Кванты / Квантовая мех.pdf / Кое-что еще

являются собственными с собственным значением 12. Таким образом, установлено соот- ветствие между видом спиновой функции и максимумом проекции, которое и доказывает

теорему. Пример: воспользуемся результатами теоремы для простейшего случая проекции на

вдоль оси x, а потому две другие его проекции обращаются в ноль.

Итак, наличие спина является фундаментальным свойством частицы, а е¼ состояние зависит от величины спина и его направления в пространстве; однако нигде ранее зависимость волновой функции от спина не возникала, а, например, в координатном представлении волновая функция зависела лишь от координат частицы. Это означает, что существование спина, вообще говоря, не укладывается в развитую теорию квантовой механики. Дирак установил, что существование спина является релятивистским эффектом, а потому, разумеется, не может возникнуть в нерелятивистской квантовой механике, рассматриваемой ранее. Соответственно, спин вообще не фигурирует в уравнении Шредингера, а возникает лишь в уравнении Дирака основном уравнении релятивистской квантовой механики. Тем не менее, в большинстве случаев необходимо рассматривать системы с уч¼- том наличия спина, хотя их скорости значительно меньше скорости света. Для решения этой задачи Дирак расширил формализм нерелятивистской квантовой механики, заменив

то есть в векторе состояния просто учитываются два возможных спиновых состояния. Для частиц с большим спином аналогичным образом строится спинор 2s-го ранга, являющийся,

по сути, тензором 2s-го ранга.

Построим теперь гамильтониан, соответствующий спинору первого ранга. Для этого необходимо определить энергию взаимодействия тока и магнитного поля; будем рассмат-

ривать только случай однородного магнитного поля. Зададим поле H1 = const через векторный потенциал

поскольку div r = 3, H1 = const, div H1 = 0); äëÿ H2 выполняется уравнение Максвелла

31

j = e v, rot j = e rot dt = edt rot r = 0, (A r) j = e(A r) v = e Aα ∂ α = 0, rot A = H2,

Направим ось z вдоль направления H; тогда H = (0, 0, H); собственные векторы определя-

1

ms = ±2, то есть в постоянном магнитном поле энергетические уровни расщепляются,

При этом уравнение Шредингера записывается точно также, как в отсутствие спина: H ψ = Eψ и носит название уравнения Паули.

4.4. Симметрия волновой функции.

Определение: тождественными частицами называются частицы, одинаковые по всем своим свойствам. Оператор P, меняющий местами координаты двух тождественных

частицы, называется оператором перестановки P ψ(1, 2) = ψ(2, 1).

Принцип неразличимости тождественных частиц: в квантовой механике тождественные частицы неразличимы, поскольку, в отличие от классической механики, нельзя указать точные координаты и точный импульс частицы в один и тот же момент времени. Чем точнее задание координат частиц начальными условиями (различение частиц), тем больше ошибка в определении импульса. Кроме этого, частицы не двигаются по определ¼нным траекториям (принцип неопредел¼нности), поэтому различить их в процессе движения также невозможно.

Очевидно, что в координантном представлении все операторы инвариантны по отношению к перестановке двух тождественных частиц, поэтому любой оператор коммути-

ðóåò ñ P; в частности, [H, P] = 0. Последнее соотношение означает, что операторы H и P имеют одинаковый набор собственных функций, то есть если H ψ(1, 2) = Eψ(1, 2), òî

32

P ψ(1, 2) = λψ(1, 2). Íî P2 ψ(1, 2) = ψ(1, 2) = λ2ψ(1, 2) λ = ±1 в зависимости от знака

λ волновая функция системы тождественных частиц может быть симметричной или антисимметричной. Заметим, что свойство симметрии волновой функции является интегралом

движения, поскольку [H, P] = 0, ∂∂Pt = 0.

(коэффициент 1 необходим для нормировки. Аналогично выбирается волновая функция

√

2

1

фермионов ψa = √ (ψ1(1)ψ2(2) − ψ1(2)ψ2(1)) . Данное построение легко обобщается на

2

случай N частиц (p1, . . . pN номера состояний):

где сумма бер¼тся по всем перестановкам (p1, . . . pN ). Для фермионов сумма та же, однако каждое слагаемое необходимо домножить на ч¼тность соответствующей перестановки

(p1, . . . pN ); результатом станет определитель

4.5. Сложение моментов.

Пусть имеются два оператора углового момента J 1 è J2, характеризующиеся квантовы-

ми числами jk, mk : J2k |jk, mk i = jk(jk + 1)~2|jk, mk i, Jzk |jk, mk i = mk~|jk, mk i (k = 1, 2).

