Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежский государственный университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Кое-что еще

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

21.05.2015

Размер:

406.74 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 42 3 4 > Следующая >>>

стице, улетающей в положительную бесконечность (отраж¼нной от барьера), а

De−ik1x

Таким образом, все значения E : 0 ≤ E ≤ U являются собственными значениями опера-
тора H его спектр непрерывен.
Ïðè x < 0 è E > U ψ(x) = A2 sin(k1t + ϕ1), k1 = √E − U. Также можно записать
решение в виде:
I	II
ψ(x) Aeikx + Be−ikx	Ceik1x + De−ik1x

В этом случае легко выясняется физический смысл всех решений; частица может подлетать к барьеру из положительной или отрицательной бесконечности. В первом случае компонента Aeikx соответствует частице, подлетающей к барьеру, компонента Be−ikx ÷à-

частице, улетающей в отрицательную бесконечность (прошедшей через барьер). Ceik1x ñî-

ответствует частице, подлетающей к барьеру из отрицательной бесконечности, а потому

в данному случае C = 0. Вероятность прохождения через барьер равна

, а вероят-

Аналогично для частицы, летящей из отрицательной

ность отражения от барьера

бесконечности,

, вероятности

прохождения и отражения равны

A = 0

соответ-

ственно.

Пример (гармонический осциллятор): в классической механике для гармонического

осциллятора H(x, p) =

kx2

mω2x2

. Уравнение Шредингера принимает

m2ω2

mω

âèä −

mω2x2 − E ψ = 0

−

x2 + ε ψ = 0. Пусть

= λ,

dx2

2mE

= ε; тогда ψ00

+ (ε − λ2x2)ψ = 0.

|x| → ∞

Для начала найд¼м

асимптотическое решение; при

уравнение упрощается

ψ00

2 , тогда

ψ0

. Ïîä-

−

λ2x2ψ = 0. Пусть ψ = eαx

= 2αxeαx

ψ00 = 2αeαx

+ 4α2x2eαx

αx2

= 0 2α + (4α

−

= 0

ставляя в уравнение, получим (2α + 4α

− λ

(пренебрегаем 2α) (4α2 − λ2)x2 = 0. Решение существует при 4α2 = λ2 α = ±

2 .

Оно должно стремиться к нулю на бесконечности (иначе ψ не будет интегрируема на R),

поэтому α < 0 α = −

Будем искать

решение

íà

âñåé

числовой

прямой

âèäå

ψ(x)λ

= y(x) ·

− 2 x2

ψ0

λxye−

eλ

;

= y0e− 2 x2

−

2 x2 , ψ00 = y00e−

2 x2

−

λxy0e− 2 x2

−

λye− 2 x2

−

λxy0e− 2 x2

+ λ2x2ye− 2 x2

λ 2

y00e− 2 x

−2xy0λe−

2 x +y(λ2x2 −λ)e−

2 x . Уравнение Шредингера принимает вид y00 −2λxy0 +

(ε − λ)y = 0. Представим решение в виде степенного ряда y =

+∞

ckxk

kckxk−1,

∞

+∞

k=1

y00

k=2k(k − 1)ckxk−2. Тогда

k=2

k(k − 1)ckxk−2 − 2λkckxk + ck(ε − λ)xk

− 2λc1x +

ПриравниваяP

+(c1 + c0)(ε − λ) = 0.

