T / LinAlg / Гантмахер Ф.Р. - Теория матриц

Ф.Р.Гантмахер

ТЕОРИЯ МАТРИЦ

Содержание

Предисловие автора к первому изданию

7

Предисловие редактора ко второму издания

10

ЧАСТЬ I

ОСНОВЫ ТЕОРИИ

Глава I. Матрицы и действия над ними

13

§ 1. Матрицы. Основные обозначения

13

§ 2. Сложение и умножение прямоугольных матриц

15

§ 3. Квадратные матрицы

24

§ 4. Ассоциированные матрицы. Миноры обратной матрицы

30

§ 5. Обращение прямоугольных матриц. Псевдообратная матрица

32

Глава II. Алгоритм Гаусса и некоторые его применения

41

§ 1. Метод исключения Гаусса

41

§ 2. Механическая интерпретация алгоритма Гаусса

45

§ 3. Детерминантное тождество Сильвестра

47

§ 4. Разложение квадратной матрицы на треугольные множители

49

§ 5. Разбиение матрицы на блоки. Техника оперирования с блочными

55

матрицами. Обобщенный алгоритм Гаусса

Глава III. Линейные операторы в n-мерном векторном пространстве

65

§ 1. Векторное пространство

65

§ 2. Линейный оператор, отображающий n-мерное пространство в m-

70

мерное

§ 3. Сложение и умножение линейных операторов

71

§ 4. Преобразование координат

73

§ 5. Эквивалентные матрицы. Ранг оператора. Неравенства Сильвестра

74

§ 6. Линейные операторы, отображающие n-мерное пространство само в

79

себя

§ 7. Характеристические числа и собственные векторы линейного

82

оператора

§ 8. Линейные операторы простой структуры

84

Глава IV. Характеристический и минимальный многочлены матрицы

87

§ 1. Сложение и умножение матричных многочленов

87

§ 2. Правое и левое деление матричных многочленов. Обобщенная теорема

89

Безу

§ 3. Характеристический многочлен матрицы. Присоединенная матрица

92

§ 4. Метод Д. К. Фаддеева одновременного вычисления коэффициентов

96

характеристического многочлена и присоединенной матрицы

§ 5. Минимальный многочлен матрицы

98

Глава V. Функции от матрицы

103

§ 1. Определение функции от матрицы

103

§ 2. Интерполяционный многочлен Лагранжа — Сильвестра

108

§ 3. Другие формы определения f(А). Компоненты матрицы A

111

§ 4. Представление функций от матриц рядами

115

§ 5. Некоторые свойства функций от матриц

119

§ 6. Применение функций от матрицы к интегрированию системы

124

линейных дифференциальных уравнений с постоянными

коэффициентами

§ 7. Устойчивость движения в случае линейной системы

130

Глава VI. Эквивалентные преобразования многочленных матриц.

135

Аналитическая теория элементарных делителей

§ 1. Элементарные преобразования многочленной матрицы

135

§ 2. Канонический вид λ-матрицы

139

§ 3. Инвариантные многочлены и элементарные делители многочленной

143

матрицы

§ 4. Эквивалентность линейных двучленов

148

§ 5. Критерий подобия матриц

149

§ 6. Нормальные формы матрицы

151

§ 7. Элементарные делители матрицы f(А)

155

§ 8. Общий метод построения преобразующей матрицы

159

§ 9. Второй метод построения преобразующей матрицы

162

Глава VII. Структура линейного оператора в n-мерном пространстве

171

(геометрическая теория элементарных делителей)

§ 1. Минимальный многочлен вектора пространства (относительно

171

заданного линейного оператора)

