Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 2 (2001)

которому данная симметрия позволяет иметь массу, не дает вклада в аномалию для этой симметрии. В рассматриваемом здесь общем классе теорий массовое слагаемое в плотности лагранжиана имело бы вид

ãäå σ — двухкомпонентный спинорный индекс представления (1, 0) группы Лоренца; εσσ′ — антисимметричная матрица с ε ,− = +1,

необходимая для лоренц-инвариантности, а М — симметричная массовая матрица *. Далее, для того, чтобы слагаемое Lìàññ не нарушало калибровочную инвариантность, массовая матрица должна удовлетворять условию

Индекс n можно заменить на индекс r, отмечающий различные неприводимые представления калибровочной группы, и индекс s, отмечающий компоненты внутри каждого неприводимого представления, так что

Тогда выражение (22.3.40) принимает вид

* В теориях с сохранением числа фермионов, где χ имеет вид (22.3.1), М

связана с обычной массовой матрицей m:

Если принять все фазы инверсий равными единице, то из инвариантности относительно пространственной инверсии, зарядового сопряжения и отражения времени вытекают дальнейшие следствия, что матрица m эрмитова, симметрична или действительна.

(Здесь нет суммирования по r или r¢.) Из леммы Шура 10 следует,

что всякий раз, когда матрицы пары неприводимых представлений связаны таким соотношением, та матрица, которая связывает их, либо равна нулю, либо несингулярна (см. раздел 5.5.). Таким образом, либо M(r,r′) = 0, ëèáî –Tα(r)T è Tα(r′) связаны преобразованием подобия (это же относится к Tβ è Tγ). В последе-

нем случае вклады в константу аномалии (22.3.12) от фермионов, принадлежащих отдельным неприводимым представлениям r и r¢, связаны соотношением

так что аномалия либо исчезает (при r = r¢), или вклады в нее от двух представлений сокращаются (при r ¹ r¢). Таким образом, на

аномалии в данном множестве симметрий не оказывает влияния возможное наличие фермионов с массами, разрешенными этими симметриями.

* * *

Вернемся к тонкому месту в использовании фейнмановских правил для расчета трехточечной функции (22.3.7). Используя стандартный фермионный пропагатор (22.3.9), мы фактически удвоили число фермионных полей; в дополнение к чисто левым полям c(x),

задаваемым формулами (22.3.1), пропагатор (22.3.9) включает правые моды (не связанные с полями (1 – g5)y теорий с сохранением

числа фермионов), не взаимодействующие с калибровочными полями. Если собрать эти невзаимодействующие правые поля и взаимодействующие левые поля в единый спинор Y, то плотность лагранжиана фермионов станет равной −ΨD/ Ψ, где теперь

Однопетлевой вакуумный функционал для полей спина 1, взаимодействующих с реальными или фиктивными калибровочными

полями, равен просто Det D/ . Нарушение калибровочной инвари-

антности в этом детерминанте можно приписать тому факту, что оператор (22.3.45) есть сумма двух слагаемых,

из которых только второй калибровочно инвариантен.

Есть и другой подход к аномалиям 10à, в рамках которого можно вычислить большой класс аномалий, связанных с координатными, а также калибровочными симметриями в пространствах любой размерности. Вместо того, чтобы иметь дело с оператором (22.3.45) с хорошо определенным детерминантом, из выражения (22.3.46) берется только второе слагаемое

Оно полностью калибровочно инвариантно, но имеет плохо определенный детерминант, поскольку такой оператор отображает пространство фермионных полей одной киральности не в себя, а

âпространство полей другой киральности. Можно попытаться определить калибровочно инвариантный вакуумный функционал

Det D/ L, записав дифференциальные уравнения для Det D/ L â ôàê-

торпространстве калибровочных полей по калибровочным преобразованиям, но тогда можно наткнуться на препятствия. Есть локальные препятствия, связанные с нарушениями необходимых условий интегрируемости, и они соответствуют уже обсуждавшимся аномалиям. Но даже когда таких локальных препятствий нет, в случаях, когда бесконечномерное факторпространство конфигураций калибровочного поля по калибровочным преобразованиям является неодносвязным, топологические препятствия могут помешать определению однозначных функционалов в этом пространстве. Подобная глобальная аномалия была найдена Виттеном 10b для калибровочной группы SU(2) (свободной от локальных аномалий) с нечетным числом безмассовых левых фермионов

âSU(2) дублетах.

