Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 2 (2001)

∂

∂t η−tξ (x) = −i Xaξa (x), η−tξ (x) + ibT [η]ξa (x)gXa ,

òàê ÷òî

Чтобы найти T[η]Gb[y,A], применим T[η] к калибровочному полю, и

после прямого вычисления получим, что

− tξ

так что, используя условие совместности (22.7.5),

T [η]Gb [y; A−tξ ] = z d4x[η−tξ (x)]γ dTγA (x)Gb [y; A]iA→ A− tξ

= z d4x[η−tξ (x)]a dTbA (y)Ga [x; A]iA→ A− tξ (22.7.13) + iCγba [η−tξ (y)]γ Ga [y; A−tξ ] .

Слагаемые со структурными константами в формулах (22.7.11) и (22.7.13) сокращаются, и в результате

Другое непосредственное вычисление показывает, что

так что слагаемые в подынтегральном выражении в (22.7.14) складываются, образуя производную по t:

При t = 1 имеем

η−ξ (x) = expb−iXaξa (x)g η(x) + T [η] expbiXaξa (x)g .

Из выражения (22.7.4) видно, что это есть линейная комбинация генераторов подгруппы Η ненарушенной симметрии, так что коэффициент [η–ξ(y)] у любого генератора Xb нарушенной симметрии об-

ращается в нуль. Кроме того, из формул (22.7.10) и (22.7.8) немед-

ленно следует, что при t = 0 η–tξ(y) = η(y) è [A–tξ(y)]μ = Aμ(y), òàê

что из выражения (22.7.16) вытекает, что

T [η]Γ[ξ, A] = z d4 y[η0 (y)]b Gb[y; A0 ] = z d4 y ηb(y)Gb[y; A] , (22.7.17)

Совместно с условием (22.7.6) это эквивалентно желаемому результату (22.7.1), что и требовалось доказать.

Решение (22.7.7) уравнения 922.7.1) не единственно, однако является единственным решением, обращаюшимся в нуль при x = 0. Чтобы увидеть это, заметим, что

где штрихи указывают на калибровочное преобразование с калибровочным параметром ηβ. Здесь удобно представить экспонен-

òó â âèäå

В частности, если взять ηa = –ξa è ηi = 0, тогда ξ′a = 0, è â ýòîì

случае, по предположению, правая часть в выражении (22.7.19) обращается в нуль, а следовательно мы приходим к формуле

Γ[ξ, A] = −iz01 exp itz ξa (x)TaA (x)d4x z ξb (y) Gb [y; A]d4y .

(22.7.20) Функциональный оператор exp[it z ξa (x)TaA (x)d4x] в формуле

(22.7.20) просто порождает калибровочное преобразовнаие (15.1.17) с калибровочным параметром Λβ(x) = –tξa(x), так что формулу

(22.7.20) можно записать в виде (22.7.7).

Решение (22.7.7) можно применить для изучения электрослабых взаимодействий октета псевдоскалярных голдстоуновских бозонов, однако она имеет важные приложения и для взаимодействий самих голдстоуновских бозонов в отсутствие реальных калибровочных полей. В случае, когда А = 0, выражение (22.7.8) становится «чисто калибровочным» полем

так что в результате подстановки (22.7.21) в (22.7.7) получается G- инвариантный локальный функционал поля голдстоуновских бозонов ξa(x), хотя, как мы увидим, в общем случае он не равен интегралу по пространству-времени от G-инвариантной функции ξa(x) è

его производных.

Простейшим примером является случай полностью нарушенной группы симметрии. В этом случае условие (22.7.6) ничего не дает, и мы можем использовать для аномалии симметричную форму (22.3.38):

+ iAκ (x)∂νAλ (x)Aρ (x) − iAκ (x)Aν (x)∂λ Aρ (x) } ,

(22.7.24) где теперь Τα — конкретное представление генераторов группы,

реализуемое левыми фермионами теории (включая антифермионы, если это различие существенно). Подставляя (22.7.21) в (22.7.24), находим, что в этом случае в следе в формуле (22.7.24) после свертки с εκνλρ выживают только члены, пропорциональные

TroTa (∂κ V)V−1(∂νV)V−1(∂λ V)V−1(∂ρV)V−1t ,

с коэффициентами –1, +1, –1 и +1, соответственно. Поэтому решение (22.7.7) принимает вид

Как и утверждалось, это выражение не есть интеграл от инвариантной функции полей и их производных. Например, если поля голдстоуновских бозонов малы, формула (22.7.25) принимает вид

Любая функция ковариантных производных полей голдстоуновских бозонов будет содержать член низшего порядка по полям, который просто будет произведением частных производных голдстоуновских полей, и поэтому такая функция не может содержать член низшего порядка вида (22.7.26).

