Кванты / Квантовая мех.pdf / Кое-что еще

3.Приближ¼нные методы в квантовой механике. 19

3.1.Квазиклассическое приближение. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3.2.Стационарная теория возмущений. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3.3.Нестационарная теория возмущений. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3.4.Вариационные методы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.5.Адиабатическое приближение. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

4.Применение формализм Дирака к решению задач квантовой механики. 27

4.1.Общий формализм квантовой механики. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

4.2.Оператор углового момента. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

4.3.Ñïèí. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

4.4.Симметрия волновой функции. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

4.5.Сложение моментов. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

4.6.Механика тв¼рдого тела. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

4.7.Общий случай задачи о гармоническом осцилляторе. . . . . . . . . . . . . . . 35

4.8.Вторичное квантование свободного электромагнитного поля. . . . . . . . . . 36

4.9.Описание динамических состояний с помощью матрицы плотности. . . . . . 37

c С. В. Петров, Himera, А. Митяев, 2003.

Вопросы и комментарии можно отправлять по e-mail himer2001@mail.ru или бросать в ICQ 257457884.

1

1. Основные математические понятия.

квадратом (то есть f, f R(R)). В этом пространстве можно ввести полускалярное про-

Очевидно, для эрмитова

оператора A, f, ϕ (f, A ϕ) = (A f, ϕ) = (ϕ, A f) . Почти все операторы, рассматриваемые в квантовой механике, являются эрмитовыми (причина будет разъяснена в 2.1).

ими квадратами; тогда условием выполнения (f, A ϕ) = (A f, ϕ) станет α = −α, то есть A является эрмитовым в том и только том случае, когда α = ki, k R.

ную операцию можно применять к прямоугольными матрицам в частности, векторам (столбцам), которым соответствуют эрмитовски сопряж¼нные строки. Соответственно, для эрмитовых матриц выполняется свойство B = B+, а для унитарных матриц B+ = B−1.

(ψm, ψn) = 0.

Теорема 2 (о коммутирующих эрмитовых операторах): для того, чтобы эрмитовы операторы A и B коммутировали, необходимо и достаточно, чтобы они имели одинаковые наборы собственных функций.

λn. Значит, B ψn = µnψn.

2

ванных линейно независимых собственных векторов, соответствующих этому собственно-

му значению. Матрица B является эрмитовой, а потому может быть приведена к диагональному виду с помощью подобного унитарного преобразования, осуществляемого матрицей U: U+BU = b; согласно свойствам унитарной матрицы Uψ является ортонормиро-

[A, B]ψn=0, а поскольку ψn образуют полную ортонормированную систему функций, то

[A, B] = 0.

Определение: коммутатором линейных операторов A и B называется линейный оператор [A, B] = A B − B A.

Свойства коммутаторов:

1. [A, B] = −[B, A];

2. [A, B + C] = [A, B] + [A, C];

3. [A, BC] = [A, B]C + B[A, C];

4. [A, [B, C]] + [B, [C, A]] + [C, [A, B]] = 0 тождество Якоби.

Определение: δ-функцией Дирака называется оператор, действующий на интегрируемые на R функции так, что

становкой A в качестве аргумента разложения функции f в ряд Тейлора. Например,

+∞ An

P

eA = n=0 n! .

3

свободной частицы. В принципе, все рассуждения, предшествующие третьему постулату, являются скорее иллюстрацией выбора pˆ, нежели строгим выводом.

∂

= (Φ, i~ · ∂ pΦ)p.

~

Те же операции можно провести в тр¼хмерном случае; получим, что p = (ψ, i rψ)r.

Таким образом, импульсу соответствует оператор pˆ = ~i r такой, что p = (ψ, pˆψ). В основу квантовой механики заложено положение о том, что подобная процедура может быть выполнена для всех физических величин.

3. Постулат о среднем значении: среднее значение физической величины F (r, p)

∂

ãäå Fr = F (r, pˆ), Fp = F (ˆr, p), ˆr = i~∂ p.

Замечание: данное утверждение верно не только для физических величин, но и для

всех, пусть не определяемых экспериментально функций q (p) èç L

Замечание: этот постулат объясняет, почему в квантовой механике2). операторы физи-

ческих величин являются эрмитовыми. Для произвольного оператора при условии нормировки ψF = (ψ, F ψ) = (F ψ, ψ) действительная величина, поэтому (ψ, F ψ) = (F ψ, ψ), то есть оператор F является эрмитовым.

Определение: эрмитов оператор физической величины называется наблюдаемой.

Основные коммутационные соотношения: [qˆi, qˆj] = [pˆi, pˆj] = 0. Íàéä¼ì [qˆi, pˆj];

Наконец, сформулируем ещ¼ два постулата, смысл которых станет ясен в 2.2:

4. Постулат полноты: система собственных функций наблюдаемой полна (то есть позволяет выразить всякую функцию) в пространстве L2, расширенном нормировкой на

5

величины обращаются в ноль, если динамическое состояние частицы описывается собственной функцией оператора, соответствующего этой величине.