22.4. Свободные от аномалий калибровочные теории

Мы вычислили влияние аномалий на сохранение произвольного тока Jαμ. В тех случаях, когда этот ток сам связан с калибро-

вочным полем, из калибровочной инвариантности вытекает, что аномалия должна отсутствовать. В предыдущем разделе мы видели, что аномалия пропорциональна полностью симметричному постоянному множителю Dαβγ, определенному формулой (22.3.12), так

что для калибровочных токов должно выполняться равенство 11

ãäå Òα — представление калибровочной алгебры на множестве всех

левых фермионных и антифермионных полей, а «tr» вновь означает сумму по всем этим сортам фермонов и антифермионов. Такое условие выполняется для любой калибровочной группы, если фермионные поля реализуют подходящее приводимое или неприводимое представление этой группы. Кроме того, существуют некоторые калибровочные группы, для которых условие (22.4.1) удовлетворяется для фермионов в любом представлении группы. 12 (В разделе 22.6 с помощью формализма Баталина–Вилковыского дано чисто алгебраическое доказательство того, что для таких калибровочных групп аномалии отсутствуют во всех порядках теории возмущений.)

Условие (22.4.1) очевидно удовлетворяется, если поля левых фермионов (и антифермионов) реализуют представление калибровочной алгебры, которое эквивалентно комплексно сопряженному представлению, т. е.

(iTα )* = S(iTα )S−1

или эквивалентно (поскольку всегда Tα выбирается эрмитовым)

(Подстановка формулы (22.4.2) в (22.3.12) дает Dαβγ = –Dαβγ.) Такое

представление может быть либо действительным, и в этом слу- чае можно с помощью преобразования подобия T′α =RTαR–1 преоб-

разовать представление к виду, в котором T¢α мнимы и антисим-

метричны, либо псевдодействительным, и в таком случае это невозможно. (Например, трехмерное неприводимое представление SU(2) действительно, а двумерное представление псевдодействительно.) Аномалии отсутствуют в случае калибровочных алгебр, имеющих только действительные или псевдодействительные представления, а именно, для алгебр 13 SO(2n+1) (включая SU(2) ¹

SO(3)), SO(4n) ïðè n ³ 2, USp(2n) ïðè n ³ 3, G2, F4, E7, E8 è âñåõ

их прямых сумм. Несколько других алгебр также имеют только такие представления, для которых Dαβγ обращается в нуль, даже

несмотря на то, что некоторые из этих представлений не относятся к вещественным или псевдовещественным. 12 Сюда относятся SO(4n+2) (за исключением SO(2) ¹ U(1) è SO(6) ¹ SU(4)) è Å6 è

их прямые суммы друг с другом и перечисленными выше алгебрами. Таким образом, аномалии возможны только для калибровочных алгебр, включающих в прямые суммы алгебры SU(n) (при n ³ 3) или U(1). Так случилось, что именно эти алгебры являются

одними из самых важных калибровочных алгебр в современной физике. Стандартная модель основана на калибровочной группе SU(3) ´ SU(2) ´ U(1), поэтому для того, чтобы сделать теорию

свободной от аномалий, нужно рассчитывать на сокращения между кварками и лептонами.

В табл. 22.1 дана классификация левых спинорных полей первого поколения стандартной модели по тем представлениям, которые они реализуют в цветовой SU(3) группе, электрослабой SU(2) группе и по значению квантового числа группы U(1)

y / g′ = t3 / g − q / e ..

Теперь мы можем проверить, обращается ли в нуль Dαβγ, когда Tα, Tβ è Tγ принимают значения всех генераторов группы SU(3) ´ SU(2) ´ U(1). Следует рассматривать только те комбинации генераторов, для которых произведение Tα, Tβ è Tγ нейтрально относительно преобразований группы SU(3) ´ SU(2) ´ U(1), поскольку для всех остальных комбинаций Dαβγ с очевидностью обращается в нуль.

Инварианты можно построить из SU(3) генераторов, количество которых равно 0, 2 или 3 (поскольку и 8 ´ 8, è 8 ´ 8 ´ 8 содержат

синглеты), из 0, 2 или 3 SU(2) генераторов и любого числа U(1) генераторов, так что остается лишь проверить следующие варианты.

Таблица 22.1

Левые фермионные и антифермионные поля первого поколения в стандартной модели

Фермионы SU(3) SU(2) U(1)[y/g]

SU(3)–SU(3)–SU(3). В этом случае Dαβγ обращается в нуль, поскольку левые фермионы реализуют представление 3 + 3 +`3 +`3 +

1 + 1 + 1 группы SU(3), которое вещественно.