В качестве практически более важного примера рассмотрим SU(3) × SU(3) киральную ситмметрию квантовой хромодинамики

с безмассовыми кварками u, d и s, которая спонтанно нарушена до диагональной SU(3) подгруппы Гелл-Манна и Неемана. Чтобы использовать результаты данного раздела, мы должны пометить внутренние импульсы в интегралах по фермионным петлям так, чтобы векторные токи диагональной SU(3) подгруппы были свободны от аномалий. В этом случае аномалия принимает форму Бардина (22.3.34):

ãäå Vμ, Aμ, Vμν è Aμν определены формулами (22.3.35)–(22.3.37), ta здесь равняется половине матриц Гелл-Манна λa, определенных

формулами (19.7.2), а n — число типов («цветов») кварков каждого сорта (аромата). (Мы теперь используем строчную букву t для матриц, представляющих генераторы группы, поскольку в этом следе суммирование ведется только по левым кваркам, но не по левым антикваркам.) Для чисто калибровочного поля типа (22.7.21) напряженности Vμν è Aμν обращаются в нуль, так что, додставляя (22.7.27)

в (22.7.7), находим аномальное эффективное действие голдстоуновских бозонов

где теперь «A» обозначает не векторное, а аксиальное калибровоч- ное поле. Чтобы найти [A–tξ]μ, используем формулу (22.7.21), кото-

рая в данном случае имеет вид

[V−tξ (x)]μ + γ 5 [A−tξ (x)]μ = −i ∂μ expb−itγ 5taξa (x)g expbitγ 5taξa (x)g .

(22.7.29)

Умножая на (1+ γ5)/2 è (1− γ5)/2 и беря разность, находим акси-

альное слагаемое

онально целому числу n. Единственной разницей является то, что теперь n отождествляется с числом цветов. В разделе 19.8 мы видели, что интеграл (19.8.3) зависит только от значений ξa(z) íà

пространственно-временной границе пятимерного шара, поэтому при выводе формулы (22.7.33) мы показали, что формула (19.8.2) применима для любого продолжения xa(x) внутрь пятимерного шара, а не только для случая ξa(x,t) =tξ(x).

** *

Âболее общем случае рассмотрим произвольную калибровочную группу G, спонтанно нарушенную до подгруппы Н, которая сама по себе свободна от аномалий, т. е. для которой D-сим- вол (22.3.12) обращается в нуль для любых трех генераторов Н. Чу, Хо и Зумино 26 показали, что к действию можно добавить локальный функционал B[A] так, что токи подгруппы Н будут свободными от аномалий даже, когда учитываются калибровоч- ные поля нарушенных симметрий. Этот функционал имеет вид

(ãäå Gβ[x;A] — симметризованная аномалия (22.3.38)), и она удов-

летворяет желаемому условию

Аномальная часть эффективного действия для голдстоуновских бозонов и калибровочных полей получается подстановкой выражения (22.7.35) вместо Gβ в решение (22.7.7). Таким способом Чу и др.26

нашли аномальное эффективное действие

560 Глава 22. Аномалии

ãäå Γ[ξ,A] — ранее выведенное эффективное действие (22.7.7), а A–ξ(x) получается, если положить в (22.7.8) t = 1. В частности, когда калибровочное поле обращается в нуль, A–ξ есть чисто калибро-

вочное поле

[A−ξ (x)]μ = −i ∂μ Vbξ)x)g V−1bξ(x)g ,

Vbξ(x)g = expb−iXaξa (x)g ,

так что в этом случае действие для голдстоуновских бозонов равно

Результат не единственен; в частности, в теориях, сохраняющих четность (типа квантовой хромодинамики) можно добавить в эффективное действие локальные слагаемые, с тем, чтобы сократить любые не сохраняющие четность члены в выражении (22.7.38).

Задачи

1.Рассчитатйте вероятность процесса η → γ + γ в главном поряд-

êå ïî ms, считая mu = md = 0.

2.Рассмотрите киральную SU(3) симметрию,1 относительно которой левые компоненты полей спина в теории, сохраняющей

число фермионов, образуют N фундаментальных представлений 3 группы SU(3), а все правые компоненты являются синглетами. Вычислите аномалию в SU(3) симметрии. Какой будет аномалия, если добавить М фермионных полей, левые компоненты которых являются синглетами, а правые компоненты преобразуются как симметричные тензоры второго ранга SU(3) с нулевым следом?

