Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 2 (2001)

ãäå Ft ≡ tF + (t − t2 )A2 . Вычисление интеграла (22.6.30) показывает,

что в случае четырех пространственно-временных измерений формула (22.6.20) дает для G[ω,A] результат, пропорциональный z Ω14 .

Можно продолжить этот спуск и вывести ряд других полезных результатов. В частности, из формулы (22.6.27) и нильпотентности s следует, что d(sΩ22n−1) = 0, так что по теореме Пуанкаре sΩ22n−1 имеет вид dΩ32n−2, и интеграл от Ω22n−1 по 2n–1 координатам

Такие БРСТ инвариантные функционалы второго порядка по гостовским полям являются кандидатами 18b в так называемые швингеровские члены 18ñ.

Интересующие нас сейчас швингеровские члены возникают как аномальные1 слагаемые Sαβ(x,y) в коммутационных соотношени-

ях временных компонент двух токов симметрии при равных временах:

(В этом разделе все операторы берутся в один и тот же момент времени t, который мы ниже не будем указывать явно.) Из антисимметрии коммутатора имеем Sαβ(x,y) = – Sβα(y,x), так что вся информация о Sαβ(x,y) содержится в функционале

Заметим, что в общем случае Sαβ(x,y) зависит от различных полей материи и калибровочных полей, так что S[ω] вообще говоря зависит как от этих полей, так и от поля духов ωα(x).

Образуя коммутатор выражения (22.6.32) с третьим током Jγ0 (z), сворачивая с ωα(x)ωβ(y)ωγ(z), интегрируя по x, y, z и используя

тождество Якоби, находим:

Действие БРСТ оператора s на функционалы от полей материи и калибровочных полей типа Sαβ(x,y) эквивалентно калибровочному преобразованию с параметром преобразования ωα, òàê ÷òî

sSαβ (x, y) = i z d2n−1z ωγ (z)J0γ (z), Sαβ (x, y) .

Вспоминая формулу (22.6.8), находим, что функционал (22.6.33) является БРСТ инвариантом:

Кроме того, добавляя в токи определенные слагаемые, можно изменить S[ω] на слагаемые вида sT[ω], так что множество возмож-

ных швингеровских членов, которые нельзя устранить добавлением слагаемых в токи, дается когомологией БРСТ оператора с духовым числом два, т. е. БРСТ инвариантными функционалами S второго порядка по духовому полю, которые сами не имеют вида sT. Из выражения (22.6.31) следует, что кандидатом на такой функционал является z Ω22n−1.

* * *

Проведенный до сих пор в этом разделе анализ аномалий, строго говоря, применим только к аномалиям в однопетлевом приближении. Правда, теория с однопетлевыми аномалиями в токах,

ñкоторыми связаны квантовые калибровочные поля, несостоятельна, и поэтому не нуждается в исследовании в высших порядках. Однако обратное неверно: если теория с квантовыми калибровочными полями свободна от аномалий в однопетлевом приближении, необходимо еще показать, что аномалии отсутствуют и в высших порядках. Кроме того, нет ничего противоречивого в теориях

ñаномалиями в глобальных симметриях, например, в киральных симметриях квантовой хромодинамики, и в этих случаях мы должны установить, влияют ли на эти аномалии поправки высших порядков.

Поскольку БРСТ преобразования действуют на поля нелиней-

но, то даже в отсутствие аномалий у нас нет оснований полагать, что эффективное действие G[ω,A] будет БРСТ инвариантным вне

рамок однопетлевого приближения. Как мы видели в разделе 17.1,

вне этих рамок следует рассматривать функционалы не только от калибровочных и духовых полей, но и от их антиполей. (Введение антиполей иногда важно и в однопетелевом приближении, но по другой причине: локальный функционал только от полей, удовлетворяющий условиям совместности Весса–Зумино и не выражаемый как БРСТ-оператор, действующий на локальный функционал только от полей, не будет кандидатом на аномалию, если его можно выразить как антискобку действия с локальным функционалом полей и антиполей, поскольку в этом случае аномалию можно сократить путем вычитания такого слагаемого из действия. Это соответствует изменению действия полей одновременно с изменением калибровочной симметрии, которой подчиняется это действие.)