SU(3)–SU(3)–U(1). В этом случае аномалия пропорциональна величине

å y = − 1 − 1 + 2 − 1 = 0 .

3,3 g′ 6 6 3 3

SU(2)–SU(2)–SU(2). Здесь нет аномалии, поскольку SU(2) имеет только вещественные или псевдовещественные представления.

SU(2)–SU(2)–U(1). В этом случае аномалия пропорциональна величине

åy = 3a + d = 0;

дублеты

U(1)–U(1)–U(1):

å y3 = 6a3 + 3b3 + 3c3 + 2d3 + e3 = 0 ;

Гравитон–гравитон–U(1):

å y = 6a + 3b + 3c + 2d + e = 0 .

Не считая возможности взаимозамены uR è dR, эти уравнения имеют только два решения, которые мы назовем U(1) и U(1)¢:

U(1): b/a = –4, c/a = 2, d/a = –3, e/a = 6;

U(1)¢: b = –ñ, a = d = e = 0.

Более того, эти решения взаимоисключающие — мы не можем предположить, что обе симметрии U(1) и U(1)¢ являются локальными, поскольку тогда возникнет U(1)¢–U(1)¢–U(1) аномалия, пропорциональная (–4) + (+2) ¹ 0, è U(1)¢–U(1)–U(1) аномалия, пропорциональная (–4)2 – (+2)2 ¹ 0. Генератор U(1) — это гиперзаряд

стандартной электрослабой теории (общий постоянный множитель включен в определение константы g¢), в то время как симметрия U(1)¢ не соответствует ничему наблюдаемому в природе.

Это небольшое вычисление дает разумное объяснение выбору зна- чений y или, эквивалентно, электрических зарядов в стандарт-

ной модели и показывает, что если потребовать, чтобы все калибровочные аномалии сокращались внутри единственного поколения кварков и лептонов, то невозможно в дополнение к слабому гиперзаряду связать калибровочный бозон с любым другим U(1) квантовым числом.

С другой стороны, хотя разумно предположить, что SU(3) ´ SU(2) ´ U(1) калибровочные бозоны стандартной модели взаимодей-

ствуют только с известными кварками и лептонами (что одновременно объясняет, почему не открыты другие фермионы, и сохраняет красивое сокращение аномалий в стандартной модели), могут существовать и другие U(1)¢ калибровочные бозоны, взаимодействующие с другими, еще не обнаруженными (SU(3)´SU(2)´ U(1))-

нейтральными фермионами, а также с известными кварками и лептонами. Обозначим U(1)′ квантовые числа ψ′ мультиплетов (uL,

dL), u*R, d*R, (νL, eL), e*R соответственно как a′, b′, c′, d′, e′. Так как мы ничего не знаем о возможных (SU(3) × SU(2) × U(1))-íåéò-

ральных фермионах, требование сокращения U(1)′–U(1)′–U(1)′ и гравитон–гравитон–U(1)′ аномалий не приводит к каким-то ограничениям на a′, b′, c′, d′, e′. Остающиеся условия сокращения

аномалий имеют следующий вид.

SU(3)–SU(3)–U(1)′:

å y′ = 2a′ + b′ + c′ = 0 ;

3,3

SU(2)–SU(2)–U(1)′:

åy′ = 3a′ + d′ = 0;

дублеты

U(1)–U(1)–U(1)′:

å y2y′ = 6a′ + 3(−4)2 b′ + 3(2)2 c′ + 2(−3)2 d′ + (6)2 e′ = 0 ;

U(1)–U(1)′–U(1)′:

å yy′2 =6a′2 + 3(−4)b′2 + 3(2)c′2 + 2(−3)d′2 + (6)e′2 = 0 .

Общее решение для ψ′ есть линейная комбинация ψ è êâàí-

тового числа B – L (где В и L — обычные барионное и лептонное числа), принимающего значения 1/3, –1/3, –1/3, –1 и +1 для мультиплетов (uL, dL), u*R, d*R, (νL, eL), e*R, соответственно. Если B – L

является локальной симметрией с константой, которая не на много порядков величины меньше, чем е, то она должна быть спонтанно нарушена, поскольку обычные тела имеют макроскопические значения B – L. Чтобы избежать противоречия с наблюдениями нейтральных токов, характерная шкала F нарушения такой симметрии должна быть больше, чем у электрослабой симметрии, но не обязательно на много порядков. Таким образом, нейтральный векторный бозон, несколько тяжелее Z0 и связанный с B – L, является, по-видимому, наиболее приемлемым дополнением к стандартной модели.