коэффициенты при равных степенях

, находим

(k + 1)(k + 2)c

= c

(2λk

−

(ε

−

λ))

2λk + λ − ε

k+2

(k + 1)(k + 2)

Можно убедиться в том, что при наличии бесконечного числа членов такой ряд сходится к eλx2 , то есть бесконечно возрастает с возрастанием x. Поэтому выберем n : cn 6= 0, cn+1 =

cn+2 = . . . = 0; соответственно, εn = λ(2n + 1),

En = ~ω

n + 2

n = 0, 1, . . . Общее

решение

ψn(x) = 2nn!r

· Hn(√λx) · e− 2 x

, ãäå Hn(x) = (−1)nex

dxn

λ 2

dne−x2

полиномы Эрмита (система ортонормированных функций).
Определение: основным состоянием называется состояние с наименьшей энергией.
Двухмерный гармонический осциллятор: H =	1	(px2	+ py2) +	1	mω2(x2 + y2). Ïåðå-
	2m			2
		è	H1 ψ			ψ,
менные разделяются, поэтому Ψ(x, y) = ψ(x)Φ(y)				= ~ω n1 + 2
				1

H2 Φ = ~ω n2 + 2 Φ. Тогда E = ~ω(n1 + n2 + 1) = ~ω(n + 1), n = 0, 1, . . . Для основно-

го состояния общее решение имеет вид Ψ(x, y) = ψ0(x)Φ0(y), для первого возбужд¼нного возможны два сочетания ψ и Φ :

Ψ(x, y) =	ψ1	(x)ψ0	(y),
	ψ0	(x)ψ1	(y)

то есть первое возбужд¼нное состояние является дважды вырожденным. В общем случае

кратность вырождения n-го состояния равна n + 1.

Тр¼хмерный гармонический осциллятор: аналогично двумерному случаю можно

разделить переменные; тогда E = ~ω n1 + n2 + n3	+ 2		= ~ω n +	2	.
	3			3

2.5.Задача об атоме водорода.

Âэтой задаче рассматриваются два тела, потенциал взаимодействия которых зависит только от расстояния между телами ( V (r)). Функция Гамильтона системы имеет вид

p12

p22

H(p1, p2, R, r) =

+ V (r). Тогда в координатах, связанных с центром масс си-

2m1

ˆ2

2m2

pˆ

стемы, H =

2µ

+ V (r) = H0 + h, ãäå H0

оператор, действующий на R (òî åñòü

радиус-вектор центра масс), а ˆ

h оператор, действующий на r (вектор, соединяющий тела). Переменные в уравнении Шредингера разделяются, поэтому

H0 ϕ = Tϕ, ϕ(R) = e± ~ (PR);

ïîä T = Et − E в данном случае понимается кинетическая энергия, возникающая в ходе разделения переменных:

	(H0 −Et)ϕ			ˆ
Ψ(R, r) = ϕ(R)ψ(r);		=	−	h ψ	= E,
	ϕ			ψ
					−

ãäå Et полная энергия системы (кинетическая энергия центра масс T и потенциальная энергия взаимодействия частиц E).

Для того, чтобы решить уравнение Шредингера на ψ, перейд¼м к сферическим координатам; необходимо записать в сферических координатах оператор −~2r2.

Рассмотрим произвольные векторы a, b:

[a b]2 = a2 b2(1 − cos2 α) = a2 b2 −(a b)2 a2 b2 = [a b]2 + (a b)2,

	2		1	·(r p)	2		1	2		Переходя к операторам, получим	pˆ	2	2		1	ˆ2
поэтому p		= r2				+ r2			.								, где через
								[r p]					= pˆr	+ r2 l

pˆ

þùàÿr обозначенаявляетсярадиальнаяугловой, посколькусоставляющаяоператороператора импульса (очевидно, вторая составля-

		ˆ2 действует только на угловые переменные
		l
(это будет показано ниже). Оператор		ˆ2	эрмитов, поэтому	2
эрмитовым;ϕ, θ	по этой причине выбираем	l		pˆr также должен быть

pˆr в симметричной форме

ˆr

pˆr =

pˆ

ˆr

x df ∂ r

y df ∂ r

z df ∂ r

f = f(r)

pˆ

f = −i~

∂ x

∂ y

∂ z

ˆr

∂

pˆ = −i~

∂ r

= −i~drdf

поскольку мы априорно полагаем, что pˆr

действует только на функции

pˆ r = −i~

∂ x r

+ ∂ y r

+ ∂ z r

= −r2

xr ∂ x

+ fr − fx∂ x

ˆr

∂ fx

∂ fy

∂ fz

∂ f

∂ r

−fy ∂ y

+ zr ∂ z

+ fr − fz ∂ z = −i~dr −

2r~f pˆ r = −i~

∂ r

∂ f

∂ r

ˆr

r. Аналогично

+ yr ∂∂ fy + fr−

∂∂r + 2r .

