Семинар 8. Квантовые алгоритмы.

8.1 Алгоритм Дойча (Deutsch).

Алгоритм Дойча сочетает квантовый параллелизм с квантовомеханической интерференцией. Рассмотрим цепь приведенную на рис. 8.1.

Пусть гейт Адамара приводит первый кубит в суперпозицию вида (_|0_� + _|1_�)/√2,авторойкубитвсостояниесуперпозициивида(_|0_�−|1_�)/√2.Этоозначает,чтогейтАдамарадействуетнапервыйкубитвсостоянии_|1_�, а на второй кубит в состоянии _|1_�.

рис. 8.1. Входное состояние такой цепи, есть двухкубитовое состояние вида: _|ψ0_� = _|01_� . (8.1) После действий оператора Адамара данное двухкубитовое состояние будет иметь вид:

|⁰� ⁺ |¹�|⁰�− |¹�. (8.2)

|^ψ1� ⁼ √2 ·√2

Рассмотрим действие оператора U^ˆна _|x_� (_|0_{�− |}1_�)/√2,где_|x_� может принимать одно из двух значений: _|x_� = _|0_� или _|x_� = _|1_�

_Uˆ^�� _{= |}0, 0 _⊕ f(0)_{�− |}0, 1 _⊕ f(0)_� , для _|x_� =0 _(8.3)|^x� ⁽|⁰�− |¹�⁾ _|1, 0 _⊕ f(1)_{�− |}1, 1 _⊕ f(1)_� , для _|x_� =1.

Функцияf(x)принимаетзначения0или1,приx=0,1.Рассмотримпоследовательнослучай_|x_� = _|0_�

U^ˆ=^{0, 1}� ^,f(0)=0=(₋1)^f(0)(8.4)

|⁰� ⁽|⁰�− |¹�^{) |}0, 0^{�− |}0, 0_� ,f(0)=1|⁰� ⁽|⁰�− |¹�^).

|^{0, 1}�−|Аналогичнодляслучая_|x_� = _|1_�

U^ˆ1_� (1_�)= |^{1, 0}�− |^{1, 1}� ^,f(1)=0=(₋1)^f(1)1_� (1_�). (8.5)

||⁰�− |_|1, 1_{�− |}1, 0_� ,f(1)=1||⁰�− |

Объединяя равенства (8.4) и (8.5) получим

ˆ

U �_|x_� (_|0_{�− |}1_�) �=(₋1)^f(x)_|x_� (_|0_{�− |}1_�)/^√2. (8.6)

Таким образом после действия цепи U на двухкубитовое состояние _|ψ1_� получим

_{U :} |_ψ1�→ |_ψ2� =_±|⁰�_√⁺₂|¹�|⁰�_√⁺₂|¹�,еслиf(0)=f(1)_{. (8.7)}

·

_±|⁰�−|¹�|⁰�−|¹�,еслиf(0)=f(1)

^√2 · ^√2 �

Действуя в соответствии с цепью приведенной на рис. 8.1. на первый кубит гейтом Адамара, находим:

0_� |⁰�−|¹�еслиf(0)=f(1)

√2

^{H1 :} |^ψ2�⇒ |^ψ2� = ±|1_� |⁰�−|¹�еслиf(0)=f(1)^{. (8.8)}

±|^√2 �

Учитывая,чтоf(0)_⊕ f(1)=0еслиf(0)=f(1),иf(0)_⊕ f(1)=1,еслиf(0)=_�f(1)можнопереписать выражение (8.8) в виде

_|ψ3_� = _±|f(0)_⊕ f(1)_�|⁰�− |¹�. (8.9)

√2

Такимобразомизмеряясостояниепервогокубитаможноопределитьзначениеf(0)_⊕ f(1),т.е.квантоваяцепьдаетвозможностьопределитьглобальноесвойствофункцииf(x),используятолькоодновычислениеf(x).Этобыстрее,чемсиспользованиемклассическоговычислительногоустройства,котороепотребуеткакминимумдвухвычислений.

В простейшем варианте задача Дойча состоит в следующем ¹ Пустьимеютсячетыребинарныефункцииfi(x)отдвоичнойпеременнойx=0,1приэтомфункцииf1иf2–постоянныипринимаютзначенияf1(x)=0,f2(x)=1,афункцииf3иf4–принимаютследующиезначения:f3(x)=x,f4(x)=x.Приэтомговорят,чтофункцииf3иf4–

¬

сбалансированы. В задаче Дойча требуется определить к какой группе (постоянные или сбалансированные) относится функция fi

