Вариант 1

1. Вынесите за скобку общий множитель: а) ; б); в), где,.

2. Разложите на множители выражение: а) ; б); в), где.

3. Найдите значение выражения при,.

4. Известно, что при некотором значении переменной значение выраженияравно 9. Найдите, чему равно при этом же значениизначение выражения: а); б); в).

5. Найдите многочлен и вычислите его значение при, если.

6. Разложите на множители выражение: а) ; б).

7. Сколько корней имеет уравнение при различных значениях параметра?

Вариант 2

2. Вынесите за скобку общий множитель: а) ; б); в), где,.

3. Разложите на множители выражение: а) ; б); в), где.

4. Найдите значение выражения при,.

5. Известно, что при некотором значении переменной значение выраженияравно 8. Найдите, чему равно при этом же значениизначение выражения: а); б); в).

6. Найдите многочлен и вычислите его значение при, если.

7. Разложите на множители выражение: а) ; б).

8. Сколько корней имеет уравнение при различных значениях параметра?

Вариант 3

1. Вынесите за скобку общий множитель: а) ; б); в), где.

2. Разложите на множители выражение: а) ; б); в), где.

3. Найдите значение выражения при,.

4. Известно, что при некотором значении переменной значение выраженияравно 2. Найдите, чему равно при этом же значениизначение выражения: а); б); в).

5. Найдите значение многочлена при, если.

6. Разложите на множители выражение: а) ; б).

7. Найдите корень уравнения (а – параметр) при , и . Запишите формулу зависимости корней уравнения от параметра, еслии.

Самостоятельная работа № 13

§ 10. Применение разложения многочлена на множители

Основные сведения

Произведение нескольких множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из них равен нулю, а все другие при этом не теряют смысл. Если левую часть уравнения можно разложить на множители, гдеи– многочлены, то данное уравнение равносильно совокупности уравненийи.

Подготовительный вариант

1. Найдите множество корней уравнения: а) ; б); в).

2. Найдите значение выражения: а) ; б).

3. Докажите, что выражение: а) кратно 28; б),, кратно 13.

4. Решите уравнение: а) ; б); в).

5. При каких значениях переменной выражение: а) не имеет смысла; б)имеет смысл?

6. Найдите общие корни уравнений и, если они существуют.

7. Найдите модуль разности корней уравнения .

Вариант 1

1. Найдите множество корней уравнения: а) ; б).

2. Найдите значение выражения: а) ; б).

3. Докажите, что выражение: а) кратно 33; б),, кратно 33.

4. Решите уравнение: а) ; б); в).

5. При каких значениях переменной выражение: а) не имеет смысла; б)имеет смысл?

6. Найдите общие корни уравнений и, если они существуют.

7. Найдите модуль разности корней уравнения .

Вариант 2

1. Найдите множество корней уравнения: а) ; б).

2. Найдите значение выражения: а) ; б).

3. Докажите, что выражение: а) кратно 17; б),, кратно 21.

4. Решите уравнение: а) ; б); в).

5. При каких значениях переменной выражение: а) не имеет смысла; б)имеет смысл?

6. Найдите общие корни уравнений и, если они существуют.

7. Найдите модуль разности корней уравнения .

Вариант 3

1. Найдите множество корней уравнения: а) ; б).

2. Найдите значение выражения наиболее рациональным способом: а) ; б).

3. Докажите, что выражение: а) кратно 13; б),, кратно 31.

4. Решите уравнение, разложив его левую часть на множители: а) ; б); в).

5. При каких значениях переменной выражение: а) не имеет смысла; б)имеет смысл?

6. Найдите общие корни уравнений и, если они существуют.

7. Найдите модуль разности корней уравнения .

Самостоятельная работа № 14

§ 11. Разность квадратов

Основные сведения

Произведение разности двух выражений и их суммы равно разности квадратов этих выражений, т.е. . Это – одна изформул сокращенного умножения. Применение тождества называютразложением на множители разности квадратов.

Подготовительный вариант

1. Представьте в виде многочлена выражение: а) ; б); в),.

2. Разложите на множители выражение: а) ; б); в); г).

3. Вычислите значение выражения: а) ; б).

4. Решите уравнение: а) ; б).

5. Докажите, что выражение при любых значениях переменной принимает лишь положительные значения.

6. Найдите множество корней уравнения: а) ; б).

7. Сравните числа и.

Вариант 1

1. Представьте в виде многочлена выражение: а) ; б); в),.

2. Разложите на множители выражение: а) ; б); в); г).

3. Вычислите значение выражения: а) ; б).

4. Решите уравнение: а) ; б).

5. Докажите, что выражение при любых значениях переменной принимает лишь положительные значения.

6. Найдите множество корней уравнения: а) ; б).