§ 2. Расщепление на инвариантные подпространства с взаимно простыми

173

минимальными многочленами

§ 3. Сравнение. Надпространство

175

§ 4. Расщепление пространства на циклические инвариантные

177

подпространства

§ 5. Нормальная форма матрицы

182

§ 6. Инвариантные многочлены. Элементарные делители

184

§ 7. Нормальная жорданова форма матрицы

188

§ 8. Метод акад. А. Н. Крылова преобразования векового уравнения

190

Глава VIII. Матричные уравнения

199

§ 1. Уравнение AX = XB

199

§ 2. Частный случай: А = В. Перестановочные матрицы

203

§ 3. Уравнение AX — XB = С

207

§ 4. Скалярное уравнение f(X)=0

207

§ 5. Матричное многочленное уравнение

209

§ 6. Извлечение корня m-й степени из неособенной матрицы

212

§ 7. Извлечение корня m-й степени из особенной матрицы

215

§ 8. Логарифм матрицы

219

Глава IX. Линейные операторы в унитарном пространстве

222

§ 1. Общие соображения

222

§ 2. Метризация пространства

222

§ 3. Критерий Грама линейной зависимости векторов

225

§ 4. Ортогональное проектирование

227

§ 5. Геометрический смысл определителя Грама и некоторые неравенства

229

§ 6. Ортогонализация ряда векторов

233

§ 7. Ортoнормированный базис

237

§ 8. Сопряженный оператор

239

§ 9. Нормальные операторы в унитарном пространстве

243

§ 10. Спектр нормальных, эрмитовых, унитарных операторов

245

§ 11. Неотрицательные и положительно определенные эрмитовы

248

операторы

§ 12. Полярное разложение линейного оператора в унитарном

249

пространстве. Формулы Кэли

§ 13. Линейные операторы в евклидовом пространстве

254

§ 14. Полярное разложение оператора и формулы Кэли в евклидовом

260

пространстве

§ 15. Коммутирующие нормальные операторы

263

§ 16. Псевдообратный оператор

265

Глава X. Квадратичные и эрмитовы формы

267

§ 1. Преобразование переменных в квадратичной форме

267

§ 2. Приведение квадратичной формы к сумме квадратов. Закон инерции

269

§ 3. Метод Лагранжа приведения квадратичной формы к сумме квадратов.

