[A] не может быть никаких нетривиальных

стационарных точек, если только не выполнено равенство S[A] = 0. Однако, если S[A] = 0, то и Fαij = 0 везде, так что с помощью калибровочного преобразования можно везде обратить Aαi â íóëü.

Как мы увидим в разделе 23.5, при d = 4 все-таки возможно найти инстантонные решения, для которых S[A] (обозначенное там как –I[A]) стационарно, а Fαij отлично от нуля везде за исключени-

ем бесконечно удаленной области. Приведенные выше соображения об изменении масштаба показывают, что если A(x) — такое инстантонное решение, то этим решением будет и A(xR)R. Однако это

вырождение устраняется квантовыми поправками.

г. Монополи, вихревые нити и т. д. Рассмотрим теперь теорию калибровочных полей вместе со скалярами, реализующими линейное представление калибровочной группы, причем

ãäå gab(j) — положительно определенная матрица (обычно не зависящая от j), потенциал U(j) ограничен снизу и сдвинут на постоянную величину, так что его минимум равен нулю, а Fαij è Di —

обычные напряженность поля и калибровочно-ковариантная произ-

водная. Мы требуем, чтобы U(ϕ) было скаляром, а gab(ϕ) — тензо-

ром относительно преобразований калибровочной группы G. Опять, выражение (23.1.9) представляет собой либо действие квантовой теории поля в d-мерном евклидовом пространстве-времени, либо потен1 - циальную энергию для классической теории поля во временной калибровке в (d+1)-мерном пространстве-времени.

Для того, чтобы S[A,ϕ] было конечным, необходимо, чтобы U(ϕ(x)) обращалось в нуль при x → ∞. Множество тех ϕ, при которых U(ϕ) обращается в нуль, инвариантно относительно G, и может

быть как дискретным, так и непрерывным. Выше, в случае б мы имели пример того, когда это множество дискретно. Рассмотрим теперь случай нарушенной симметрии, когда нули U(ϕ) образуют

непрерывное многообразие M0, состоящее из полей, связанных преобразованиями g G. В этом случае каждое ϕ(x$ ) может быть полу- чено преобразованием γ(x$ ) G, действующим на значение ϕ(x$ 1) поля в произвольном направлении x$ 1. Поэтому можно считать, что поле ϕ(x) определяет отображение Sd–1 ¬ G на фактор-пространство G/

H, иными словами, — на группу G с отождествленными элементами g1 è g2, отличающимися только правым умножением на некоторый элемент h подгруппы H G, оставляющим ϕ(x$ 1) инвариантным, т. е. если g1 = g2h. В частности, точка x$ 1 отображается на подгруппу Н, т. к. γ(x$ 1) , действуя на ϕ(x$ 1) , должно давать само ϕ(x$ 1) . Таким образом, поля, достигающие при x → ∞ значений на

многообразии М0, могут быть расклассифицированы согласно топологически различным отображениям Sd–1 в G/H, переводящим точ- ку x$ 1 в фиксированный «единичный» элемент Н из G/H. Множество

классов таких топологически различных отображений Sd–1 ¬ G/H с одной точкой из Sd–1, отображающейся в фиксированный элемент из G/H, известно как (d–1)-я гомотопическая группа πd–1(G/H) ìíî-

гообразия G/H.

В этом случае ∂iϕ(x) ведет себя как 1/|x| при x → ∞. Для того, чтобы S[ϕ] было конечным, Diϕ должна обращаться при x → ∞ в нуль быстрее, чем |x|–d/2, поэтому необходимо, чтобы itαAαi(x) стремилось при x → ∞ ê γ −1(x$ )∂i γ (x$ ) быстрее, чем |x|–d/2. Это — чисто калибровочное поле, так что тензор напряженности поля Fαij(x) îá-

ращается в нуль быстрее, чем |x|–d/2–1, что достаточно для сходи-

мости интеграла z ddxFαijFαij .

Для калибровочной теории, определенной выражением (23.1.9), теорема Деррика неприменима, но интересно посмотреть, к чему

приведет нас та же схема рассуждений. Для любых заданных полей

ϕ(x) и A(x) снова определим поля jR(x) º j(xR) è AR (x) º A(xR)R.

Тогда три члена в гамильтониане (23.1.9) имеют следующие масштабные свойства:

T[jR , AR ] = Rd−2T[j, A] , K[AR ] = Rd− 4K[A] , V[jR ] = RdV[j] ,

при любом конечном значении R, так что не существует стабильной конфигурации с нетривиальной топологией. При 0 < d < 4 нетрудно найти конечное значение R, при котором S[ϕR,AR] имеет минимум.