Таким образом,

pˆr = −i~

∂

, pˆr2 = −~2

∂2

1 ∂

∂ 1

∂ r

∂ r2

∂ r

∂ r r

= −~2

+ r ∂ r

hˆ

ˆ2

∂ r2

= 2µ

+ 2µr2 + V (r).

∂

2 ∂

pˆr

−i~

∂ f

lz = xpˆy −ypˆx;

f = f(r) lzf =

∂ y

− y

∂ x

−

(xy −yx) ·

= 0, аналогично

ˆ2

lxf = lyf = 0, то есть оператор l

= lx

+ ly + lz действует только на угловые переменные

ϕ,

θ. Это означает, что в уравнении Шредингера

ˆ2

)ψ = 0;

h ψ = Eψ (r

pˆr + 2µr

(V − E) + l

переменные могут быть разделены: ψ(r, Ω) = f(r) · Y (Ω), ãäå Ω = (ϕ, θ). Тогда

ˆ2

−

r2pˆr2 + 2µr2(V − E) f =

= λ.

Сначала решим уравнение на угловые переменные ˆ2

Y = λY это задача на собствен-

ные значения оператора ˆ2

, решением которой являются λ

ãäå l = 0, 1, . . .

= l(l + 1)~

орбитальное квантовое число (см. 4.2). Таким λ соответствуют собственные функции

Ylm(ϕ, θ) = Nlmeimϕ · Θlm(θ), ãäå Θlm		≡ Plm(cos θ) присоедин¼нный полином Лежанд-
			ˆ ˆ2	ˆ ˆ2	ˆ ˆ2	ˆ ˆ2
ðà, à m так называемое магнитное квантовое число. [lz, l				] = [lz, lx	] + [lz, ly	] + [lz, lz] =
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ	ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ	ˆ ˆ ˆ ˆ	ˆ ˆ	ˆ ˆ		ˆ ˆ2
[lz, lx]lx + lx[lz, lx] + [lz, ly]ly + ly[lz, ly] = −i~(lylx + lxly			− lxly − lylx) = 0 операторы lz è l

коммутируют, а потому (теорема о коммутуриующих операторах см. 1) имеют общий набор собственных функций. Таким образом, ˆ

lzYlm = m~Ylm; m~ собственные значения

ˆ ± ±

lz (см. 2.2). На значения m накладывается ограничение m = 0, 1, . . . l (см. 4.2). Теперь решим уравнение на r:

2	2	(V − E))f = λf	pˆr2		f = −	l(l + 1)~2
−(r2pˆr	+ 2µr			+ V − E			f.
			2µ			2µr2

Рассмотрим случай кулоновского потенциала V (r) = −

. Тогда

2 d

l(l + 1)~2

−

− E

f = 0.

2µ

dr2

2µr2

Переходя к функции y(r) = rf(r), получим

l(l + 1)~2

2µ

2e2µ 1

l(l + 1)

−

− E y = 0 y00 +

E +

−

y = 0.

