Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 2 (2001)

Все это касалось одного поколения стандартной модели. Для трех поколений имеется много больше свободных от аномалий симметрий. Один из классов симметрий, которые не нарушаются аномалиями или (насколько мы знаем) чем либо еще, состоит из разностей чисел лептонов разных ароматов. Наряду с B – L это будет важно при обсуждении в разделе 23.5 классификации порождаемых аномалиями процессов, не сохраняющих барионное и лептонное числа.

22.5. Безмассовые связанные состояния*

Иногда высказываются гипотезы, что кварки и лептоны могут быть связанными состояниями более фундаментальных частиц. Если бы такие гипотетические фундаментальные частицы имели асимптотически свободные калибровочные взаимодействия, аналогичные тем, которые есть в квантовой хромодинамике, то мы были бы вправе ожидать, что эти частицы находятся в плену, и это объясняло бы, почему они не наблюдаются. Однако такая картина приводит к трудностям. Какая-либо внутренняя структура кварков и лептонов никогда не наблюдалась, поэтому характерная энергети- ческая шкала Λ′ (аналогичная шкале Λ d 200 МэВ в квантовой хро-

модинамике) этих калибровочных взаимодействий должна быть очень большой. Например, как отмечалось в разделе 12.3, согласие между теорией и экспериментом для магнитного момента мюона указывает, что Λ′ > 3 ТэВ. Однако, если не считать голдстоу-

новских бозонов, мы в обычной ситуации могли бы ожидать, что массы связанных состояний в такой теории порядка Λ′ или, может быть, 2πΛ′, точно так же, как в квантовой хромодинамике масса протона порядка 2πΛÊÕÄ. Такие ожидания, конечно, нахо-

дятся в кричащем противоречии с тем фактом, что наблюдаемые массы кварков и лептонов много меньше Λ′. Можно задать вопрос

иначе: если лептоны и кварки являются связанными состояниями, то почему их размер (измеренный по значениям аномальных магнитных моментов и т. п.) настолько меньше их комптоновской длины волны?

*Этот раздел лежит несколько в стороне от основной линии изложения

èможет быть опущен при первом чтении.

Один из способов ответа на этот вопрос заключается в предположении, что, в противоположность квантовой хромодинамике, в такой теории имеются ненарушенные киральные симметрии, оставляющие кварки и лептоны безмассовыми, если не считать малых поправок от других взаимодействий. В общем случае, киральная симметрия — это любая симметрия, для которой безмассовые элементарные поля данной спиральности (включая комплексно сопряженные поля противоположной спиральности) реализуют комплексное представление. Действуя на вакуум произведениями элементарных полей, можно построить другие состояния с определенной спиральностью, которые также образуют комплексные представления этих симметрий. Если любое из указанных состояний представляет реальную составную частицу, то эти состояния должны быть безмассовыми, поскольку все спиральные компоненты состояния массивной частицы должны реализовывать то же представление любой симметрии, комму- тиру-ющей с вращениями, так что данная спиральная компонента частицы вместе с противоположной по знаку спиральной компонентой античастицы вместе реализуют вещественное представление. Конечно, может быть не так легко выяснить, какие из построенных таким образом состояний соответствуют реальным составным безмассовым частицам, но если это соответствие имеет место, безмассовость таких состояний естественна, поскольку для того, чтобы какие-то безмассовые частицы данной спиральности, принадлежащие комплексному представлению группы симметрии, при изменении какого-нибудь параметра теории стали массивными, их свойства симметрии должны измениться дискретным образом от комплексного к вещественному представлению.

Хотя подобные рассуждения показывают, что существуют теории, в которых естественно имеются безмассовые или очень легкие составные частицы, они не дают никаких указаний на то, когда это реально происходит. Вопрос очень интересен безотносительно к проблеме понимания кварков и лептонов как возможных составных частиц. ′Ò Õîôò 16 предложил мощный способ ответа на

этот вопрос, основанный на рассмотрении аномалий. Коротко, если фундаментальная теория обладает глобальными киральными симметриями (не нарушенными калибровочными аномалиями, а также спонтанно не нарушенными), состоящими из преобразований

калибровочные взаимодействия с генераторами Tα, Tβ è ò. ä., òàê

что эти калибровочные бозоны и незапертые фермионы не должны быть реальными частицами для того, чтобы придти к заклю- чению: безмассовые связанные состояния спина 1/2 воспроизводят аномалии запертых элементарных фермионов спина 1/2, из которых они построены.

