2 курс / ТОЭ / demirch / ТОЭ / Демирчян, Нейман, Коровкин, Чечурин. Теоретические основы электротехники.т.2.2003

При численном расчете нелинейных цепей существенным является способ представления характеристик нелинейных элементов, оказывающих влияние на точность и свойства решения. Применение таких методов аппроксимации нелинейных характеристик, как методы Лагранжа и Ньютона, не приводит к увеличению точности при росте числа точек, когда находят коэффициенты полинома, описывающего нелинейную характеристику во всем диапазоне изменения аргумента. Лучшие результаты можно получить при разбиении нелинейной характеристики на участки с ее последующей аппроксимацией на уча- стках.

При кусочно-линейной аппроксимации производные yn Sn (n 1, 2, ..., N)

на границах участков разрывны, что при численных расчетах недопустимо. Применение полиномов, порядок которых превышает единицу, позволяет обеспе- чить на границах участков непрерывность производных заданного порядка. Так, при использовании кубических полиномов y(x) a0 + a1x + a2x2 + a3x3 непрерывными будут не только функция y(x), но и ее первая и вторая производные.

Записывая нелинейную характеристику на n-м участке в виде

и используя условие непрерывности первой y (x) и второй y (x) производных на общих границах участков, приходим к системе линейных уравнений (n 1, ..., N)

относительно величин Sn. Для получения решения необходимо задать значения Sn ïðè n 1 è n N + 1, которые можно определить приближенно из исходной нелинейной характеристики y(x).

Рассмотренный подход носит название метода аппроксимации с помощью сплайн-функций. Наряду с кубическими находят применение также сплайнфункции других порядков.

384 Часть 3. Теория нелинейных электрических и магнитных цепей

20.8. Составление системы нелинейных уравнений электрической цепи постоянного тока при условии обеспечения единственности решения

При расчете сложной нелинейной цепи всегда будет стоять вопрос, единственно ли полученное численное решение или существуют и другие решения, которые должны быть определены путем задания других начальных приближений. Если заранее известно, что в данной цепи возможно единственное решение, то необходимость такого численного исследования отпадает. Это — очень важное обстоятельство с точки зрения экономии времени расчета, так как получение полного набора решений системы нелинейных алгебраических уравнений электрической цепи при помощи ЭВМ — и в настоящее время труднорешаемая задача.

Единственность решения системы уравнений цепи возможна, если наложить определенные ограничения на ВАХ элементов и на выбор дерева графа схемы. Если цепь содержит хотя бы один элемент с неуправляемой ВАХ, то для такой цепи невозможна единственность решения. Поэтому отсутствие элементов с неуправляемыми ВАХ является обязательным условием существования единственности решения.

Матрично-топологический аппарат позволяет определять токи в обобщенных ветвях дерева через токи связей и напряжения связей через напряжения обобщенных ветвей дерева при помощи соотношений (см. § 3.16, т. I)

ний обобщенных ветвей цепи, ветвей дерева и связей графа. Таким образом,

Если ВАХ элемента управляема током, то такой элемент в топологической схеме может быть рассмотрен только как ветвь дерева, напряжение которой однозначно определится токами связей. Если ВАХ элемента управляема напряжением, то такой элемент в топологической схеме может быть рассмотрен только как связь, ток в которой однозначно определится напряжением ветвей дерева. Смысл этих ограничений довольно просто понять, если рассмотреть два определенных случая.

Если во всех ветвях дерева имеются только источники ЭДС, то напряжения связей будут заданы этими ЭДС. Единственность решения может быть обеспе- чена, если ВАХ элементов таковы, что токи в связях однозначно определяются через напряжения, т. е. когда ВАХ управляемы напряжением. Если же во всех связях имеются только источники тока, то токи в ветвях дерева будут заданы токами источников. Единственность решения может быть обеспечена, если ВАХ элементов таковы, что напряжения ветвей дерева однозначно определяются че- рез токи ветвей, т. е. когда ВАХ управляемы током. Таким образом, токи в связях единственным образом определяются через напряжения ветвей дерева, а напря-

Глава 20. Расчет нелинейных электрических и магнитных цепей при постоянном токе 385

жения ветвей дерева — через токи связей. Такая взаимная однозначность позволит, например, методом последовательных приближений определить искомые токи в связях и напряжения ветвей дерева. Следовательно, конфигурация исходной цепи и ВАХ элементов этой цепи сужают свободу выбора дерева графа. Элементы с управляемыми током ВАХ с самого начала построения дерева графа должны быть отнесены к ветвям дерева, а элементы с управляемыми напряжением ВАХ — к связям графа.

Элементы с монотонными ВАХ, и в частном случае с линейными ВАХ, могут войти и в состав дерева графа, и в связи графа. Такие ВАХ управляемы и током, и напряжением.