7. Сравните числа и.

Вариант 2

1. Представьте в виде многочлена выражение: а) ; б); в),.

2. Разложите на множители выражение: а) ; б); в); г).

3. Вычислите значение выражения: а) ; б).

4. Решите уравнение: а) ; б).

5. Докажите, что выражение при любых значениях переменной принимает лишь положительные значения.

6. Найдите множество корней уравнения: а) ; б).

7. Сравните числа и.

Вариант 3

1. Представьте в виде многочлена выражение: а) ; б); в),.

2. Разложите на множители выражение: а) ; б); в); г).

3. Вычислите значение выражения: а) ; б).

4. Решите уравнение: а) ; б).

5. Докажите, что выражение при любых значениях переменной принимает лишь отрицательные значения.

6. Найдите множество корней уравнения: а) ; б).

7. Сравните числа и.

Самостоятельная работа № 15

§ 12. Квадрат суммы и квадрат разности

Основные сведения

Квадрат суммы двух выражений равен сумме квадрата первого выражения, удвоенного произведения первого и второго выражений и квадрата второго выражения, т.е. . Квадрат разности двух выражений равен сумме квадратов первого и второго выражений без удвоенного произведения первого и второго выражении, т.е.. Заметим, что.

Применение тождеств иназываютразложением на множители квадратных трехчленов и.

Подготовительный вариант

1. Представьте в виде многочлена выражение: а) ; б); в); г).

2. Представьте трехчлен в виде квадрата двучлена: а) ; б); в).

3. Найдите множество корней уравнения: а) ; б).

4. Найдите значение выражения при,.

5. В выражении измените один из коэффициентов так, чтобы получившийся трехчлен можно было бы представить в виде квадрата двучлена. Сколькими способами можно это сделать?

6. Решите уравнение .

7. Докажите, что уравнение равносильно уравнению.

Вариант 1

1. Представьте в виде многочлена выражение: а) ; б); в).

2. Представьте в виде квадрата двучлена: а) ; б); в).

3. Найдите множество корней уравнения: а) ; б).

4. Найдите значение выражения при,.

5. В выражении измените один из коэффициентов так, чтобы получившийся трехчлен можно было бы представить в виде квадрата двучлена. Сколькими способами можно это сделать?

6. Решите уравнение .

7. Докажите, что уравнение равносильно уравнению.

Вариант 2

1. Представьте в виде многочлена выражение: а) ; б); в).

2. Представьте в виде квадрата двучлена: а) ; б); в).

3. Найдите множество корней уравнения: а) ; б).

4. Найдите значение выражения при,.

5. В выражении измените один из коэффициентов так, чтобы получившийся трехчлен можно было бы представить в виде квадрата двучлена. Сколькими способами можно это сделать?

6. Решите уравнение .

7. Докажите, что уравнение равносильно уравнению.

Вариант 3

1. Представьте в виде многочлена выражение: а) ; б); в).

2. Представьте в виде квадрата двучлена: а) ; б); в).

3. Найдите множество корней уравнения: а) ; б).

4. Найдите значение выражения при,.

5. В выражении измените один из коэффициентов так, чтобы получившийся трехчлен можно было бы представить в виде квадрата двучлена. Сколькими способами можно это сделать?

6. Решите уравнение .

7. Докажите, что уравнение равносильно уравнению.

Самостоятельная работа № 16

§ 12. Квадрат суммы и квадрат разности

Основные сведения

Квадратным трехчленом называется многочлен вида , где– переменная,– некоторые числа, причем. Числоназываетсястаршим коэффициентом квадратного трехчлена, –свободным членом. Любой квадратный трехчлен, у которого старший коэффициент равен 1, можно записать в виде суммы квадрата двучлена и некоторого числа, т.е. выделить из квадратного трехчлена квадрат двучлена. Т.е., всегда можно записать .

Подготовительный вариант

1. Запишите в стандартном виде и укажите: а) старший коэффициент квадратного трехчлена ; б) свободный член квадратного трехчлена.

2. Выделите квадрат двучлена из квадратного трехчлена: а) ; б).

3. Разложите на множители квадратный трехчлен, выделив квадрат двучлена: а) ; б).

4. Решите уравнение, разложив его левую часть на множители с помощью выделения квадрата двучлена и применив формулу разности квадратов двух выражений: а) ; б).

5. Докажите, что при любых значениях переменной значение квадратного трехчлена: а) положительно; б)отрицательно.

6. Найдите: а) наименьшее значение квадратного трехчлена ; б) наибольшее значение квадратного трехчлена.

7. Дан прямоугольник со сторонами 2 и 14 см. Большую его сторону уменьшили на см, а меньшую увеличили насм. При каком значенииплощадь полученного прямоугольника будет наибольшей?