Âфизически интересном случае d = 3 топологически нетриви-

альные полевые конфигурации классифицируются согласно гомото-

пической группе π2(G/H), которая нетривиальна для односвязной

группы G (например, SU(2)), нарушенной до группы H, содержащей группу U(1) электромагнетизма. Топологически нетривиальные классические полевые конфигурации с d = 3 называются магнитными монополями 2. Как мы увидим в разделе 23.3, величина их

магнитного заряда квантована, причем разные значения магнитного заряда отвечают разным элементам группы π2(G/H).

Âслучае d = 2 топологически нетривиальные конфигурации

соответствуют элементам группы p1(G/H), которая нетривиальна, когда G — неодносвязная группа, например, U(1) или SO(3), нарушенная либо полностью, либо до дискретной подгруппы. Топологи- чески нетривиальные классические полевые конфигурации при d = 2 являются сечениями вихревых нитей. Один пример — это сверх-

проводимость, где G = U(1) спонтанно нарушается до H = Z2. В разделе 21.6 мы видели, что в сверхпроводниках II рода в определенном интервале значений напряженности магнитного поля возникают вихревые нити, причем магнитный поток, который они несут, кван-

тован, так что разные значения потока отвечают разным элемен-

òàì π1(U(1)/Z2). Вихревые нити могут возникать и в релятивистских

квантовых теориях поля 4, а также могут рождаться при нарушающих симметрию переходах в ранней Вселенной. В этом случае их называют космическими струнами 11.

Монополи и вихревые нити обладают замечательным свойством, которое можно получить только на основании топологических рассуждений. В обоих случаях формы голдстоуновских бозон-

ных полей pa(x) на больших сферах (S1 — для вихревых нитей,

S2 — для монополей), окружающих конфигурацию, закручены, так что они не могут быть гладко продеформированы в постоянные поля. В частности, невозможно гладким образом уменьшить радиусы этих сфер до нуля, не столкнувшись с каким-то типом сингулярности, поскольку несингулярное поле pa(x) на сфере при уменьшении ра-

диуса сферы до нуля должно было бы стать постоянным. В обоих случаях сингулярность возникает на некоторой сердцевине (линии или, возможно, трубке для вихревых нитей и точке или, возможно, шаре для монополей), внутри котрой группа G уже не нарушена, так что система описывается не голдстоуновскими бозонными полями, а параметром порядка, линейно преобразующимся под действием преобразований из G.

В случае d = 4 функция S[jR, AR] от R может иметь минимум при некотором конечном значении R, если T[j,A] = V[j] = 0, для чего необходимо, чтобы j(x) везде принимало значение, при котором U(j) = 0. Предполагая, что эти значения образуют континуум,

связанный преобразованиями калибровочной группы G, можно с помощью калибровочного преобразования сделать их все постоянными, j(x) = j0. Тогда в этой калибровке из условия T[j,A] = 0

следует, что Aa(x) = 0 для всех нарушенных симметрий для которых taj0 ¹ 0. На такой полевой конфигурации как T[j,A], òàê è V[j] стационарны, так что для стационарности S[j, A] необходима стационарность K[j,A], а это означает, что ненулевые калибровочные поля Aim (принадлежащие подгруппе H Ì G, не нарушенной полем j0) удовлетворяют полевым уравнениям Янга–Миллса

Поэтому данный случай сводится к случаю с, но с заменой калибровочной группы G на ее ненарушенную подгруппу Н.

23.2.Гомотопические группы

Âпредыдущем разделе мы научились классифицировать полевые конфигурации, на которых гамильтониан или другие функционалы имеют конечное значение, в соответствии с элементами подходящих гомотопических групп. Но мы до сих пор не объясни-

ли, в каком смысле гомотопические группы являются группами,

èне придали групповой структуре никакого физического значе- ния. Как мы увидим, существует естественное определение закона умножения элементов гомотопических групп, согласно которому две протяженные конфигурации полей, образующих

многообразие М в d измерениях, которые принадлежат различ- ным элементам с1 è ñ2 группы πd(M), могут непрерывно сливаться

èобразовывать конфигурацию, принадлежащую элементу с1 × ñ2

этой группы.