Оказывается, что изучение аномалий с антиполями, вклю- ченными в действие, также может быть выражено на языке когомологий 20, 21. Анализ этой проблемы основан на принадлежащей Зинн-Жюстену версии (17.1.10) уравнения, которое Баталин и Вилковыский назвали мастер-уравнением. В отсутствие аномалий (Γ, Γ) = 0, так что в однопетлевом приближении (S, Γ1) = 0, ãäå S

— действие нулевого порядка, а Γ1 — однопетлевой вклад в кван-

товое эффективное действие. При наличии аномалий мы вместо этого имеем

ãäå G1 — некоторый функционал полей и антиполей, который должен имет гостовское число единица, т. к. S и Γ1 имеют гостов-

ское число нуль. Предполагается, что действие удовлетворяет классическому мастер-уравнению (S, S) = 0, так что антискобоч- ная операция в формуле (22.6.35) нильпотентна и поэтому (S, Γ1)

= 0. Однако, если для какого-то локального функционала F1 с гостовским числом нуль G1 = (S, F1), мы можем сократить аномалию в однопетлевом порядке, вычитая слагаемое F1 (рассматриваемое как квантовая поправка порядка $) из действия, а следовательно, из Γ1. (Конечно, G1 = (S, Γ1), но при наличии безмассовых частиц Γ1 не является локальным функционалом.)

Таким образом, кандидаты в аномалии — такие локальные функционалы G1 с духовым числом единица, которые замкнуты в том смысле, что они удовлетворяют

N−1

GN = 2bS, ΓN g + å bΓM, ΓN−M g ,

M=1

так что, используя тождество Якоби (15.9.21) (в котором для трех бозонных операторов берутся все знаки –) и приведенную выше формулу для (S, ΓM), находим

Это можно записать в более симметричной форме:

N−2 N−2 N−2

bS, GN g = − å å å δN,M1 + M2 + M3 eΓM1 , dΓM2 , ΓM3 ij . M1 =1 M2 =1 M3 =1

Так как пределы изменения M1, M2 è Ì3 одинаковы, можно записать двойную антискобку в этой сумме как сумму по 3! перестановкам по этим индексам, которая обращается в нуль в силу тождества Якоби (15.9.21). Так мы приходим к выводу, что (S, GN) = 0. Если, как и предполагалось, когомология пуста, отсюда следует, что существует локальный функционал FN, для которого GN = (S, FN). Поэтому, вычитая FN из действия, можно сократить аномалию во всех порядках N, что и требовалось доказать.

Используя чисто алгебраические методы, Барнич, Брандт и Энно 22 сумели показать, что для янг–миллсовских теорий (в четырех пространственно-временных измерениях), основанных на полупростых калибровочных группах, когомология антискобочной операции X ¬ (S, X) (при гостовском числе единица на пространстве локальных функционалов) состоит исключительно из линейной комбинации членов вида (22.6.20), по одному на каждую простую подгруппу калибровочной группы, с неизвестными коэффициентами.* Отсюда, без всяких ссылок на то, какие поля материи содержит

* Нет нужды конкретизировать представление калибровочной алгебры, в котором должен вычисляться след в формуле (22.6.20), поскольку этот след одинаков с точностью до постоянного коэффициента для всех представлений простой алгебры Ли, 19à и, в любом случае, постоянный коэффициент не определяется этой когомологической теоремой.

548 Глава 22. Аномалии

теория, следует, что в однопетлевом порядке, когда аномалия G1 автоматически удовлетворяет условию (S, G1) = 0, аномалия для полупростой калибровочной группы должна быть линейной ком-бинацией слагаемых вида (22.6.20) с единственным постоянным коэффициентом для каждой простой подгруппы, подлежащим определению путем детальных расчетов с учетом того, какие поля материи входят в теорию. Далее, мы видели в разделе 22.4, что существуют калибровочные группы, для которых след в формуле (22.6.20) автоматически обращается в нуль для любого набора фермионных полей. (Это полупростые калибровочные группы, не содержащие SU(n) множителей с n ³ 3.) В этих случаях

теорема, доказанная в 22, показывает, что когомология антискобочной операции X ¬ (S, X) при духовом числе единица равна нулю. Как мы видели, это означает, что в таких теориях нет аномалий в любом порядке теории возмущений.

