Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 2 (2001)

22.6. Условия совместности

Численный коэффициент, возникающий в аномалии для любой симметрии, зависит от того, какие частицы материи содержатся в теории. С другой стороны, форма аномалии определяется условиями совместности, которые впервые были получены Вессом и Зумино в 1971 г.

Даже в тех случаях, когда нас интересуют аномалии в токах глобальных симметрий, для вывода условий совместности удобно представить, что все токи симметрий связаны с калибровочными полями, которые в случае неабелевых симметрий связаны, кроме того, друг с другом, таким образом, что эти симметрии становятся локальными симметриями плотности лагранжиана. Всегда можно вернуться к глобальной симметрии, считая, что соответствующая калибровочная константа связи становится бесконечно малой. Если не принимать во внимание аномалий, то эффективное действие Γ[A] в фоновом калибровочном поле Aαμ(x) будет в таком формализ-

ме инвариантным относительно инфинитезимальных преобразова-

íèé Aβμ (y)→Aβμ (y) + izd4x εα (x)Tα (x)Aβμ (y) калибровочного поля, где

с целью воспроизведения преобразования (15.1.9) следует взять

Если учесть аномалии, то теперь Tα(x) уже не обращает Γ[A] â

нуль, а вместо этого

ãäå Gα[x; A] представляет эффект аномалии. Формулу (22.6.2) можно

также записать как формулу для ковариантной дивергенции среднего значения тока:

à Dμ — калибровочно инвариантная производная (15.1.10), взятая

в присоединенном представлении с (tβ)γα = -iCαβγ.

Условия совместности Весса–Зумино следуют из коммутационных соотношений *

Из формул (22.6.2) и (22.6.5) выводим общее условие совместности

Tα (x)Gβ [y; A] − Tβ (y)Gα [x; A] = iCαβγ δ4 (x − y)Gγ [y; A] . (22.6.6)

Эти условия были впервые выведены Вессом и Зумино для киральной SU(3) × SU(3) симметрии сильных взаимодействий —

случая, представляющего не только физический, но и исторический интерес. Здесь генераторы Tα(x), действующие на калибровоч-

ные поля, состоят из генераторов с положительной четностью Ya(x), определенных формулой (22.3.31), и генераторов Xa(x) с отрицательной четностью, определенных в (22.3.32) **. Они удовлетворяют коммутационным соотношениям

ãäå fabc — структурные константы SU(3). Так как SU(3) подгруппа, генерируемая операторами Ya, спонтанно не нарушена, удобно

* Множитель –i был включен в (22.6.1) для того, чтобы обеспечить стандартный множитель +i, сопровождающий структурную константу Cαβγ

в этом коммутационном соотношении. Напоминание: мы используем базис алгебр Ли, в котором структурные константы полностью антисимметрич- ны, и поэтому не должны различать верхние и нижние калибровочные индексы.

** Еще одно напоминание: как отмечалось в разделе 22.3, используемые здесь генераторы Xa è Ya в работе [8] назывались, соответственно, Ya è Xa.

рассматривать интегрирование по импульсам фермионов таким образом, чтобы сохранить инвариантность относительно генерируемых этими операторами калибровочных преобразований, так что

Ya (x)Γ = 0 ,

При этом остается ненулевая аномалия

Xa(x)Γ = Ga(x) .

Поэтому нетривиальные условия совместности принимают вид

Ya (x)Gb (y) = iδ4 (x − y)fabcGc (x)

è

Xa(x)Gb(y) − Xb(x)Ga(y) = 0 .

Первое из них просто утверждает, что Ga(x) преобразуется как октет относительно обычных SU(3) преобразований. Второе условие накладывает другие сильные ограничения на Ga(x). Читатель может проверить, что это условие удовлетворяется при подстановке формулы Бардина (22.3.34) для Ga(x). Мы не будем входить в детали, а вместо этого рассмотрим в качестве иллюстрации произвольную калибровочную теорию, в которой все токи рассматриваются симметричным образом. Для этого случая в разделе 22.3 была приведена формула (22.3.8) для аномалии, но в ней не были выведены члены более высокого, чем второй, порядка по калибровоч- ным полям. Здесь мы покажем, что эти члены диктуются условиями совместности (22.6.6).

Для этого, а также для возможных последующих обобщений, очень удобно переформулировать систему условий совместности Весса–Зумино как условие инвариантности относительно описанных в разделе 15.7 БРСТ преобразований. Введем гостовское поле ωα и определим нильпотентный БРСТ оператор для произвольной

калибровочной теории равенствами

понимая при этом, что s удовлетворяет дистрибутивному закону s(AB) = (sA)B ± A(sB), причем знак отрицателен, если А — фермионная величина типа ωα, и положителен во всех остальных случа- ях. Вместо функции аномалии Gα[x;A] будем работать с функциона-

ëîì

=z d4xz d4yωα (x)ωβ (y) − Cαβγ δ4 (x − y)Gγ [x; A]

+iTβ (y)Gα [x; A] .

Так как поля гостов антикоммутируют друг с другом, это можно записать в виде

sG[ω, A] = − 21 z d4xz d4 yωα (x)ωβ (y)

× iCαβγ δ4 (x − y)Gγ [x; A] + Tβ (y)Gα [x; A] − Tα (x)Gβ [y; A] .

Отсюда следует, что условие совместности (22.6.6) будет выполнено, если и только если для всех гостовских полей ωα(x) G[ω;A] ÿâ-

ляется БРСТ инвариантом:

Рассмотрим теперь возможность, что аномалия G[ω;A] ìî-

жет быть записана как БРСТ оператор s, лействующий на локальный функционал F[A]:

538 Глава 22. Аномалии

взятыми с точностью до слагаемых, которые могут быть записаны как действие s на некоторый взятый с точностью до производных локальный функционал с гостовским числом нуль. Это называется когомологией оператора s с гостовским числом единица в пространстве локальных функций, взятых с точностью до производных, и обозначается H1(s|d).