Возникает вопрос о минимальном числе искомых величин и о форме записи уравнений нелинейных цепей. Для цепи с p ветвями, как правило, должны быть заданы ð ВАХ элементов ветвей. В общем случае неизвестны p напряжений и p токов в ветвях. Поэтому общее число уравнений должно быть равно p, êàê è â

токов в q – 1 сечениях и n скалярных уравнений для контуров, т. е. всего p скалярных уравнений.

Пусть q – 1 ветвей, содержащих элементы с управляемыми током ВАХ, составляют дерево графа и n ветвей, содержащих элементы с управляемыми напряжением ВАХ, — связи графа. Обозначим напряжения и токи ветвей дерева через uäk è iäk, причем k 1... (q – 1). Напряжения и токи связей обозначим через

uñj è iñj, причем j q [ p. Тогда будем иметь q – 1 ÂÀÕ âèäà uäk fk(iäk) Rk(iäk) è ï ð – q + 1 ÂÀÕ âèäà iñj !j(iñj) Gj(uñj). Следовательно, искомыми величи-

нами должны быть q – 1 напряжений ветвей дерева и ï токов связей, которые однозначно определяются согласно следующим матричным соотношениям:

u ä f(i ä ) R(i ä ) è i c !(u c ) G(u c ),

ãäå

u ä colon(uä1, uä2, ,uäq 1);

R(i ä ) colon[f1(i1), , fq 1(iq 1)] colon[R1(i1), , Rq 1(iq 1)];

i ñ colon(icq , , icp ); G(u ñ ) colon[!q (uq ), , !p (up )] colon[Gq (uq ), ,Gp (up )].

В последних выражениях символы R(i) è G(u) обозначают нелинейные матричные функции, и не следует делать ошибку, принимая их за матрицы сопротивлений и проводимостей.

Имея в виду, что для обобщенных ветвей графа схемы существуют (см. § 3.12,

u ä f(i ä ) R(i ä ) è i c !(u c ) G(u c ),

Применительно к электрическим цепям для случая, когда õ iñ, т. е. для токов в связях, имеем

ãäå gq, ..., gp — дифференциальные проводимости нелинейных элементов связей q ... p. Эта последняя матрица диагональна, так как ток каждой связи определяется напряжением именно этой связи, и поэтому äis/äuj 0, åñëè s j. Следовательно, в методе Ньютона будем иметь

если аналогично определить äuä/äiä rä — диагональную матрицу дифференциальных сопротивлений ветвей дерева. Индексы у матриц g kñ è räk означают, что элементы этих матриц определены для значений токов и напряжений на k-м шаге итераций. Именно необходимость такого пересчета на каждом шаге итераций и последующее обращение матриц порядка (ï n) èëè [(q – 1) (q – 1)] и являются существенными недостатками метода Ньютона.

Выражение gñFräFt + 1 можно преобразовать следующим образом. Представим 1 gg ñ1. Тогда

g ñ (FräF t rñ ) g ñCrCt .

Здесь C — матрица контуров графа цепи; r — диагональная матрица дифференциальных сопротивлений цепи. С учетом этого тождества для метода Ньютона можно получить выражение

В заключение заметим, что итерационный метод Ньютона может быть непосредственно использован для получения решения линейной задачи. Причем первый же шаг определит истинное значение поправки. Поскольку ВАХ линейны, то значения дифференциальных параметров совпадают со значениями ста-

388 Часть 3. Теория нелинейных электрических и магнитных цепей

Матрица D= переносит все источники тока в ветви дерева. Умножение R ä D= эквивалентно преобразованию всех источников токов в ветвях дерева

âисточники ЭДС. Умножение на F определяет вклад этих эквивалентных ЭДС

âконтурные уравнения.

Таким образом, применение матрично-топологических методов для решения задач расчета нелинейных цепей постоянного тока позволяет формализовать составление уравнений цепи, сокращать число решаемых уравнений и в некоторых случаях обеспечивает формирование такой системы уравнений, которая гарантировала бы единственность решения. В сочетании с возможностями ЭВМ этот метод позволяет решать широкий класс задач нелинейных цепей.

20.9. Аналитическое исследование особых свойств нелинейных электрических цепей постоянного тока при малых отклонениях от заданного режима

Нелинейная зависимость между токами и напряжениями в нелинейных электрических цепях придает этим цепям ряд особых замечательных свойств, которые с успехом используются в различных устройствах, особенно в электроизмерительных и автоматических. Эти особые свойства проявляются в своеобразном поведении нелинейных цепей при отклонении токов и напряжений от их значе- ний при заданном режиме. Некоторые из этих свойств были отмечены в § 20.2 при рассмотрении нелинейных элементов электрической цепи.