Собственные векторы |jk, mk i задают пространства Ek (dim Ek = 2jk + 1); будем считать

|j1, m1, j2, m2 i задают базис пространства E этот полный набор называют базисом несвязанного представления, который позволяет выразить векторы связанного представления:

P

|j, m i = (j1j2m1m2|jm)|j1, m1, j2, m2 i, ãäå (j1j2m1m2|jm) коэффициенты векторного

m1,m2

33

сложения (коэффициенты Клебша-Гордана ). Эти коэффициенты рассчитаны для различ- ных значений j1, j2, j, m1, m2, m и табулированы. Заметим также, что J = J1 + J2,

m1, m2 накладывается дополнительное условие m = m1 + m2. Наибольшее возможное значение m определяется как mmax = m1,max + m2,max = j1 + j2;

mmax = j, поэтому jmax = j1 + j2; иначе говоря, установлено соответствие между векторыми несвязанного (|j1, m1, j2, m2 i) и несвязанного (|j, m i) представлений |j1, j1, j2, j2 i è |j1 + j2, j1 + j2 i. Будем и дальше проводить аналогичные рассуждения, подставляя различные значения j < j1 + j2; в конце концов дойд¼м до jmin. Каждому значению j соответствуют (2j + 1) различных векторов состояния, а общая сумма этих векторов должна

дать размерность пространства E, òî åñòü

jmax=j1+j2

X

(2j + 1) = dim E = (2j1 + 1)(2j2 + 1).

j=jmin

Сумма является стандартной суммой арифметической прогрессии с d = 2:

+(j1 + j2 − jmin + 1)(j1 + j2 − jmin) = (j1 + j2 − jmin + 1)(j1 + j2 + jmin + 1) =

= (2j1 + 1)(2j2 + 1), что выполняется при jmin = |j1 − j2|. Таким образом, мы определили

j принимает все возможные значения между теми случаями,

когда J1 è J2 параллельны и антипараллельны.

Пример (общий спин двух частиц, каждая из которых имеет спин 12): в данном случае

1

j1 = j2 = 2, поэтому 0 ≤ j ≤ 1, òî åñòü j = 0; 1. Состояние системы описывается четырьмя

Это орбитальные составляющие векторов состояния электрона в атоме; для того, чтобы сформировать полные векторы, необходимо домножить орбитальные составляющие на ра-

диальные Rnj(r).

34

4.6. Механика тв¼рдого тела.

Как и в классической механике перейд¼м к системе отсч¼та, связанной с твердым телом; рассмотрим подробнее преобразование операторов при переходе к системе отсч¼та, можно показать, что компоненты оператора момента количества движения, записанные в такой системе координат, будут подчиняться обратным коммутационным соотношениям по срав-

N ˆa− = ˆa+ ˆa− ˆa− = (ˆa− ˆa+ −1) ˆa− = ˆa−(ˆa+ ˆa− −1) = ˆa−(N −1). Пусть |µ i

векторы N: N |µ i = µ|µ i; N ˆa− |µ i = ˆa−(N −1)|µ i = ˆa−(µ − 1)|µ i = (µ − 1) ˆa− |µ i . Èòàê,

ющие собственным значениям µ + p, à ˆa− |µ i собственные векторы N, соответствующие

35

Для того, чтобы перейти к задаче о гармоническом осцилляторе, рассмотрим H 0 =

Между тем, возможна и совершенно иная интерпретация этой задачи: пусть вектор |n i описывает состояние n тождественных частиц, каждая из которых имеет энергию ~ω. В этом случае вектор |0 i следует трактовать как состояние вакуума, характеризующееся

энергией 1

2~ω; aˆ− уменьшает число частиц на единицу, то есть является оператором уни-

чтожения, тогда как ˆa+ оператор рождения, а оператор N c собственными числами n

оператором числа частиц.

4.8. Вторичное квантование свободного электромагнитного поля.

Рассмотрим свободное (то есть не содержащее ни токов, ни зарядов) электромагнитное поле. Введ¼м его потенциалы ϕ è A; тогда E = −rϕ−1c ∂∂At , H = rot A . Скалярный потен-

циал удовлетворяет волновому уравнению ϕ − 1 ∂2 ϕ = 0 с нулевыми начальными усло-

c2 ∂ t2

виями, то есть тождественно равен нулю. По этой причине E = −1c ∂∂At ; div A +1c ∂∂ϕt = div A = 0 лоренцевское условие калибровки потенциалов. Векторный потенциал A также

удовлетворяет волновому уравнению A −c2 ∂ t2 = 4cπ j = 0, решение которого может быть записано в виде линейно поляризованных плоских волн (то есть волн, в которых

направления векторов E è H постоянны):

XX

A(r, t) = ek α Ak α(t)ei k r + Ak α(t)e−i k r ,

αk

ek α единичный вектор направления поляризации, α индексирует направления поляризации A.