2µ

dr2

2µr2

~2 r

Перейд¼м к атомной системе единиц, то есть положим µ = 1,					e = 1,		~ = 1, и получим
дифференциальное уравнение
			l(l + 1)
2			l(l + 1)
y00 + 2E +	r	−	r2	y = 0
(необходимо отметить, что масса протона		mp me, поэтому µ =				memp			≈ me = 1 â
(необходимо отметить, что масса протона		mp me, поэтому µ =				me + mp			≈ me = 1 â
атомной системе координат).						l(l + 1)
Для начала найд¼м асимптотические решения; при r → 0 +					y00 −	l(l + 1)		y = 0. Подста-

							r2

âèì y = rs, тогда s(s − 1)rs−2 − l(l + 1)rs−2 = 0 s = l + 1, −l; подходит только значение

1						+ . Ïðè r → +∞ y00 + 2Ey = 0. Подставив
s = l + 1, поскольку иначе y			→ +∞,	r → 0
	rl
y = eαr, получим (α2 + 2E)eαr =				√
		0 α =				2E (E потенциальная энергия притяже-
					√
				± −

ния, поэтому −E > 0). Таким образом, y e− −2Er, r → +∞. Необходимо отметить, что

здесь мы наложили на функцию y два условия y(0+) = 0, y → 0, r → +∞. В принципе, второе условие не всегда имеет смысл, поскольку предполагает, что траектории частиц ограниченны: это соответствует вращению электрона вокруг ядра. Однако возможен и другой случай рассеяние электрона на ядре, который здесь рассмотрен не будет.

Для того, чтобы сохранить асимптотику y, необходимо либо домножить е¼ на огра-

ниченную функцию, либо на полином степени u. Пусть y = rl+1 ·					k=0akrk · eαr = v(r)eαr.
y0 = (v0	+ αv)e , y00	= (v00 + 2αv0 + α		v)e ; уравнение Шредингера	P
	αr		2	αr	принимает вид
v00 + 2αv0 + α2 + 2E + r −					принимает вид
v00 + 2αv0 + α2 + 2E + r −			r2	v = 0 v00 − 2√−2Ev0 + r −		r2	v = 0.
		2	l(l + 1)		2	l(l + 1)
u		u
Xk	X
v =	akrk+l+1	ak ((k + l + 1)(k + l) − l(l + 1)) rk+l−1 + ak (2α(k + l − 1) + 2) rk+l						=
=0	k=0
	= 0 ak+1 ((k + l + 1)(k + l + 2) − l(l + 1)) = 2ak (1 + α(k + l + 1)) .

Ряд не является бесконечным (иначе нарушается асимптотика

y при r → +∞), поэтому

k : α(k + l + 1) + 1 = 0 α = −

E = −

, ãäå nr радиальное

nr + l + 1

2(nr + l + 1)2

квантовое число. Пусть n = nr +l+1 главное квантовое число(n

), тогда En =

атомной системе едиинц. Рассматривая уравнение Шредингера в

других системах единиц,в

−2n2

íàéä¼ì En = −

µe4

2n2

Таким образом, три квантовых числа ( n, l, m) полностью определяют состояние электрона, движущегося вокруг ядра и рассматриваемого как материальная точка (то есть без

уч¼та собственного механического момента спина). Состояние зада¼тся волновой функ-
öèåé	n−l−1
	n−l−1	r
	Xk	akrk · e− n Ylm.
	ψnlm = fnl · Ylm = rl	akrk · e− n Ylm.
	=0

Состояния с l = 0 в спектроскопии обозначаются буквой s, ñ l = 1 буквой p, ñ l = 2 буквой d, и так далее. Очевидно, для n = 1 l = 0, то есть такое состояние невырождено. Для n = 2 l = 0; 1, то есть возможны три значения m = −1; 0; 1 всего четыре состояния. В общем случае кратность вырождения определяется возможными значениями m ïðè âñåõ

l, допустимых для данного n; при фиксированном l возможны 2l + 1 значений m, òî åñòü

n−1

кратность вырождения состояния с главным квантовым числом n равна P(2l + 1) = n2.

l=0

2.6.Предельный переход к классической механике.

Âобщем случае функция ψ принимает как действительные, так и комплексные зна-

чения, поэтому е¼ можно записать в виде ψ = Ae~ S, ãäå A, S действительнозначные

функции. Домножим уравнение Шредингера на e~ S:

i~ ∂ t

− A ∂ t

e~ S = V Ae~ S −

Ae~ S

, поскольку H = −

+ V.