Классическоерешениетакойзадачипредполагаетпроведениекакминимумдвухопераций

– вычислениеfi(0)иfi(1).Квантовыйалгоритмпозволяетрешитьзадачузаоднуоперацию.Квантовыйкомпьютерработаеткакчерныйящик(вквантовыхвычисленияхегопринятоназыватьОракул),выполняяунитарнуюоперацию

U^ˆ_|x_{�⊗ |}y_{� ⇒|}x_{�⊗ |}y _⊕ f(x)_� . (8.10)

Оператор U^ˆпредставляется четырьмя матрицами размерности 4 _× 4, определяющими четыре

¹ DeutschD.QuantumTheorytheChurch-TuringPrincipleandtheUniversalQuantumComputer.Proc.Roy.Soc.London,1985,VA400,№1818,p.57.Переводсанглийскогоподред.В.А.Садовничего:Сборн"Квантовыйкомпьютериквантовыевычисления".Ижевск.Ред.журн."Регулярнаяихаотическаядинамика",1999,с.157.

возможныефункцииfi(x)_Uˆf1 ≡00

⎟⎟⎠

⎜⎜⎝ ⎞

⎛

⎞

⎛

10000100

010

001

_≡ ˆ_Uˆ_f2

I;

≡

1000

0001

_≡ I^ˆ_⊗ NOT ;

00010010

⎞

⎛

⎞

⎛

10000100

_Uˆf3 ≡01

00100001

Как следует из изложенного выше алгоритма для решения задачи Дойча достаточно только одной операции (квантовая цепь 8.1). Если состояние первого кубита на выходе цепи (8.9) _|0_�,тоf1,2(x)–постоянныефункции.Еслисостояниепервогокубитанавыходецепи_|1_�,тоf3,4(x)–сбалансированныефункции.Существенно,чтоприэтомневычисляютсязначениясамихфункций.Квантовыйкомпьютервыделяет"глобальную"информациюиз

Экспериментально данный алгоритм был реализован на простейших ЯМР– квантовых компьютерах ²

8.2 Алгоритм Дойча – Джозса (Deutsch-Jozsa).

Данный алгоритм был сформулирован для общего случая, когда _|x_� и _|y_� являются векторами в 2ⁿ-мерном гильбертовом пространстве x_� =x0,x1,...xn₋1_�, y_� =

_ˆ|||3

⎟⎟⎠суперпозициисостояний. аквантовыйОракул действуетнамногомерныйвекторсостояния U|�y,y,...y,.011−n

Задача,вданномалгоритмеформулируетсяподобнопредыдущемуалгоритмуиимеетцельюопределитьявляетсялидвузначнаяфункцияпостояннойилисбалансированной,имеющейоднозначениедляоднойполовиныданныхxидругое–длявторой.Квантовыйалгоритмпозволяетрешитьэтузадачузаn-операций,тогдакакклассическийалгоритмимеетрешение

⎜⎜⎝

за 2ⁿ-операций.

Алгоритм может быть продемонстрирован на примере следующей игры. Алиса, находясь в Амстердаме, выбирает число x из 0 _÷ 2ⁿ ₋ 1ипосылаетегопопочтеБобувБостоне.Бобвычисляетнекоторуюфункциюf(x)исообщаетрезультат,которыйможетбытьили0,или1.ПриэтомБобобещалиспользоватьфункциюf,однуиздвухтипов:Либоf(x)–постояннадлявсехзначенийx,либоf(x)–сбалансирована,приэтомонаравна1точнодляполовинывсехвозможныхзначенийxиравна0длядругойполовины.ЗадачаАлисыопределитьдостовернокакойтипфункциивыбранБобомдлявычислений,затративприэтомминимумкорреспонденции.

В классическом случае Алиса может послать Бобу только одно значение x в каждом письме. Поэтому Алиса будет вынуждена запросить Боба по меньшей мере 2ⁿ/2+1раз,таккаконаможетполучить2ⁿ/2 нулей для окончательного получения 1, объясняющего ей,

²К.А.Валиев,А.А.Кокин"Квантовыекомпьютеры:надеждыиреальность",Москва.Ижевск.R&C2001г.

³Deutsch D., Jozsa R. Rapid Solution of Problems by Quantum Computation. Proc. Roy. Soc., London, 1992, V A439, № 1907, p.553. Перевод с английского под ред. В.А. Садовничего: Сборн. "Квантовый компьютер и квантовые вычисления". Ижевск: Ред. журн. "Регулярная и хаотическая динамика", 1999, с.191.

010

1000

_Uˆ_f4

_≡ CNOT(I^ˆ_⊗ NOT ). (8.11)

_≡ CNOT ;

≡

000

0010

чтоБобиспользуетсбалансированнуюфункцию,поэтомулучшийклассическийалгоритмонаможетприменять2ⁿ/2+1раз.Подчеркнем,чтовкаждомписьмеАлисапосылаетБобуn-битинформации.