Соотношение неопредел¼нностей: пусть A è B физические величины, для которых [A, B] = i~. Рассмотрим α = A − A, β = B − B этим физическим величинам

Рассмотрим произвольную физическую величину F и спектр е¼ оператора F; случай дискретного спектра достаточно прост как известно, из собственных векторов линейного оператора всегда можно выбрать полный линейно независимый набор, который, после

процедуры ортонормировки, даст ортонормированный базис пространства L

следует из постулаты полноты см. 2.1). Проблема самой возможности нормировки2 (полнота(схо-

димости R ψnψndx) в данном случае не стоит: мы полагаем, что силы действуют лишь в ограниченной области пространства, а потому волновые функции достаточно быстро убывают к нулю на бесконечности случай их бесконечного возрастания лиш¼н физического смысла, поскольку означает, что частица "уходит" от действия внешних сил. Обозначим

того, что в ходе конкретного измерения физическая величина F примет значение λn. Отметим ещ¼ одно важное свойство: δ-функция также может быть разложена по полно-

поэтому Pψn(x0)ψn(x) = δ(x − x0).

n

Пример (собственные значения оператора lˆz): в классической механике lz = xpy −ypx,

6

Таким образом, в сферических координатах lˆz = −i~ · ∂∂ϕ. Это означает, что зависи- мость собственных функций от r è θ произвольна: ψ(r, ϕ, θ) = f(r, θ)Φ(ϕ), а уравнение

iλ

на собственные значения примет вид −i~Φ0 = λΦ Φ = Φ0e ~ ϕ. Значения ϕ è ϕ + 2π эквивалентны, поэтому Φ должна быть периодической функцией с периодом 2π. Ýòî îçíà-

рим, например, собственные функции оператора кинетической энергии: T ψ = λψ

значениями T . При этом собственные функции представимы в виде ψ = C1 sin(ωx + C2), то есть их квадраты неинтегрируемы на R. Существуют два подхода к рассмотрению таких функций введение собственных дифференциалов или нормировка на δ-функцию.

Собственные дифференциалы: рассмотрим малые участки δp числовой оси;

Соответственно,

x

подобного соотношения возможно только в случае f(p0, p00) = (yp0 , yp00 ) = δ(p0 − p00). Таким образом, для рассмотрения собственных функций произвольного оператора достаточно

расширить пространство L2 возможностью нормировки на δ-функцию, то есть элементы f : (f, f) = δ(0). Нормировка ψ определится условием

7

Замечание: при вычислении средних значений физических величин мы уже сталкивались с двумя представлениями оператора F координатным и импульсным (при этом опе-

n{p}

ные произведения базисных функций в p-представлении, то есть представлении векторов

базиса как функций p, à íå x; ïðè ýòîì p произвольная физическая величина. Подробнее о представлениях см. 2.7.

2.3. Уравнение Шредингера и его простейшие следствия.

i~∂ ψ = H ψ, основное уравнение квантовой механики. Здесь H гамильтониан; оператор,

∂ t

проинтегрируем полученное равенство по всему объ¼му конфигурационного пространства,

тогда ∂∂t(ψ, ψ) = i1~((ψ, H ψ) − (H ψ, ψ)) = 0.

8

2. Условия сохранения среднего значения физической величины. Найд¼м скорость изменения среднего значения физической величины F ; пусть F, H не зависят явным

образом от времени. Тогда, поскольку F = (ψ, F ψ),

Таким образом, условиями сохранения величины F (существования интеграла движения) являются ∂ F

∂t = 0, [F, H] = 0.

3.Поток вероятности. Рассмотрим уравнение Шредингера для свободной частицы

где ρ плотность вероятности обнаружения частицы в той или иной точке пространства. Логично обозначить

j= −2im~ (ψ rψ − ψrψ ) ∂∂ ρt + rj = 0

уравнение непрерывности потока вероятности (здесь j поток вероятности ).

менных (x è t), поэтому обе части равенства тождественно постоянны и равны некоторой

E постоянной разделения. Как оказалось, эта постоянная имеет смысл энергии, а потому она сразу же поiëучает соответствующее обозначение. После подстановки получим i~f0 = Ef f = e− ~ Et è H ψ = Eψ стационарное уравнение Шредингера, являющееся, по сути дела, задачей на собственные значения оператора H. Решением этой задачи

могут быть как дискретный, так и непрерывный спектры H, а собственные функции ψ связаны теми же соотношениями, что для других наблюдаемых (см. 2.2). Обычно именноn

собственные функции гамильтониана используют в качестве базисных.

Определение: стационарными состояниями называются состояния, имеющие оïi редел¼нную энергию, то есть состояния, описываемые волновыми функциями вида ψne− ~ Ent,

ãäå ψ

состоянийn собственныеявляются независимостьфункции гамильтонианаот времени.плотностиОсновнымии потокаособенностямивероятностистационарных.

Начальные условия: лучшим способом задания начальных условий является указание явного вида волновой функции в нулевой момент времени ( Ψ(x, 0)). Из предыдущего

P

абзаца следует, что Ψ(x, 0) = Cnψn(x); домножим скалярно это равенство на ψm (m 6= n)

n

P

слева; тогда (ψm, Ψ(x, 0)) = Cnδmn = Cm, то есть начальные условия позволяют легко

n

определить коэффициенты разложенияi функции состояния по базисным функциям. До- множение таких слагаемых на e− ~ Ent и нормировка приводят к ответу искомой волновой функции.

9