Начнем с определения первой гомотопической группы π1(M)

произвольного многообразия М в d измерениях, которую называют также фундаментальной группой многообразия. Как мы видели, условием топологической стабильности вихревой нити в трех изме-

рениях (или монополя в двух измерениях) является существование

нетривиальной группы π1(G/H) для некоторого фактор-простран- ства G/H. После знакомства с π1(M) мы перейдем к изучению более

общих гомотопических групп.

Говорят, что связное многообразие М многосвязно, если на

многообразии существует какой-либо замкнутый путь p(z), параметризованный одной переменной z с 0 ≤ z ≤ 1, причем p(0) = p(1),

который не может быть стянут в точку путем непрерывной деформации. Поскольку на связном многообразии всегда можно непрерывно продеформировать любой замкнутый путь так, что любая точка пути может оказаться в любом желаемом месте на многообразии, можно ограничиться только путями, для которых p(0) = p(1)

= p0, ãäå ð0 — любая фиксированная точка на многообразии, называемая базовой точкой. Говорят, что два таких замкнутых пути

p1(z) è p2(z) гомотопически эквивалентны, если они могут быть продеформированы один в другой, т. е. если существует непрерывная функция p(z,t), 0 ≤ t ≤ 1, такая, что

p(z, 0) = p1(z), p(z, 1) = p2(z), p(0, t) = p(1, t) = p0.

Отношение гомотопической эквивалентности есть именно отношение эквивалентности в том смысле, что оно симметрично, рефлексивно и транзитивно, так что это отношение разделяет пространство замкнутых путей на многообразии на классы эквивалентности: два замкнутых пути принадлежат одному классу, если и только если они гомотопически эквивалентны. Множество всех этих клас-

сов эквивалентности называется первой гомотопической группой

многообразия π1(M).

Для определения правила умножения в группе π1(M) выберем

стандартный путь p[z, c], начинающийся и кончающийся в базовой точке р0 для каждого класса эквивалентности с в p1(M). Для любых двух классов эквивалентности с1 è ñ2 определим «произведение» с1 ×

ñ2 как класс эквивалентности, содержащий путь p[z, c1, c2], который начинается в точке р0, следует по пути p[z, c1] назад в точку р0, а затем следут по пути p[z, c2] снова в точку р0. Формально

Теперь нужно показать, что так определенное умножение удовлетворяет групповым аксиомам. Для этого заметим, что (c1 × c2) × c3 есть класс эквивалентности, содержащий путь p[z, c1×c2, c3], идуший вдоль стандартного пути p[z, c1 × c2], начинающегося и кон- чающегося в базовой точке, в то время как c1 × (c2 × c3) — класс эквивалентности, содержащий путь p[z, c1, c2 × c3], идущий вдоль

стандартного пути p[z, c1] из базовой точки р0 и обратно, а затем — вдоль стандартного пути p[z, c1 × c2] из базовой точки р0 и обратно. По определению, путь p[z, c1 × c2] может быть продеформирован в

путь, идущий вдоль пути p[z, c1] из базовой точки р0 и обратно, а затем — вдоль пути p[z, c2] из базовой точки р0 и обратно. В то же время, путь p[z, c2 × c3] может быть продеформирован в путь, иду-

щий вдоль пути p[z, c2] из базовой точки р0 и обратно, а затем — вдоль пути p[z, c3] из базовой точки р0 и обратно. Таким образом,

îáà ïóòè p[z, c1 × c2, c3] è p[z, c1, c2 × c3] могут быть продеформиро-

ваны в путь, идущий вдоль пути p[z, c1] из базовой точки р0 и обратно, затем — вдоль пути p[z, c2] из базовой точки р0 и обратно, и наконец — вдоль пути p[z,c3] из базовой точки р0 и обратно. Следовательно, эти пути могут быть продеформированы друг в друга, откуда

(ñ1 × ñ2) × ñ3 = ñ1 × (ñ2 × ñ3).

Единичный элемент e группы π1(M) определяется как класс

эквивалентности, содержащий путь p[z, e], не выходящий из базовой точки. Чтобы проверить, что e × c = c, заметим, что

580 Глава 23. Протяженные полевые конфигурации

Но этот путь можно непрерывно продеформировать в p[z, c], выбрав

что совпадает с p[z, e, c] при t = 1 и с p[z, c] при t = 0. Произведение e × c есть класс эквивалентности, содержащий p[z, e, c], но, как мы

видим, этот класс совпадает с классом эквивалентности, содержащим p[z, c], который и есть класс c. Доказательство того, что с × å

= с, проводится аналогично.

«Обратный» класс с–1 к классу эквивалентности с содержит путь p–1[z, c], идущий вдоль того же пути, что и стандартный путь p[z, c], но в противоположном направлении. Иными словами,

p−1[z; c] ≡ p[1 − z; c].