В качестве простого примера предположим, что фундаментальная теория содержит n «ароматов» безмассовых фермионов, каждый из которых имеет как левую, так и правую компоненты в фундаментальном представлении N асимптотически свободной SU(N) калибровочной группы. Потребуем, чтобы N было нечетным, так, чтобы могли существовать неплененные SU(N)-нейтральные фермионные связанные состояния. Как и в квантовой хромодинамике, эта теория автоматически обладает глобальной SUL(n) ´ SUR(n) ´ UV(1) симметрией с левыми и правыми безмассовыми фермионами в представлениях (n, 1) и (1, n) соответственно, для которых UV(1) квантовое число имеет одинаковое значение, принимаемое за единицу. В фундаментальной теории для триплетов токов SU(n)L–SU(n)L–U(1)Y è SU(n)R–SU(n)R–U(1)Y есть неисчезающие константы аномалий, значения которых равны

DaL,bL,0 = DaR,bR,0 = Nδab,

(продолжение сноски со с. 525)

вые частицы не могут быть естественным образом безмассовыми. Предполагается, что элементарные калибровочные бозоны теории нейтральны по отношению к аномальным преобразованиям симметрии, поэтому они не могут давать вклад в аномалии. Составные частицы спина j ³ 1 исключа-

ются с помощью других рассуждений.16à Мы рассматриваем теорию, в которой аномальные токи можно построить как лоренцовские 4-вектор- ные функции элементарных полей спина 1/2. Чтобы давать вклад в аномалию, эти токи должны были бы иметь не равные нулю матричные элементы между любыми безмассовыми составными частицами спина j = 1, что нарушало бы лоренц-инвариантность. Безмассовые составные частицы спина j ³ 3/2 исключаются потому, что в такой теории можно построить

сохраняющийся тензор энергии–импульса, который должен был бы иметь не равные нулю матричные элементы между состояниями таких безмассовых частиц, и при j ³ 3/2 это также нарушало бы лоренц-инвариантность.

где a, b, и т. д. отмечают SU(n) генераторы λa, нормированные так,1 что в фундаментальном n-компонентном представлении tr{λaλb} = δab. При n > 2 есть также неисчезающие константы аномалий

äëÿ SU(n)L– SU(n)L– SU(n)L è SU(n)R–SU(n)R–SU(n)R токов, равные

DaL,bL,0 = DaR,bR,0 = Ntr[{λa , λb }λc ] .

Мы предполагаем здесь, что SUL(n) × SUR(n) × U(1) симметрия

спонтанно не нарушена. Из-за эффекта пленения единственные фермионные связанные состояния в физическом спектре будут содержаться в представлениях этой симметрии, которые можно образо1 1- âàòü èç mL è mR элементарных фермионов спиральности + и – , соответственно, а также`mL è`mR их античастиц, причем

где k — любое положительное или отрицательное нечетное число. Следовательно, единственными неприводимыми представлениями (r, s) группы SU(n)L × SU(n)R, с которыми мы столкнемся,

будут те, для которых r — прямое произведение mL фундаментальных представлений SU(n) и`mL им комплексно сопряженных, s — прямое произведение mR фундаментальных представлений SU(n) и`mR им комплексно сопряженных, а квантовое число U(1)V равно kN, где k, mL,`mL, mR è`mR подчиняются условию (22.5.2).

Пусть p(r,s,k) — кратность появления неприводимого представления (r,s) группы SU(n)L × SU(n)R ñ U(1)V квантовым1 числом kN

среди связанных состояний со спиральностью + . Тогда формула (22.5.1) принимает вид

ãäå tr(r) обозначает след в неприводимом представлении r группы SU(n), а ds — размерность представления s группы SU(N). Единственным другим ограничением на p(r,s,k) является то, что эти величины должны быть положительными целыми числами.

528 Глава 22. Аномалии

Для комплексно сопряженного представления (r, s,−k) любому представлению (r,s,k) группы SU(2)L × SU(2)R × U(1)V значения

следов tr(r)[{Ta,Tb}Tc] è ktr(r)[{Ta,Tb}] противоположны по знаку значе- ниям этих же следов в представлении (r,s,k), так что условия (22.5.3) и (22.5.4) ограничивают только значения

l(r, s, k) ≡ p(r, s, k) − p(r, s,−k).