Для нахождения когомологии БРСТ оператора s и последующего вывода формы аномалии в произвольных калибровочных теориях были использованы алгебраические методы 19. В этом подходе неизвестными остаются только постоянные коэффициенты, зависящие от того, какие поля материи входят в теорию, и подлежащие расчету методами разделов 22.2 или 22.3. Так как мы уже вы- числили слагаемые в аномалии второго порядка по калибровочным полям для произвольных калибровочных теорий, включая постоянные коэффициенты, используем теперь условие совместности (22.6.12) для вычисления слагаемых высших порядков по полям.

В разделе 22.3 было показано, что когда все токи рассматриваются симметрично, слагаемые второго порядка по калибровоч- ным полям составляют одну треть от выражения (22.3.26). Это оператор массовой размерности четыре, и поскольку условие совместности Весса-Зумино (22.6.6) связывает только операторы оди-

наковой размерности, для того, чтобы удовлетворить этому условию, нужно добавить только такие члены более высокого порядка по калибровочному полю, которые имеют такую же размерность. Поэтому мы ищем решение условий совместности в (не обязательно единственном) виде

+ ic2Aκ ¶νAλ Aρ + ic3Aκ Aν¶λ Aρ - c4Aκ AνAλ Aρ } ,

(22.6.13) ãäå Aμ ¹ AαμTα, à ci — константы, которые нужно определить.

Чтобы значительно сберечь силы, удобно переписать это выражение на языке дифференциальных форм (см. раздел 8.8). Введем множество с-числовых параметров dxμ, которые считаются ан-

тикоммутирующими сами с собой и всеми фермионными полями, такими, как поля духов wα. Тогда dxμ антикоммутируют и с БРСТ

оператором s. Так как dxκdxνdxλdxρ — полностью антисимметрич-

ная величина, ее можно записать как

dxκ dxνdxλdxρ = εκνλρd4x, d4x = dx0dx1dx2dx3 . (22.6.14)

Введем также внешнюю производную

d ≡ dxμ ∂ ∂μ , x

Поскольку производные коммутируют, внешняя производная нильпотентна и антикоммутирует с s:

Наконец, вводим антикоммутирующие величины

В этих обозначениях выражение (22.6.13) принимает вид

Для того, чтобы удовлетворить условию совместности (22.6.10), заметим, что правила БРСТ преобразования (22.6.7) и (22.6.8) можно записать как

Далее, БРСТ преобразование последнего члена в формуле (22.6.17) имеет вид

540 Глава 22. Аномалии

sTr wA4 = Tr w2A4 - w{A, w}A3 + wA{A, w}A2

- wA2{A, w}A + wA3{A, w} + слагаемые с wdwA3

= Tr w2A4 + слагаемые с wdwA3 .

Других вкладов в sG, пропорциональных Tr[w2A4], нет, поэтому

условие совместности (22.6.10) может быть удовлетворено только, если с4 = 0. Прямое вычисление с учетом с4 = 0 приводит к выражению

+c1 wdAdwA - wdAAdw

+c2 wdwdAA - wAdAdw

+c3 wdwAdA - wAdwdA

-c1 wAdwA2 + wdwA3 + wdAA2w

-c2 wA2dwA - wAdwA2 + wAdAdw

-c3 -wA3dw + wA2dwA + wA2dAwt .

Нам не нужно предполагать, что подынтегральное выражение обращается в нуль. Достаточно считать, что оно есть производная некоторой локальной функции, так что интеграл от нее равен нулю. Это условие должно по-отдельности удовлетворяться для слагаемых, содержащих как две, так и одну производные, поскольку между слагаемыми с разным числом производных никакое сокращение невозможно.

Нетрудно проверить, что слагаемые в подынтегральном выражении, содержащие только одну производную, имеют вид dF, если принять с1 = –ñ2 = +ñ3 ¹ с. Оставшиеся слагаемые собираются

в полную производную, если взять с = –1/2, что подтверждает ранее упомянутый результат (22.3.38). Часто полученный результат записывают более компактно в виде

Аномалия не обязательно должна быть записана в форме (22.6.13), так что выражение (22.6.20) не является единственным результатом для G[ω,A]. Приведенные в следующем разделе результаты

показывают, что для любой подгруппы Н группы G, для которой Tr{ti{tj,tk}} = 0 для всех генераторов Н, в действие можно добавить локальные слагаемые, так, что аномалия Gi исчезает, когда ti — любой генератор Н.

Для построения решения условий совместности существует элегантный алгебраический прием, известный как уравнения спуска Сторы–Зумино. 18à Описание этого метода в пространстве-време- ни любого четного числа измерений ничуть не сложнее, чем в че- тырехмерном пространстве-времени, так что выберем размерность пространства-времени равным 2n. Для начала следует представить, что к 2n координатам пространства и времени добавлены еще по меньшей мере две переменные, так, чтобы придать смысл (2n + 2)-

òàê ÷òî ñëåä TrFn+1 замкнут:

dTrFn+1 = (n + 1)Tr{(dF)Fn } = Tr{[A, Fn+1 ]} = 0 . (22.6.23)

Если только расширенное пространство-время односвязно, то согласно теореме Пуанкаре форма Tr{Fn+1} точна, в том смысле, что существует (2n+1)-форма Ω2n+1 (известная как форма Черна–Сай-

монса), для которой