Этот путь не обязательно совпадает со «стандартным путем» p[z, c–1], но, по определению класса эквивалентности с–1, два пути можно продеформировать друг в друга. Чтобы убедиться, что c–1 × c = e, заметим, что при деформации пути p[z, c–1] â p–1[z, c]

ïóòü p[z, c–1, c] можно продеформировать в путь

Но этот путь можно непрерывно продеформировать в p[z, e] = p0, выбрав

что совпадает с p[z, c–1, c] при t = 1 и с p[z, e] при t = 0. Произведение с–1 × с есть класс эквивалентности, содержащий p[z, c–1, c],

но, как мы теперь видим, этот класс совпадает с классом эквивалентности, содержащим p[z, e], что есть просто е. Доказательство того, что с × ñ–1 = е, проводится аналогично. Существование еди-

ничного элемента и обратных элементов показывает, что совокупность классов эквивалентности образует группу.

Классическим примером многообразия М с нетривиальной первой гомотопической группой является окружность: M= S1. Ее можно параметризовать углом θ, причем θ = 0 è θ = 2πn (где n — положи-

тельное или отрицательное целое число) считаются одной точкой. Гомотопические группы состоят из классов функций θ(z), 0 ≤ z ≤ 1,

с начальным значением в некоторой базовой точке q(0) = q0 и конечным значением в той же базовой точке θ(1) = θ0 +2πn. Две такие

функции можно непрерывно продеформировать друг в друга тогда и только тогда, когда у них одинаковое значение n, так что π1(S1)

состоит из счетного бесконечного числа классов cn, помеченных положительным или отрицательным целым числом n. Кроме того, «произведение» двух классов cn è cm состоит из путей, которые совершают n оборотов по окружности, начинаясь и кончаясь в базовой точке, а затем еще m таких же оборотов, так что в данном случае умножение сводится к сложению:

где Z — группа положительных и отрицательных целых чисел по сложению. Чтобы немедленно продемонстрировать физическое применение, заметим, что когда калибровочная группа SO(2) полностью спонтанно нарушена, фактор-пространство есть сама группа SO(2), имеющая топологию окружности. Поэтому в данном случае существует бесконечное число типов топологически стабильных вихревых нитей, характеризующихся положительным или отрицательным целым числом n. Например, так обстоит дело в сверхпроводнике II рода, где, как мы видели в разделе 21.6, группа U(1) электромагнитной калибровочной инвариантности спонтанно нарушена до дискретной подгруппы Z2.

В общем случае все сферы Sd с d > 1 односвязны, и это озна- чает, что их первая гомотопическая группа тривиальна, что обычно выражается в виде

Только немногие из более знакомых нам групп Ли являются многосвязными.

Здесь Z2 — группа из двух элементов 1 и –1, с групповым умножением, определенным как обычное умножение, а Spin(n) — односвязная накрывающая группа группы SO(n). (В разделе 2.7 мы видели, что Spin(3) совпадает с SU(2).) Кроме того, для прямого произведения двух многообразий М и М¢ фундаментальной группой

будет

Можно оценить физическое значение групповой структуры π1(M), если задаться вопросом, что происходит, когда сближаются

две первоначально удаленные параллельные вихревые нити в трех измерениях. Пока вихревые нити достаточно далеки друг от друга, их поля не взаимодействуют, поэтому конфигурацию можно описать, задав классы с¢ è ñ¢¢ â p1(G/H), которым принадлежит каждая

нить. Класс с, которому принадлежит вся конфигурация, определяется поведением полей на очень большой окружности, объемлющей обе вихревые нити. Непрерывной деформацией можно превратить эту окружность в две большие окружности, каждая из которых окружает свою вихревую нить, пересекающихся в точке посередине между нитями. Когда мы проходим такой замкнутый путь в двумерном пространстве, то, как и в определении произведения классов, мы проходим по пути в G/H, состоящем сначала из замкнутого пути класса с¢, а затем — из замкнутого пути класса с¢¢. Отсюда мы

приходим к выводу, что вся конфигурация соответствует классу с = с¢ ´ ñ¢¢, и поэтому две вихревые нити могут только слиться и образовать нить такого класса. В частности, если с¢¢ = ñ–1, то вихре-

вые нити могут только аннигилировать.

Рассмотрим теперь общую гомотопическую группу pk(M). Она во многом похожа на p1(М), если не считать того, что вместо рас-