271

Формула Якоби

§ 4. Положительные квадратичные формы

276

§ 5. Приведение квадратичной формы к главным осям

279

§ 6. Пучок квадратичных форм

281

§ 7. Экстремальные свойства характеристических чисел регулярного пучка

286

форм

§ 8. Малые колебания системы с n степенями свободы

293

§ 9. Эрмитовы формы

297

§ 10. Ганкелевы формы

301

ЧАСТЬ II

СПЕЦИАЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ И ПРИЛОЖЕНИЯ

Глава XI. Комплексные симметрические, кососимметрические и

313

ортогональные матрицы

§ 1. Некоторые формулы для комплексных ортогональных и унитарных

313

матриц

§ 2. Полярное разложение комплексной матрицы

317

§ 3. Нормальная форма комплексной симметрической матрицы

319

§ 4. Нормальная форма комплексной кососимметрической матрицы

322

§ 5. Нормальная форма комплексной ортогональной матрицы

327

Глава XII. Сингулярные пучки матриц

331

§ 1. Введение

331

§ 2. Регулярный пучок матриц

332

§ 3. Сингулярные пучки. Теорема о приведении

335

§ 4. Каноническая форма сингулярного пучка матриц

340

§ 5. Минимальные индексы пучка. Критерий строгой эквивалентности

342

пучков

§ 6. Сингулярные пучки квадратичных форм

345

§ 7. Приложения к дифференциальным уравнениям

348

Глава XIII. Матрицы с неотрицательными элементами

352

§ 1. Общие свойства

352

§ 2. Спектральные свойства неразложимых неотрицательных матриц

354

§ 3. Разложимые матрицы

365

§ 4. Нормальная форма разложимой матрицы

372

§ 5. Примитивные и импримитивные матрицы

377

§ 6. Стохастические матрицы

381

§ 7. Предельные вероятности для однородной цепи Маркова с конечным

385

числом состояний

§ 8. Вполне неотрицательные матрицы

394

§ 9. Осцилляционные матрицы

398

Глава XIV. Различные критерии регулярности и локализации

406

собственных значений

§ 1. Критерий регулярности Адамара и его обобщения

406

§ 2. Норма матрицы

409

§ 3. Распространение критерия Адамара на блочные матрицы

412

§ 4. Критерий регулярности Фидлера

414

§ 5. Круги Гершгорина и другие области локализации

415

Глава XV. Приложения теории матриц к исследованию систем

419

линейных дифференциальных уравнений

§ 1. Системы линейных дифференциальных уравнений с переменными

419

коэффициентами. Общие понятия

§ 2. Преобразование Ляпунова

422

§ 3. Приводимые системы

423

§ 4. Каноническая форма приводимой системы. Теорема Еругина

426

§ 5. Матрицант

429

§ 6. Мультипликативный интеграл. Инфинитезимальное исчисление

433

Вольтерра

§ 7. Дифференциальные системы в комплексной области. Общие свойства

437

§ 8. Мультипликативный интеграл в комплексной области

439

§ 9. Изолированная особая точка

443

§ 10. Регулярная особая точка

448

§ 11. Приводимые аналитические системы

461

§ 12. Аналитические функции от многих матриц и их применение к

465

исследованию дифференциальных систем. Работы И. А. Лаппо-

Данилевского

Глава XVI. Проблема Рауса — Гурвица и смежные вопросы

468

§ 1. Введение

468

§ 2. Индексы Коши

469

§ 3. Алгоритмы Рауса

472

§ 4. Особые случаи. Примеры

476

§ 5. Теорема Ляпунова

479

§ 6. Теорема Рауса — Гурвица

483

§ 7. Формула Орландо

488

§ 8. Особые случаи в теореме Рауса — Гурвица

490

§ 9. Метод квадратичных форм. Определение числа различных

493

вещественных корней многочлена

§ 10. Бесконечные ганкелевы матрицы конечного ранга

495

§ 11. Определение индекса произвольной рациональной дроби через

498

коэффициенты числителя и знаменателя

§ 12. Второе доказательство теоремы Рауса — Гурвица

504

§ 13. Некоторые дополнения к теореме Рауса — Гурвица. Критерий

508

устойчивости Льенара и Шипара

§ 14. Некоторые свойства многочлена Гурвица. Теорема Стильтьеса.

512

Представление многочленов Гурвица при помощи непрерывных

дробей

§ 15. Область устойчивости. Параметры Маркова

518

§ 16. Связь с проблемой моментов

521

§ 17. Связь между определителями Гурвица и определителями Маркова

525

§ 18. Теоремы Маркова и Чебышева

526

§ 19. Обобщенная задача Рауса — Гурвица

533

Добавление. Неравенства для собственных и сингулярных чисел

535

(В.Б.Лидский)

Литература

560

Предметный указатель

572

Предметный указатель

Алгоритм Гаусса 41

- аннулирующий многочлен 171

- - обобщенный 55

- координаты 67

- - механическая интерпретация 45

- минимальный многочлен 172

- Рауса 472

- норма 409

Базис векторного пространства 66

- относительный аннулирующий

- ортонормированный 224

многочлен 177

Вектор 65

- - минимальный многочлен 177

- главный пучка квадратичных форм

Векторы линейно зависимые и

281

линейно независимые см.

- - эрмитовых форм 301

Зависимость линейных

- собственный линейного оператора

векторов

82

Вероятность абсолютная 390

- - матрицы 82

- - предельная 391

- - средняя 393

- подобия матриц 150

- переходная 381

- Рауса 475

- - предельная 386

- Рауса — Гурвица 486

- - средняя 393

- Фидлера 416

Вычитание матриц 16

- эквивалентности λ-матриц 144

Делитель элементарный квадратной

- - строгой регулярных пучков

матрицы 147

матриц 332

- - λ-матрицы 145

- - сингулярных пучков матриц 344

Дефект линейного оператора 77

Линейный оператор см. Оператор

- матрицы 77

линейный

Дискриминант квадратичной формы

Логарифм матрицы 219

267

λ-матрица 135

- эрмитовой формы 298

- инвариантные многочлены 143

Дополнение ортогональное 241

- ранг 143

Жорданова форма см. Форма

- элементарные делители 145

нормальная квадратной

- - операции (левые и правые) 135,

матрицы жорданова (верхняя)