XX

div A = i ek α Ak α(t) k ei k r − Ak α(t) k e−i k r = 0

αk

для выполнения этого условия требуется, чтобы (ek α, k) = 0, направления поляризации были перпендикулярны к волновому вектору: существуют два независимых взаимно

перпендикулярных направления, удовлетворяющих этому требованию, то есть индекс α пробегает два значения.

Заметим, что с самого начала по k производилось суммирование, а не интегрированиемы заранее считаем волновой вектор квантованным; удобно положить, что потенциал A постоянен на гранях куба с р¼бром L : A(x, y, z, t) = A(x + L, y, z, t) = A(x, y + L, z, t) = A(x, y, z + L, t); èìåÿ â âèäó, ÷òî k r = xkx + yky + zkz, получим eikxL = eikyL = eikzL = 1

ωk = c|k | = ck. Решая это обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка,

36

нейших выкладок сохранена всего одна константа, хотя аналогичные построения возможны и в случае общего решения). Определим напряж¼нности электрического и магнитного полей:

XX

H = rot A = i [k ek α] Ak αei k r − Ak αe−i k r .

αk

Èìåÿ â âèäó, ÷òî

Величина ~ω

перемещающейсяs соназываетсяскоростьюквантомсвета, аэлектромагнитногопотому обладающейполянулевойили массойфотономпокоячастицей,.Опера-

òîðû aˆk α è ˆa+k α являются операторами уничтожения и рождения фотонов соответственно.

1P

Состояние вакуума характеризуется энергией ε0 = 2 s ~ωs, то есть вакуум не является совсем "пустым"; взаимодействие с вакуумом наблюдалось экспериментально по сдвигу линий в спектре атома водорода данный эффект называется лэмбовским сдвигом спектральных линий.

4.9. Описание динамических состояний с помощью матрицы плотности.

Оказывается, что далеко не всякое состояние может быть описано с помощью волновой функции; это не противоречит постулату о волновой функции, поскольку введение

37

функции ψ по-прежнему возможно, однако она будет зависеть не только от r координат системы. Например, необходимо описать подсистему (характеризующуюся координатами

r), являющуюся частью большой системы (координаты R), с которой она постоянно взаимодействует. В этом случае можно ввести волновую функцию Ψ(r, R), но представить

å¼ â âèäå Ψ(r, R) = ψ(r)ϕ(R) уже нельзя, что принципиально усложняет все вычисления. Подобные состояния названы смешанными в отличие от чистых допускающих описание

с помощью ψ(r).

Для описания таких состояний используют так называемую матрицу плотности.

Перейд¼м к одномерному случаю: x координата исследуемой подсистемы, q совокупность координат других частей системы. Определим компоненту матрицы плотности ρ(x, x0) = R Ψ (q, x0)Ψ(q, x)dq = (Ψ, Ψ)q; очевидно, что введ¼нная таким образам "матрица"

является "эрмитовой": ρ (x0, x) = ρ(x, x0). Диагональные элементы матрицы плотности

физической величины подсистемы, то есть предположим, что оператор F действует на переменные x и не действу-

2. ρnn ≥ 0 n (заметим, что ρnn = hn|a i ha|n i = |hn|a i|2 ≥ 0).

3. tr ρ = 1 (tr ρ = P|hn|a i |2 = 1 как сумма квадратов модулей коэффициентов разло-

n

жения |a i по базису векторов |n i).

|a i является вектором состояния, а потому удовлетворяет нестационарному уравнению

Шредингера i~∂∂|ati = H |a i; домножим это уравнение на h a| слева: i~∂∂|ati ha| = H |a i ha|, а затем сопряж¼м комплексно и сложим с предыдущим:

уравнение, описывающее изменение матрицы плотности во времени.

38

Предметный указатель

39

уравнение, 32 Перестановки оператор, 32 Плотности матрица, 38

Поля свободного квантование, 36, 37 Постулат

измерения, 5 о волновой функции, 4 полноты, 5

среднего значения, 5 суперпозиции, 4

Потенциальная яма, 10 Представление, 16 Проектор, 27

полный, 27 Ритца метод, 24

Рождения оператор, 36 Самосогласованного поля приближение, 25 Симметрия волновой функции, 33 Собственный дифференциал, 7 Состояние

вакуума, 36 основное, 12 смешанное, 38 стационарное, 9 чистое, 38

Состояние спиновой системы синглетное, 34 триплетное, 34

Спин, 29 Спиновая функция, 30 Спинор, 31

Тензорное произведение, 28 Тождественные частицы, 32

принцип неразличимости, 32 Уничтожения оператор, 36 Фазовых интегралов метод, 19 Фермионы, 33 Фотон, 37 Хартри метод, 24

Числа частиц оператор, 36 Шредингера

представление, 17 уравнение

классический предел, 15 начальные условия, 9 нестационарное, 8 стационарное, 9

Штарка эффект, 22 Эволюции оператор, 17 Якоби тождество, 3

40