2~m

∂ A

∂ S

~ S

Ae~ S

= r

= r rA + ~i A · rS				· e~ S =
					i
i~ ∂ t		− A ∂ t = V A −				2
i~ ∂ t		− A ∂ t = V A −				2~m
	∂ A		∂ S

A + 2~i rA · rS + ~i A S − ~12 A(rS)2				e~ S
				i
A + ~ rA · rS +		~A · S −	~2 A(rS)2 .
	2i	i	1

Приравнивая действительные части и деля на A, получим

	∂ S		1	2		~2		A
−		= V +		(rS)	−		·		.
	∂ t		2m			2m		A

Квантовые явления наблюдаются в том случае, когда величина действия сравнима с ~, то есть для перехода к классической механике необходимо перейти к формальному пределу при ~ → 0. При этом

−∂∂St = V + 21m · (rS)2

уравнение Гамильтона-Якоби (rS = p). Приравняем мнимые части:

∂ A	1		(rA)(rS) +	1
	+				A S = 0.
∂ t		m		2m

Заметим, что

∂ A			∂ A2		∂		∂ ρ
2A		=		=		(ψ ψ) =		,
	∂ t		∂ t
					∂ t		∂ t

поскольку

Таким образом,

∂ A

r(A2rS),

à 2A

= −

(rA)(rS)A −

S = −

∂ t

r(A2rS) = 2A(rA)(rS) + A2 S.

∂ ρ

−

A2rS

∂ t

В классической механике

S = p,

= v

A2rS

= ρv = j поток вероятности.

Отсюда ∂ ρ

+ rj = 0 в классическом приближении уравнение непрерывности также

∂ t

выполняется, что оправдывает введение плотности этого потока в 2.3.

Преобразуем уравнение Гамильтона-Якоби

∂ S

mv2

∂

(rS)2

= −V

+ vr mv = −rV,

∂ t

mv2

поскольку r

r(v, v) = mv · rv.

Заметим, что

dvx

∂ vx

∂ vx .

∂ vx

dvy

· r =

+ v · rvx,

∂ t

∂ r

∂ t

∂ v

+ v(irvx + jrvy

∂ t

= ∂∂vty + vrvy, dvdtz = ∂∂vtz + vrvz

∂v

+krvz) = ∂ t + v · rv.

Таким образом, mddtv = −rV = F второй закон Ньютона, который оказался прямым следствием уравнения Шредингера.

Проделанные преобразования позволяют прийти к выводу: классическая механика является частным случаем квантовой; при этом, исходя из классических представлений, для рассмотрения квантовых явлений следует заменять частицу на непрерывный поток частиц с плотностью |ψ|2.

2.7. Теория представлений.

Пусть G произвольный эрмитов оператор. Набор линейно независимых функций ϕсобственных функций оператора G зада¼т базис функционального пространства. Раз-n

ложение произвольной функции ψ = Cnϕn называется g-представлением ψ. Â 2.1-2.6

использовались два представления координатное и импульсное; между тем, часто исполь-

зуются и многие другие представления, одно из которых будет введено несколько ниже. Для начала же необходимо проследить взаимосвязь между различными представлениями.

Постулат: если волновые функции ψ è ψ0 описывают одно и то же состояние системы, то они связаны линейным преобразованием ψ0 = S ψ (S линейный оператор), а их квад-

раты одинаковы по абсолютному значению (ψ, ψ) = (ψ0, ψ0) (заметим, что в скалярных

произведениях интегрирование проводится по разным пространствам).