136

Зависимость линейная векторов 66

Матрица 13

- - критерий Грама 225

- ассоциированная p-я 30

Задача Рауса — Гурвица обобщенная

- бесконечная вполне положительная

533

524

Закон инерции квадратичных форм

- - ганкелева 495

269

- блочная 55

- - эрмитовых форм 299

- Вандермонда обобщенная 395

Индекс импримитивности 377

- вполне неотрицательная 395

- Коши 469

- - положительная 395

Интеграл мультипликативный 434

- ганкелева 301

- - в комплексной области 439

- главная пучка квадратичных форм

- от матрицы 127

282

Компонента линейного оператора

- Гурвица 483

кососимметрическая 255

- двояко стохастическая 536

- - симметрическая 255

- диагональная 14

Конгруэнтность пучков

- единичная 24

симметрических матриц 345

- жорданова (верхняя и нижняя) 153

- симметрических матриц 269

- пдемпотептная 208

Координаты вектора 67

- импримитивная 377

Корень из матрицы 212

- цнволютивная 81

Критерий Адамара 406

- интегральная 418

- - для блочных матриц 413

- квадратная 13

- Грама линейной зависимости

- - аннулирующий многочлен 98

векторов 225

- - дефект 77

- Льенара и Шипара 508

- - естественная нормальная форма

- Ляпунова 425

(первая и вторая) 152

- - жорданова нормальная форма

- присоединенная 92

(верхняя и нижняя) 153, 154, 189, 190

- - приведенная 99

- - инвариантные многочлены 147

- проекционная 81

- - компоненты 111

- простой структуры 85

- - минимальный многочлен 98

- прямоугольная 13

- - перестановка рядов 352

- псевдообратная 32

- - порядок 13

- разложимая 352

- - разложение на треугольные

- - нормальная форма 372

множители 49

- Рауса 484

- - след 96

- симметрическая 29

- - функция от нее 103

- сопряженная 29

- - характеристический многочлен 92

- столбцовая 14

- - элементарные делители 145

- стохастическая 381

- квазидиагональная 56

- строчная 14

- квазитроугольная (верхняя и

- транспонированная 29

нижняя) 56

- треугольная (верхняя и нижняя) 28

- комплексная кососимметрическая

- унитарная 238, 244

313

- фундаментальная 86

- - нормальная форма 322

- характеристическая 92

- - неособенная, полярное разложение

- эрмитова 244

317

- якобиева 395

- - ортогональная 313

- интеграл 127

- - нормальная форма 327

- корень из нее 212

- - симметрическая 313

- логарифм 219

- - нормальная форма 319

- минор 14

- кососимметрическая 29

- многочлен от нее 24

- Ляпунова 422

- производная 124

- многочленная см. λ-матрица

- ранг 14

- - квадратная 87

- степень 24

- неособенная 26

- функция от нее см. Функция от

- неотрицательная 352

матрицы

- неразложимая 352

Матрицант 430

- - индекс импримитивности 377

Матрицы перестановочные

- нильпотентная 208

(коммутирующие) 18

- нормальная 244

- подобные 80

- обратная 26

- вычитание 16

- ограниченная 132

- сложение 15

- ортогональная 238

- умножение 17

- особенная 26

- - на число 16

- осцилляционная 398

Метод Гревилля нахождения

Матрица положительная 352

псевдообратной матрицы 39

- преобразующая 150

- Крылова 190

- примитивная 377

- Лагранжа приведения к сумме

Неравенство Адамара 230

квадратов квадратичной формы

- - обобщенное 231

271

- Бесселя 235

- - эрмитовой формы 299

- Буняковского 232

- построения преобразующей

- детерминантное для вполне

матрицы 159

неотрицательных матриц 396

- Фаддеева 96

Норма вектора 409

- Якоби приведения к сумме

- линейного оператора 410

квадратов

- матрицы 410

квадратичной формы 272

Оператор линейный 70

- - эрмитовой формы 299

- - в R 79

Метрика 223

- - вещественный 256

- евклидова 225

- - инволютивный 81

- эрмитова 223

- - кососимметрический 255

- - неотрицательная 223

- - неособенный 81

- - положительно определенная 223

- - нормальный в евклидовом

Минор 14

пространстве 254

- главный 14

- - в унитарном пространстве 242

- почти главный 398

- - ортогональный 255

Многочлен аннулирующий вектора

- - второго рода 255

171

- - первого рода 255

- - матрицы 98

- - проекционный 81

- - пространства 172

- - простой структуры 84

Многочлен инвариантный

- - псевдообратный 265

квадратной матрицы 145

- - симметрический 254

- - λ-матрицы 143

- - неотрицательный 254

- - интерполяционный Лагранжа—

- - положительно определенный 254

Сильвестра 104

- - сопряженный 240

- матричный 87

- - транспонированный 254

- - регулярный 87

- - унитарный 243

- - левое и правое деление 87

- - эрмитов 243

- минимальный вектора 172

- - неотрицательный 248

- - относительный 177

- - положительно определенный 248