Есть и другой аспект связи аномалии с когомологий антискобочной операции.23 При выводе тождества Славнова–Тейлора (16.4.6) мы предполагали, что мера ∏n,x dχn (x) инвариантна отно-

сительно рассматриваемого преобразования симметрии. В разделе 15.9 мы вывели уравнение Зинн-Жюстена из тождества Слав- нова–Тейлора для преобразования симметрии χn → χn + θδS / δχ‡n , поэтому этот вывод разрушается, если только ∏n,x dχn (x) íå èí-

вариантна относительно такого преобразования, или, иными словами, если только не выполнено DS = 0, ãäå D — оператор (15.9.34). Когда DS ¹ 0, все еще возможно сохранить уравнение Зинн-

Жюстена, добавив к S локальные функционалы, которые так нарушают классическое мастер-уравнение (S, S) = 0, чтобы сократить вклады, возникающие из-за неинвариантности меры. Оказывается, что условие такого сокращения — не что иное, как квантовое мастер-уравнение (15.9.35).

Чтобы построить действие S, удовлетворяющее этому уравнению, мы начинаем с действия нулевого порядка S0, удовлетворяющего классическому мастер-уравнению (S0, S0) = 0, и добавляем квантовые поправки. Пусть когомология операции X ¬ (S0, X) (при гостовском числе единица в пространстве локальных функционалов) пуста. Тогда доказательство, использованное выше, чтобы показать отсутствие в этом случае аномалий во всех порядках, можно использовать для того, чтобы показать, что к S0 можно

так добавить локальный функционал, что квантовое мастер-урав- нение будет удовлетворяться во всех порядках.

22.7.Аномалии и голдстоуновские бозоны

Âтой же работе 1971 г., в которой были выведены условия совместности, Весс и Зумино 18 заметили, что возможное наличие аномалий имеет важные следствия для взаимодействия голдстоу-

новских бозонов. Чтобы понять их аргументы, полезно применить развитые ′т Хофтом 16 в 1979 г. рассуждения о «подборе анома-

лий», которые уже использовались в разделе 22.5.

Рассмотрим нарушенную глобальную группу симметрии G, которая линейно реализуется в некоторой фундаментальной тео-

рии запертых безмассовых фермионов, например, в глобальной киральной SU(3) × SU(3) симметрии в квантовой хромодинамике с

тремя безмассовыми кварками. Введем в этой фундаментальной теории фиктивные калибровочные поля, так что глобальная симметрия G станет локальной, если не считать возможных аномалий.

Âобщем случае такая локальная симметрия будет нарушена аномалиями, т. к. в реальности симметрия чисто глобальна, и нет никаких причин, почему глобальная симметрия должна допускать расширение на свободную от аномалий локальную симметрию. Однако эти аномалии можно сократить путем добавления подходящих безмассовых фермионов-наблюдателей. До тех пор, пока введенные таким образом калибровочные константы достаточно малы, а фер- мионы-наблюдатели обладают только этими очень слабыми калибровочными взаимодействиями, динамика теории в результате таких модификаций изменится не сильно.

Рассмотрим теперь эффективную теорию поля, описывающую физику при низких энергиях в области, где запертые фермионы ненаблюдаемы. Единственными степенями свободы в такой теории будут безмассовые частицы — фиктивные калибровочные

бозоны и фермионы-наблюдатели, а также набор голдстоуновс-

ких бозонов с полями ξa, по одному на каждую независимую на-

рушенную симметрию. Так как исходная фундаментальная теория была выбрана калибровочно инвариантной и свободной от аномалий, это же должно быть верно и для эффективной теории поля. Однако фермионы-наблюдатели порождают аномалию, ко-

торая ранее сокращала аномалию, возникавшую за счет запертых безмассовых фермионов в исходной теории, поэтому для того, чтобы они сократили аномалию за счет голдстоуновских бозонов,

калибровочная эффективная теория поля голдстоуновских бозонов должна иметь аномалию для фиктивных локальных симметрий, равную той, которая порождаетсяя запертыми фермионами в исходной теории. Это означает, что вместо условия (22.6.2) эффективное действие Γ[ξ,A] фиктивных калибровочных

полей и голдстоуновских бозонов подчиняется условию

ãäå Gβ[x; Α] — функция аномалии исходной теории, в которой нет голдстоуновских бозонов, а Tβ — генератор калибровочной группы

G, действующей теперь как на калибровочные поля, так и на поля голдстоуновских бозонов. (Индекс β ó Tβ пробегает значения i, отме-

чающие полный набор независимых генераторов Yi ненарушенной подгруппы симметрии Н, и значения a, отмечающие набор независимых генераторов нарушенных симметрий Xa; каждому Xa соответствует одно поле xa голдстоуновского бозона.)