3.Найдите решение условий подбора аномалий ′т Хофта (22.5.5)

и (22.5.6) для случая n = 4 сортов кварков. Найдите решение для случая n = 2, отличное от приведенного в тексте.

4.Выведите уравнение Зинн-Жюстена из квантового мастеруравнения, не предполагая S = 0.

Список литературы

1.Steinberger, J., Phys. Rev., 76, 1180 (1949). См. также: Finkelstein, R.J., Phys. Rev., 72, 415 (1949); Fukuda, H. and Miyamoto, Y., Prog. Theor. Phys., 4, 347 (1949); Schwinger, J., Phys. Rev., 82, 664 (1951); Rosenberg, L., Phys. Rev., 129,

2786 (1963). Грубая оценка этой вероятности распада была сделана еще до экспериментального обнаружения π0 â ðàáî-

òå: Sakata, S. and Tanikawa, Y., Phys. Rev., 57, 548 (1940).

2.Sutherland, D.G., Nucl. Phys., B2, 433 (1967).

3.Veltman, M., Proc. Roy. Soc., A301, 107 (1967).

4.Bell, J.S. and Jackiw, R., Nuovo Cimento, 60A, 47 (1969). Cм. также: Jackiw, R., in Lectures on Current Algebra and its Applications (Princeton Press, Princeton, 1972).

5.Adler, S., Phys. Rev., 177, 2426 (1969). Cм. также: Adler, S., in

Lectures on Elementary Particles and Quantum Field Theory – 1970 Brandeis University Summer Institute in Theorethical Physics, eds. S. Deser, M. Grisaru, and H. Pendleton (MIT Press, Cambridge, MA, 1970), Vol. I.

6.Fujikawa, K., Phys. Rev. Lett., 42, 1195 (1979).

6a. Atiyah, M.F. and Singer, I.M., Proc. Nat. Acad. Sci., 81, 2597 (1984).

7.Alvarez-Gaumè, L. and Ginsparg, P., Ann. Phys., 161, 423 (1985).

8.Bardeen, W.A., Phys. Rev., 184, 1848 (1969).

8a. См., например, работу: Zumino, B., Wu, Y.-S., and Zee, A., Nucl. Phys., B239, 477 (1984).

9.Adler, S.L. and Bardeen, W.A., Phys. Rev., 1517 (1969).

10.См., например: Georgi, H., Lie Algebras in Particle Physics

(Benjamin–Cummings, Reading, MA, 1982), pp. 15, 198. Исходная ссылка: Schur, I., Sitz. Preuss. Akad., p. 406 (1905).

10a. Atiyah, M.F. and Singer, I.M., [6a]; Zumino, B., in Relativity, Groups and Topology II, eds. B.S. de Witt and R. Stora (North– Holland, Amsterdam, 1984); Alvarez-Gaumè L. and Ginsparg, P.,

[7]; Bardeen, W. and Zumino, B., Nucl. Phys., B244, 421 (1984); Stora, R., in Progress in Gauge Field Theory, eds. G. 't Hooft et al. (Plenum, New York, 1984), p. 543; Alvarez, O., Singer, I., and Zumino, B., Comm. Math. Phys., 96, 409 (1984); Alvarez-Gaumè

L. and Ginsparg, P., Nucl. Phys., B262, 439 (1985); Zumino, B., Nucl. Phys., B253, 477 (1985); Bismut, J.M. and Freed, D.S., Commun. Math. Phys., 106, 159 (1986); 107, 103 (1986); Freed, D.S., Commun. Math. Phys., 107, 483 (1986).

10b. Witten, E., Phys. Lett., 117B, 324 (1982).

11.Gross, D.J. and Jackiw, R., Phys. Rev., 96, 477 (1969).

12.Georgi, H. and Glashow, S.L., Phys. Rev., D6, 429 (1972).

13.Mehta, M.L., J. Math. Phys., 7, 1824 (1966); Mehta, M.L. and Srivastava, P.K., J. Math. Phys., 7, 1833 (1966).

13a. Сокращение аномалий в четырехкварковой версии стандартной электрослабой теории было показано в работах: Bouchiat, C., Illiopoulos, J., and Meyer, Ph., Phys. Lett., 38B, 519 (1972); Weinberg, S., in Fundamental Interactions in Physics and Astrophysics, eds. G. Iverson et al. (Plenum Press, New York, 1973), p. 157.