(ψ0, ψ0) = (S ψ, S ψ) = (ψ, S+ S ψ) = (ψ, ψ) S+ S = 1, то есть оператор S, связывающий

различные представления унитарен. Получим также соотношение для операторов, запи-

санных в различных представлениях: пусть ψ2

= A ψ1, ψ0

= A0

ψ0

S ψ2

= A0 S ψ2

+ операторы связаны

ψ2 = S

ψ1 = A ψ1

0 = S A S

B C

+ S B S+

преобразованием унитарного

подобия. В частности, для C = A B,

C0 = A0 0

= S A S

= S A B S

= S C S ,

òî

есть коммутационные соотношения сохраняются во всех представлениях. Наконец,

(ψ0, F0 ψ0) = (S ψ, S F S+(S ψ)) = (ψ, S+ S F ψ) = (ψ, F ψ) = F среднее значение физической величины также не зависит от выбора представления.

Представление Шредингера. В этом представлении временная зависимость существует только у волновых функций, тогда как все операторы явно от времени не зависят. В представлении Шредингера выполняется уравнение Шредингера, то есть, в частности, координатное представление является представлением Шредингера.

Пусть задана волновая функция в начальный момент времени ψ(x, t0), à H 6= H(t); тогда ψ(x, t) = U ψ(x, t0), где U оператор эволюции. Введ¼м

U(t, t0) = e− ~			(t−t0) =	k	k!	·	−~ H(t − t0)	k
	i	H		X	1		1
				X

и покажем, что такой оператор действительно является оператором эволюции. Очевидно, U(t0, t0) = 1, U+ U = 1; продифференцируем U по времени:

∂ U	= −	i	i~	∂ U	(ψ(x, t0)) = H U(ψ(x, t0)) i~ ·	∂	(U ψ(x, t0)) = H(U ψ(x, t0))

∂ t		~ H U		∂ t		∂ t

уравнение Шредингера для функции U ψ(x, t0), которая, очевидно, и является волновой функицей системы в произвольный момент времени t (ψ(x, t)).

Представление Гейзенберга: по аналогии с представлением Шредингера построим

представление, в котîром явно от времени зависят не волновые функции, а операторы).

Выберем S = U+ = e~ H(t−t0), тогда ψG(x, t0) = S ψS(x, t); для операторов

∂ FG

S S

S F

FG = S FS S

S F

S S

= ˙

S S

+ S FS S

S S

∂ t

+ S FS

˙ =

(H FG −FG H) =

[H, FG],

поскольку FS 6= FS(t),

S˙ = −

H S . Таким образом,

получено уравнение на FG, которое

представленияхвместе с начальнымГейзенбергаусловиеми

G(t0) =

ШредингераFF

совпадают)(в начальныйзада¼тмоментуравнениевременидвижениеоператорыГейв-

зенберга

∂ FG

[H, FG]

∂ t

FG(t0) = FS .

Замечание: в данном случае под оператором H понимается гамильтониан, записанный в представлении Шредингера, то есть H = HS . [H, HS] = 0, поэтому (коммутационные

соотношения сохраняются) [H, HG] = 0 ddtHG = 0 HG 6= HG(t) HG = HS = H. Пример: рассмотрим движение частицы в потенциальном поле с помощью представ-

		pˆ2
ления Гейзенберга; H	=	G	+V (ˆxG).	Уравнения Гейзенберга для операторов	pˆG	è	xˆG имеют
		2m
âèä:

∂ pˆG	=		i	[H, pˆG]
∂ t	=		~	[H, pˆG]
∂ xˆG			i

		=		[H, xˆ	G	]
∂ t		=	~	[H, xˆ		]
∂ t			~

∂∂pˆtG = − ∂ x (ˆxG)
	∂ xˆG			∂ V
	∂ xˆG		1

		=			pˆ ,
	∂ t	=			pˆ ,
	∂ t		m G

поскольку [H, pˆG] = [V (ˆxG), pˆG] = [V (ˆxS), pˆS] = [V (x), −i~	d	] = i~	∂ V	(ˆxG);

	dx		∂ x

[H, xˆG] = 21m[ˆp2G, xˆG] = −21m ([ˆxG, pˆG]ˆpG + pˆG[ˆxG, pˆG]) = −im~pˆG.