Так, например, можно осуществить устройства, в которых при отклонении в известных пределах напряжения u1 на входных зажимах от номинального его значения напряжение u2 на выходных зажимах остается неизменным или практи- чески неизменным. Такое устройство служит стабилизатором напряжения. Примером является стабиловольт, описанный в § 20.2. Аналогично можно с помощью нелинейных элементов, например бареттера, добиться стабилизации тока.

С помощью мостовой электрической цепи с нелинейными элементами можно установить, что напряжение u2 на выходных зажимах в диагонали моста будет равно нулю только при одном определенном заданном значении напряжения u1 на входных зажимах в другой диагонали моста. При отклонении величины u1 от этого значения появляется напряжение u2, отличное от нуля. При этом увеличению u1 соответствует напряжение u2 одного знака, уменьшению u1 — напряжение u2 другого знака. Такое устройство может служить указателем (индикатором) отклонения напряжения u1 от заданного его значения и может быть использовано для автоматического поддержания этого напряжения вблизи заданного значения.

Для аналитического исследования поведения нелинейной электрической цепи при небольших отклонениях от заданного режима нет необходимости располагать аналитическим выражением всей характеристики каждого нелинейного элемента, входящего в состав цепи. Достаточно выразить уравнением небольшую часть характеристики вблизи точки A, соответствующей заданному режиму. Обычно бывает достаточно заменить этот участок характеристики отрезком прямой, касательной к характеристике в точке A (рис. 20.38). Уравнение этой прямой имеет вид

u u0 rä i,

Глава 20. Расчет нелинейных электрических и магнитных цепей при постоянном токе 389

ãäå u0 определяется точкой пересечения прямой с осью ординат (рис. 20.38), а rä k tg Π есть динамическое сопротивление нелинейного элемента в точке À

пользуемся этим методом для аналитического иссле-

Схема стабиловольта показана на рис. 19.15. Обозначим сопротивление приемника N через r2. Имеем систему уравнений

u1 ri1 u2 ; u2 r2i2 ; u2 u0 rä i; i1 i i2 . Подставив в третье уравнение i i1 – i2 из четвертого и

заменив i2 через u2 /r2 из второго, выразим i1 через u2. Подставив это выражение для i1 в первое уравнение, получаем

Качество работы стабилизатора напряжения характеризуют так называемым коэффициентом стабилизации k, равным отношению относительного измененияu1/u1 первичного напряжения к относительному изменению u2 /u2 вторичного напряжения, т. е. равным

Из уравнения связи между u2 è u1 имеем

Следовательно, искомый коэффициент стабилизации имеет выражение

Желательно иметь k возможно большим, так как при этом большому относительному изменению первичного напряжения будет соответствовать малое относительное изменение вторичного напряжения. Из последнего выражения

390 Часть 3. Теория нелинейных электрических и магнитных цепей

видно, что k ïðè rä 0, т. е. если точка À лежит на горизонтальном участке характеристики. В этом случае вторичное напряжение u2 остается постоянным при изменении первичного u1.

Полученное выражение позволяет вычислить коэффициент стабилизации для любой точки характеристики и любого значения u1.

В действительности характеристика нелинейного элемента стабиловольта в используемой рабочей ее части имеет некоторый наклон к оси абсцисс, различ- ный в разных точках. Пользуясь графическим методом, изложенным в § 20.2, можно найти для различных значений первичного напряжения u1 и сопротивления r2 нагрузки положение точки À на характеристике и соответствующие ей значения rä è u0. Располагая этими значениями, нетрудно по последней формуле получить величину k. Таким путем можно найти зависимости k F(u1) ïðè ðàç-

личных r2.

Подчеркнем, что стабилизация напряжения достигается только благодаря нелинейным свойствам цепи. Действительно, если заменить нелинейный элемент линейным с постоянным сопротивлением, то мы имели бы u0 0 è k 1, т. е. относительные изменения первич- ного и вторичного напряжений были бы равны друг дру-

гу и никакой стабилизации не было бы.

В качестве другого примера исследуем симметрич- ный мост с двумя одинаковыми нелинейными элементами в двух противоположных плечах (рис. 20.40) и двумя одинаковыми постоянными (линейными) сопротивлениями r в других плечах. Имеем уравнения

u1 u ri ; u u2 ri ;

i i i2 ; u u0 rä i ; u2 r2 i2 .