Конечно, условие (22.7.1) можно также использовать для изу- чения взаимодействий голдстоуновских бозонов с реальными слабосвязанными калибровочными полями. Например, если лежащая в основе теория включает электрослабые калибровочные бозоны, взаимодействующие с кварками, можно отождествить некоторые из полей, названных нами фиктивными, с калибровочными полями электрослабых взаимодействий. В таких случаях часть фермионовнаблюдателей также должна быть реальной для того, чтобы сократить порождаемые петлями запертых фермионов аномалии в калибровочных симметриях действительных слабосвязанных калибровочных полей (например так, как лептоны сокращают электрослабые аномалии, порождаемые кварками).

Обратимся к приложениям условия (22.7.1). Чтобы вычислить таким способом генератор калибровочной симметрии Tβ(x),

заметим, что под действием произвольного группового преобразования g = exp(−i z ζβ (x)Tβ (x)d4x) поля голдстоуновских бозонов ξa(x) преобразуются в поля ξ′a(x) согласно правилу (19.6.18), а калибровочные поля Aμ (x) преобразуются в калибровочно-пре-

образованные поля ′μ β , òàê ÷òî

Aβ (x)

Здесь T Aβ (x) действует на калибровочные поля и определяется

формулой (22.6.1)

— полностью антисимметричные структурные константы калибровочной группы G, а T βξ (x) действует на поля голдстоуновс-

ких бозонов и определяется инфинитезимальным пределом выражения (19.6.7), который (при условии экспоненциальной параметризации γ(ξ) = exp(iξaXa )) равен *

Tβ expbiξa (x)Xa g = −Tβξ (x) expbiξa (x)Xa g + expbiξa (x)Xa gθβi (x)Yi .

(22.7.4)

Здесть Tβ — матрицы, представляющие генераторы группы G в

любом представлении; эти генераторы разделяются на множества Xa è Yi, представляющие, соответственно, генераторы нарушенных и ненарушенных симметрий. Кроме того, θβi(x) — зависящие

от x функции, вид которых нас не будет занимать.

Относительно функций аномалии Gβ[x; A] мы будем предпола-

гать только выполнение условий совместности (22.6.6):

Tα (x)Gβ [y; A] − Tβ (y)Gα [x; A] = iCαβγ δ4 (x − y)Gγ [y; A] . (22.7.5)

* Знак «минус» в первом слагаемом в правой части выражения (22.7.4) и множитель –i в левой части выражения (33.7.3) возникают потому, что калибровочное преобразование (15.1.17) с параметром калибровки Λβ индуцируется экспонентой exp[−i z Λβ (x)Tβ (x)]. Это можно увидеть, потребовав, чтобы оператор Tβ(x) удовлетворял коммутационным соотношениям

(22.6.5).

Как отмечалось в предыдущем разделе, до тех пор, пока для генераторов подгруппы ненарушенной симметрии след Tr[Ti{Tj,Tk}] обращается в нуль (как это имеет место для некиральных генераторов SU(3) × SU(3)), всегда можно добавить к действию локальный

функционал, так, чтобы удовлетворить условию (22.7.6).

Если предположения (22.7.5) и (22.7.6) выполнены, всегда можно найти решение аномальных тождеств Славнова–Тейлора (22.7.1):

ãäå [A−tξ (x)]μ есть результат действия на Aμ ≡ TβAμβ калибровоч- ного преобразования (15.1.17) с Λa = -tξa è Λi = 0:

[A−tξ (x)]μ = expb−itXaξa (x)gAμ (x) expbitXaξa (x)g

− i∂μ expb−itXaξa (x)g expbitXaξa (x)g . (22.7.8)

В противоположность случаю, когда аномалии были у ненарушенных симметрий, формулы (22.7.7) и (22.7.8) определяют локальный (хотя и сложный) функционал калибровочных полей и полей голдстоуновских бозонов. Любое другое решение уравнения (22.7.1) будет отличаться от приведенного на функционал, свободный от аномалий.

Наметим доказательство 24 того, что действие (22.7.7) удовлетворяет уравнению (22.7.1). Вместо того, чтобы иметь дело с локальным генератором Tβ(x), удобно ввести произвольную функцию ηβ(x) и определить

Чтобы вычислить T[η]ξb(x), введем матрицу

η−tξ (x) ≡ expb−iXaξa (x)tg η(x) + T [η] expbiXaξa (x)tg ≡ [η−tξ (x)]β Tβ ,

(22.7.10)

ãäå η(x) ≡ ηβ(x)Tβ. Тогда