(при вычислении коммутаторов использована независимость коммутационных соотношений от выбора представления).

Получим полное решение задачи для двух конкретных случаев свободной частицы 17

и гармонического осциллятора. Для свободной частицы ∂ V

∂ x

= 0, поэтому

pˆG = const = pˆS; xˆG = pmˆS t + xˆS.

Для гармонического осциллятора V (x) = mω2x2 ,

∂ t

= −mω2xˆG

∂ t2

+ ω2xˆG = 0

xˆG = xˆS cos ωt + mω sin ωt

∂ pˆG

∂2 xˆG

pˆS

∂ xˆG

∂ pˆG

pˆ

= m

∂ t

∂ t2

pˆG = pˆS cos ωt − mωxˆS sin ωt.

3.Приближ¼нные методы в квантовой механике.

3.1.Квазиклассическое приближение.

Продолжим работу с представлением ψ, ââåä¼ííûì â 2.5: ψ = Ae~ S; пусть A = eT ,

i i

тогда ψ = e~ S+T = e~ W . Подставим ψ в уравнение Шредингера

− ~2 · i W 00

2m ~

i~W 00 − (W 0)2

ψ0

W 0

· e~ W , ψ00

= e~ W

W 00

−

(W 0)2

, поэтому

(W 0)2 + (V − E) = 0

W 00 −

(W 0)2 + (E − V ) = 0

+ 2m(E − V ) = 0. Разложим W в ряд Тейлора по ~i :

~ ~ 2

W = W0 + W1 i + W2 i + . . .

2m(W00)2 = E − V W0 = ±Z

2m(E − V (x))dx;

классической

механике

W0 = ±

pdx + C0.

2m(E − V )

p является

импульсом

частицы, поэтому

члена,

òî åñòü

Условием допустимости сделанного приближения является малость

содержащего

W 00

W00

dλ

(W00)2 1

2π dx

2π

ãäå λ =

В нулевом приближении W = W0

, пренебрегаем в уравнении Шредингера членом,

содержащим ~; тогда

p дебройлевская длина волны частицы. Итак, длина волны частицы должна

мало изменяться на расстояниях порядка е¼ самой. Также, используя соотношение

m dV

p2m(E − V ) = −

можно записать

dλ

= p~2

2π

= p3~

это означает, что приближение

применимо

òåõ

случаях,

когда импульс частицы велик,

а потенциал изменяется достаточно плавно.

В первом приближении W = W0 +

W1; W

0 = W 0

W 0

, W 00 = W 00

W 00; подставляя

в уравнение Шредингера и пренебрегая членами

порядка

~2, получим i~W000 − (W00)2 −

W 0W 0

+ 2m(E

−

V ) = 0. Íî 2m(E

−

V ) = (W 0)2

, поэтому

0 1

W 00

+ 2W0W1

= 0

= −

W1 = −

ln |p| + C1.

2W00

Таким образом,

ψ ≈ e

W0+W1 =

C1e

·R pdx

+ C2e−

·R pdx .

Подобный подход к решению задач квантовой механики называется квазиклассическим приближением, методом фазовых интегралов или приближением ВентцеляКрамерсаБриллюэна (ВКБ).

3.2. Стационарная теория возмущений.

Пусть гамильтониан системы представим в виде H = H0 + H0, прич¼м влияние H0 достаточно мало, а решение задачи H0 ψ(0) = E(0)ψ(0) известно. Для удобства запишем H = H0 +λ V, λ 1. Будем искать k-ое состояние, то есть решение задачи H ψk = Ekψk, ãäå Ek = Ek(λ), ψk = ψk(ri, λ). Разложим ψk è Ek в степенной ряд по λ:

ψk = ψk(0) + λψk(1) + λ2ψk(2) + . . . , Ek = Ek(0) + λEk(1) + λ2Ek(2) + . . . .