Напомним, что в используемых здесь обозначениях такие следы берутся1 по всем безмассовым связанным состояниям спиральности + , включая1античастицы безмассовых связанных состояний спиральности – , которые преобразуются по комплексно сопряженным представлениям. Комплексно сопряженное представление к любому представлению SU(2)L × SU(2)R × U(1)V имеет значения tr(r)[{Ta,Tb}Tc] è ktr(r)[{Ta,Tb}], противоположные по знаку к значениям этих следов для са мого представления. Следовательно, мы можем просуммировать в (22.5.3) и (22.5.4) только по представлениям с U(1)V квантовым числом kN > 0:

где l(r,s,k) равно кратности появления неприводимого представления (r,s) группы SUL(n) × SUR(n) ñ U(1)V квантовым1 числом kN > 0

среди связанных состояний спиральности + минус кратность появления того1 же представления среди связанных состояний спиральности – . (Если четность не нарушается, то представление1 (r,s,k) должно возникать в связанных состояниях спиральности – столь же часто, как представление1 (s,r,k) —среди связанных состояний спиральности + , так что в этом случае l(r,s,k) = –l(s,r,k).

Прежде всего рассмотрим случай, когда число ароматов n = 2. Невозможно симметрично связать три 3-вектора, получив при этом SU(2) инвариант, поэтому обе части (22.5.5) автоматически обращаются в нуль, и остается только условие (22.5.6). Фундаментальное двухкомпонентное представление SU(2) содержится в произведении любого нечетного числа таких двухкомпонентных

(j) r — тривиальное представление; s — SU(n) тензор третьего ранга со смешанной симметрией.

При n > 2 формулы (22.5.5) и (22.5.6) принимают вид *

Не составляет труда удовлетворить условию (22.5.7), но заметим, что если n кратно трем, то для всех значений l каждое слагаемое в левой части формулы (22.5.8) также кратно трем, и удовлетворить этому условию невозможно. В частности, мы приходим к выводу, что SU(3)L × SU(3)R × U(1)V симметрия квантовой хро-

модинамики с тремя сортами безмассовых кварков должна быть спонтанно нарушена. Это результат не ограничивается представлениями (a)–(j) и применим к любому представлению SU(3)L × SU(3)R × U(1)V, которое можно построить из нейтральных по цве-

ту комбинаций кварков и антикварков.

* * *

Если не считать частных случаев, вроде калибровочной группы SU(3) с n = 3 элементарными фермионными SU(3) триплетами, условие подбора аномалий ′т Хофта не слишком ограничительно.

* В работе 16 ′т Хофт предположил, что четность спонтанно не нару-

шается, поэтому он привел эти формулы для случая, когда la = –lh, lb = – li, lc = –lj, ld = –lf è le = –lg. Как мы видим, основной вывод не зависит от сохранения четности.

К сожалению, в большинстве случаев все же остается бесконеч- ное число решений, хотя не существует решений, в которых числа l — целые и независящие от n.

Условие расцепления кажется вполне приемлемым, однако его использование ′т Хофтом было поставлено под вопрос 17 íà òîì

основании, что когда одна или более фермионные массы увеличи- ваются, обычно возникают фазовые переходы, изменяющие массовый спектр по сравнению с тем, который был бы при малых массах формионов. Существует более сильное условие, известное как жесткое массовое условие, которое требует, что когда один или более сорт элементарных фермионов приобретает любую массу, не должно быть ненарушенных киральных симметрий, препятствующих приобретению каких-то масс составным частицам, содержащим эти массивные элементарные фермионы 17. Если жесткое массовое условие правильно, оно приводит к ряду следствий, таких как описанные ′т Хофтом условия (22.5.9), которые ни при ка-

ких обстоятельствах не нарушаются фазовыми переходами. Легко построить нереалистичные модели, в которых жесткое

массовое условие нарушается, например, теории со спонтанно нарушенными некиральными симметриями, приводящими к безмассовым голдстоуновским бозонам, состоящим из массивных фермионов 17. (В этих моделях с ростом масс фермионов также возникают фазовые переходы, которые сводят на нет выводы ′т Хофта,

полученные из условия расцепления.) Однако, как показано в обсуждавшейся в разделе 19.9 работе Вафы и Виттена, в разных более реалистичных КХД-подобных теориях некиральные симметрии не могут спонтанно нарушаться, поэтому сказанное выше не следует рассматривать как серьезное возражение против жесткого массового условия.