Подставим i из третьего уравнения в четвертое. Найденное выражение для u подставим в первое и второе уравнения и выразим i2 через u2 согласно пятому уравнению. Получим два уравнения, содержащих u1, u2 è i , исключая из которых i , найдем связь между u2 è u1 â âèäå

Ïðè rä r напряжение u2 на выходе не зависит от u1 на входе, т. е. мост работает как стабилизатор напряжения. Коэффициент стабилизации равен

Ïðè rä r имеем k , т. е. полную стабилизацию вторичного напряжения, которое при этом равно

Тот же мост можно использовать и как указатель отклонения u1 первичного напряжения от некоторого заданного его значения u1. С этой целью уравновесим мост при этом значении напряжения u1 на его входе. Очевидно, равновесие, т. е. u2 0, будет достигнуто, когда статическое сопротивление нелинейных элементов в плечах моста будет равно сопротивлению r в других линейных плечах, т. е.

ïðè rñò r.

Воспользовавшись уравнением, связывающим u2 è u1, и взяв приращения u2 è u1, найдем

Величину называют коэффициентом усиления моста. Мощность, передаваемая во вторичную цепь, равна

Можно подобрать сопротивление r2 вторичной цепи таким, чтобы мощность p2 была наибольшей при заданных u1, rä è r. Взяв производную от p2 ïî r2 и приравняв ее к нулю, получим

òàê êàê r rñò.

Коэффициент усиления в этом случае

При любых rä > 0 абсолютное значение не превышает 0,5. Тем не менее, такое устройство дает возможность наблюдать весьма малые относительные отклонения u1/u1 первичного напряжения от заданного его значения u1, так как при заданном значении u1 напряжение u2 во вторичной цепи равно нулю, и, следовательно, для отсчета величины u2 может быть взят прибор с весьма большой чувствительностью. Отклонения прибора во вторичной цепи можно использовать путем воздействия на соответствующие регулирующие устройства для автоматического поддержания заданного значения u1 с очень большой точностью.

Из рассмотренных примеров видим, что метод линеаризации характеристики нелинейного элемента вблизи ее рабочей точки A может быть с успехом использован для аналитического исследования ряда важных свойств нелинейных электрических цепей.

392 Часть 3. Теория нелинейных электрических и магнитных цепей

Отметим, что, кроме рассмотренных особых свойств нелинейных электриче- ских цепей, можно получить в этих цепях и другие весьма ценные свойства. Так, при наличии в цепи нелинейных элементов с падающей характеристикой возможны, как убедимся в последующем, неустойчивые режимы. При этом оказывается возможным осуществить устройства, в которых при плавном изменении напряжения u1 на входных зажимах в момент достижения им некоторого заданного значения напряжение u2 на выходных зажимах изменяется скачком. Это свойство может быть использовано в релейных устройствах.

20.10. Законы и параметры магнитных цепей

В электрических цепях нам удается создавать весьма протяженные направленные пути для электрического тока, что является результатом очень большого различия удельной проводимости Ξïð проводников и удельной проводимости Ξèç окружающей их изолирующей среды. Так, для меди Ξïð 5,8 107 1/Ом м, а для пропитанной кабельной бумаги Ξèç 10–13 1/Îì ì, ò. å. ïðè ýòîì Ξïð/Ξèç 5,8 1020. Для магнитных цепей не имеем столь большого различия между абсолютной магнитной проницаемостью ôåð ферромагнитных материалов участков магнит-

ной цепи, которые должны образовывать путь для магнитных линий, и абсолютной магнитной проницаемостью â 0 окружающей среды, обычно воз-

духа. Их отношение имеет порядок ôåð/ 0 103...104, а при насыщении ферромагнитных материалов ста-

новится еще меньше. Поэтому значительная часть потока ответвляется от основной магнитной цепи и проходит через воздух в виде так называемого по-

Ðèñ. 20.41 тока рассеяния. Следовательно, даже при коротких магнитных цепях имеем магнитные цепи с распределенными параметрами. Кроме того, вдоль основной магнитной цепи часто

располагают воздушные промежутки. Таковым, например, является воздушный промежуток между полюсами электромагнита (рис. 20.41). Магнитная проницаемость этих промежутков равна магнитной проницаемости окружающей магнитную цепь среды, вследствие чего здесь трудно говорить об определенном пути для магнитных линий.

Зависимость магнитной индукции от напряженности магнитного поля нелинейна и вследствие явления гистерезиса неоднозначна. Поэтому магнитные цепи, как правило, являются нелинейными.

Все сказанное весьма усложняет расчеты магнитных цепей даже при постоянном магнитном потоке, т. е. при постоянном токе в намагничивающих катушках. Строгий расчет здесь может быть выполнен только с привлечением методов теории электромагнитного поля. Однако приближенное решение можно и здесь получить, вводя понятие о магнитной цепи и, соответственно, используя теорию, основанную на этом понятии, т. е. теорию магнитных цепей.

Пренебрегая потоками рассеяния, получаем магнитную цепь с сосредоточенными параметрами. Если магнитная цепь не имеет разветвлений (рис. 20.41), то