Функции ψ1(0), . . . ψn(0) образуют полную ортонормированную систему, поэтому i ≥ 0

ψk(i) = PCnψn(0); ïðè i = 0 Cn = δkn.

Начн¼м с рассмотрения случая невырожденного спектра; подставим разложения для ψk, Ek в уравнение Шредингера: H ψk = Ekψk

(H0 +λ V)(ψk(0) +λψk(1) +λ2ψk(2) +. . .) = (Ek(0) +λEk(1) +λ2Ek(2) +. . .)(ψk(0) +λψk(1) +λ2ψk(2) +. . .).

Приравняем члены при одинаковых степенях λ, тогда

(H0 −Ek(0))ψk(0) = 0, (H0 −Ek(0))ψk(1) + (V −Ek(1))ψk(0) = 0, (H0 −Ek(0))ψk(2) + (V −Ek(1))ψk(1) − Ek(2)ψk(0) = 0, . . .

(H0 −Ek(0))ψk(s) + (V −Ek(1))ψk(s−1) − Ek(2)ψk(s−2) − . . . − Ek(s)ψk(0) = 0.

Домножим второе уравнение скалярно на ψk(0) слева:

(ψk(0), (H0 −Ek(0))ψk(1)) + (ψk(0), (V −Ek(1))ψk(0)) = 0

(H0 ψk(0), ψk(1)) − Ek(0)(ψk(0), ψk(1)) + (ψk(0), V ψk(0)) − Ek(1) = 0 (H0 ψk(0) = Ek(0)ψk(0))

(ψk(0), V ψk(0)) − Ek(1) = 0 (ψk(0), V ψk(0)) = Ek(1).

Аналогично Ek(2) = (ψk(0), V ψk(1)), . . . Ek(s) = (ψk(0), V ψk(s−1)).

Теперь домножим это же уравнение на ψm(0)

(m 6= k):

(ψm(0), (H0 −Ek(0))ψk(1)) + (ψm(0), (V −Ek(1))ψk(0)) = 0

Em(0)(ψm(0), ψk(1)) − Ek(0)(ψm(0), ψk(1)) + (ψm(0), V ψk(0)) = 0

ψk(1) =

Cnψn(0)

(ψm(0), ψk(1)) =

Cn(ψm(0), ψn(0)

Cnδmn = Cn!

n6=k

(ψm(0), V ψk(0))

ψ(1) =

(ψm(0), V ψk(0))

ψ(0), E(2) =

|(ψm(0), V ψk(0))|2

−

− Em(0)

E(0)

Em(0)

E(0)

· m

Em(0)

−

E(0)

k −

−

m6=k

(при суммировании опущен член Ck, который должен быть равен нулю согласно условию нормировки ψk = ψk(0) + λψk(1) в первом приближении по λ:

1 = (ψk, ψk) = (ψk(0), ψk(0)) + λ (ψk(0), ψk(1)) + (ψk(1), ψk(0)) = 1 + λ (ψk(0), ψk(1)) + (ψk(1), ψk(0))

Ck = (ψk(1), ψk(1)) = 0). Таким способом можно найти волновую функцию и энергию
любого состояния. Условием подобного приближения будет, очевидно, сходимость рядов
для энергии, то есть	(0)	(0)		2	(0)	(0)
			)\|
	\|(ψm	, V ψk			\|Em	− Ek \|.

<<< < Предыдущая 12 / 42 3 4 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Квантовая мех.pdf

#
21.05.2015202.96 Кб101sem7.pdf
#
21.05.2015492.46 Кб87sem8.doc
#
21.05.2015202.92 Кб73sem8.pdf
#
21.05.2015339.23 Кб66sem9.doc
#
21.05.2015186.85 Кб69sem9.pdf
#
21.05.2015406.74 Кб67Кое-что еще.pdf