- - матрицы 98

- - дефект 77

- - пространства 172

- - инвариантное подпространство

- от матрицы 24

173

- характеристический 82, 92

- - кососимметрическая и

Модуль линейного оператора левый

симметрическая компоненты

249

255

- - правый 249

- - левый и правый модули 249

Неравенства Вейля 251, 542

- - полярное разложение в

- Неймана — Хорна 539

евклидовом пространстве 260

- Сильвестра 78

- - полярное разложение в унитарном

Пространство 65

пространстве 249

- бесконечномерное 66

Оператор линейный, ранг 77

- векторное см. Пространство

- - собственные векторы 82

евклидово 225

- - характеристические

- конечномерное 66

(собственные)числа 82

- унитарное 223

Операторы линейные, сложение 71

- - ортоиормпрованный базис 224

- - умножение 71

- аннулирующий многочлен 171

- - умножение на число 73

- базис 66

Операция элементарная 135

- метрика см. Метрика

- - Левая 136

- минимальный многочлен 172

- - правая 136

Псевдообратная матрица 32

Определитель Грама 226

Пучок квадратичных форм 281

- - геометрический смысл 229

- - регулярный 281

- Гурвипа 485

- - главная матрица 282

- Маркова 521, 525

- - главный вектор 281

Ортогонализация ряда векторов 233

- - характеристические числа 281

Параметры Маркова 518

- - характеристическое уравнение 281

Перестановка рядов в квадратной

- матриц 331

матрице 352

- - регулярный 332

Подпространство 68

- - каноническая форма 334

- инвариантное 173

- - сингулярный 332

- координатное 353

- - каноническая форма 340

- циклическое 178

Пучок матриц сингулярный, ранг 335

Порядок матрицы 13

- эрмитовых форм 301

Предел последовательности матриц

- - регулярный 301

49

- - главный вектор 301

Преобразование координат 70

- - характеристические числа 301

- - ортогональное 238

- - характеристическое уравнение 301

- - унитарное 238

Равенство Парсеваля 237

- линейное 15

Разложение квадратной матрицы на

- Ляпунова 428

треугольные множители 49

Приведение квадратичной формы к

- полярное комплексной матрицы 317

главным осям 279

- - линейного оператора в евклидовом

- - к сумме квадратов 271

пространстве 260

- эрмитовой формы к главным осям

- - в унитарном пространстве 249

300

Ранг квадратичной формы 268

Проблема Рауса — Гурвица 468

- линейного оператора 77

Проектирование ортогональное 227

- матрицы 14

Проекционная матрица 81

- - многочленной 143

Проекционный оператор 81

- сингулярного пучка матриц 335

Производная мультипликативная 434

- эрмитовой формы 298

- от матрицы 124

Ряд векторов ортогональный 233

- - полный 236

- Фробениуса о ганкелевых формах

- - ортогонализация 233

305

Сигнатура квадратичной формы 270

- - о неотрицательных матрицах 355

- эрмитовой формы 299

- Чебышева — Маркова 531

Система линейных

- Штурма 471

дифференциальных

- Шура 242

уравнений с переменными

Тождество Сильвестра

коэффициентами 419

детерминантное 47

- - приводимая 423

Умножение линейных операторов 71

- - аналитическая 461

- матриц 17

- - интегральная матрица 419

- на число линейного оператора 73

- - преобразование Ляпунова 422

- - матрицы 16

- - с постоянными коэффициентами

Уравнение матричное многочленное

124

209

Системы векторов

- характеристическое (вековое)

биортонормированные 241

матрицы 82

Скелетное разложение матрицы 32

- - пучка квадратичных форм 281

След матрицы 96

- - эрмитовых форм 301

Сложение линейных операторов 71

Форма билинейная 267

- матриц 15

- квадратичная 225, 267

Собственное число см. Число

- - вещественная 267

собственное Степень матрицы

- - ганкелева 301

24

- - неотрицательная 276

Схема Рауса 474

- - неположительная 276

Сходимость в среднем 236

- - отрицательно определенная 276

Теорема Безу обобщенная 92

- - положительно определенная 225,

- Гамильтона — Кэли 93

276

- Гершгорина 415

- - сингулярная 267

- Еругина 426

- - дискриминант 267

- Кронекера об ассоциированных

- - закон инерции 269

матрицах 86

- - приведение к главным осям 279

- Ляпунова 479

- - приведение к сумме квадратов 271

- Маркова 528

- - ранг 268

- Неймана — Хорна 541

- - сигнатура 270

- Ольги Тауски 409

- - формула Якоби 272

- о расщеплении вторая 179

- нормальная квадратной матрицы

- - первая 173

естественная первая 152

Теорема о расщеплении третья 181

- - вторая 152

- Перрона 354

- - жорданова верхняя 153, 189

- Рауса 475

- - нижняя 154, 190

- Рауса — Гурвица 483

- - комплексной кососимметрической

- Стильтьеса 512

матрицы 322

- - ортогональной матрицы 327