ЕслиАлисаиБобмогутобмениватьсякубитамииеслиБобсогласенвычислитьf(x)используяунитарноепреобразованиеUf,тогдаАлисаможетдостичьсвоейцелиоднойкорреспонденциейиспользуяследующийалгоритм.

Алисаимеетn-кубитовыйрегистрдлянакапливаниясвоегозапросаиоднокубитовыйрегистр,которыйонапредставляетБобудляразмещенияответа.Алисаприготавливаеткакрегистрзапроса,такирегистрответавсостояниисуперпозиции.Бобпроведетвычислениеf(x)сиспользованиемквантовогопараллелизмаипоместитрезультатврегистрответа.ЗатемАлисаосуществляетинтерференциюсостоянийиспользуягейтАдамарадлярегистразапросаизаканчиваетисследованияпутемпроведенияподходящегоизмерениясцельюопределенияявляетсялиfпостояннойфункциейилисбалансированной.

Пошаговое исполнение алгоритма представлено квантовой цепью на рис. 8.2.

_|ψ1_� вида: ��

ψ1_� = �_√|^x ₂ � _n |⁰�− |. (8.13)

|√21^�

^x∈{^0,1}ⁿ

Регистр запроса теперь является суперпозицией всех значений x, а регистр ответа находится в суперпозиции состояний _|0_� и _|1_�.

Затем Боб вычисляет функцию f, используя квантовый оракул:

U^ˆ: _|x,y_{�→ |}x,y _⊕ f(x)_� . (8.14)

В результате образуется состояние _|ψ2_� вида:

⁽−¹⁾f(x)|^x�|⁰�− |¹� . (8.15)

|^ψ2� ⁼ √2n√2

x

ТеперьАлисаимеетнаборкубитов,вкоторыхрезультатвычисленияфункциисобранвамплитудесуперпозициикубитовогосостояния.АлисадалееиспользуетинтерференциюслагаемыхвсуперпозициипутемдействияГейтаАдамаранарегистрзапроса.ЧтобыопределитьрезультатдействияпреобразованийАдамараполезно,вычислитьдействиепреобразованияАдамаранасостояние_|x_�. Рассматривая случаи x =0 и x =1 раздельно, мы видим, что для одиночного кубита

H _|x_� = ^� (₋1)^xz _|z_� /^√2. (8.16)

z

Таким образом

1 ^�

H⊗ⁿ _|x1...xn_� = _√2n (₋1)^x1z1+···^+xnzn _|z1...zn_� ,(8.17)z1...zn

что может быть записано компактно в форме:

1 ^�

H⊗ⁿ _|x_� = _√2n (₋1)^x·^z _|z_� , (8.18)

z

где xz– побитовое внутреннее произведение x и z по модулю 2. Используя (8.18) можно

·

записатьрезультатвычислениясостоянияψ3_� ψ3_� = ^{�� 1}(₋1)^x·^z+f(x)z_�|⁰�− |¹� . (8.19)

| 2ⁿ |√2

xz

ТеперьАлисаможетнаблюдатьрегистрзапроса.Отметим,чтоамплитудадлясостояния 0_�⊗ⁿ есть ^� (₋1)^f(x)/2ⁿ . ^|

x

Вслучае,еслиf–константа,амплитудадля_|0_�⊗ⁿ равна +1 или ₋1,взависимостиотзначенияконстантыf(x).Таккаксостояние_|ψ3_� имеет единичную длину отсюда следует, что все другие амплитуды должны быть равны 0 и измерение даст нулевые значения для всех кубитов в регистре запроса. Если f сбалансирована тогда положительный и отрицательный вклад в амплитуду для _|0_�⊗ⁿ сокращается,приводякнулевомузначениюамплитуды,аизмерениедолжнодатьрезультат0хотябыодногокубитаврегистрезапроса.Такимобразом,еслиАлисаизмеряетвсе0,тогдафункцияконстанта,впротивномслучаефункциясбалансирована.

Суммарно алгоритм Дойча-Джозса выглядит следующим образом.

Входные данные:

1. Оракул U, который осуществляет преобразование _|x_�|y_{�→ |}x_�|y _⊕ f(x)_� для x _{∈ {}0,...2ⁿ−¹_} иf(x)_∈{0, 1_}.

2. f(x)–либоконстантадлявсехx,либо–сбалансирована,такчтоf(x)=1дляполовинызначенийxиf(x)=0длядругойполовинызначенийx.

Выходные данные: 0 если f – константа.

Время вычислений: одно вычисление Uf .

Алгоритм:

1. _|0_�⊗ⁿ _|1_� – инициализация состояний.

_�2n��