3. Реализация фнч и фвч более высокого порядка.

Если амплитудная характеристика фильтра второго порядка оказывается недостаточно крутой, следует применять фильтр более высокого порядка. Для этого последовательно соединяют звенья, представляющие собой фильтры первого и второго порядка. В этом случае характеристики звеньев фильтра перемножаются. Как видно из рис.25, каскадное соединение фильтра второго порядка и фильтра первого порядка дает фильтр третьего порядка, а каскадное соединение двух фильтров второго порядка - фильтр четвертого порядка и т. д. Фильтры нечетных порядков обычно строятся из фильтра первого порядка в качестве первого каскада и нескольких фильтров второго порядка в качестве остальных каскадов. Однако следует иметь в виду, что последовательное соединение, например двух фильтров Баттерворта второго порядка, не приведет к получению фильтра Баттерворта четвертого порядка. Результирующий фильтр будет иметь другую частоту среза и другую частотную характеристику. Поэтому необходимо задавать такие коэффициенты звеньев фильтра, чтобы результат перемножения их частотных характеристик соответствовал желаемому типу фильтра.

В таблице Приложения 2 приведены коэффициенты a _i и b _i звеньев фильтров до четвертого порядка.

Для расчета схемы звена фильтра, необходимо в формулах для расчета элементов схемы заменить коэффициенты a ₁ и b ₁ на a _i и b _i и подставлять требуемую частоту среза результирующего фильтра. Звенья фильтра, как правило, имеют другие значения частот среза (см. таблицу).

4. Полосовой фильтр.

Обычный метод реализации полосовых фильтров с высокой добротностью, состоит в применении колебательных контуров.

На рис.26 приведена схема пассивного LRC - фильтра. Его передаточная функция равна

Учитывая, что резонансная частота Wp = 1 / LC, запишем последнее выражение в следующем виде

Отсюда с учетом формулы (11), получим

и

В области высоких частот индуктивность с малыми потерями может быть выполнена достаточно просто. В области низких частот индуктивности оказываются слишком большими и обладают плохими электрическими характеристиками. Например, для полосового фильтра по схеме рис.26 с резонансной частотой fp = 10 Гц необходимы конденсатор С = 10 мкФ и индуктивность L = 25,3 Гн. Однако передаточную функцию полосового фильтра можно реализовать с помощью операционного усилителя с частотно - зависимой обратной RC - связью.

Схема полосового фильтра со сложной отрицательной связью приведена на рис.27. Ее передаточная функция при условии

С₁ = С₂ = С, имеет следующий вид

Из сравнения этого выражения с передаточной функцией ПФ (11) следует, что коэффициент при Р² должен быть равен 1. Отсюда находим резонансную частоту:

(35)

Подставив это выражение для резонансной частоты в передаточную функцию и приравняв соответствующие коэффициенты к коэффициентам передаточной функции ПФ (11) получим остальные формулы для вычисления характеристик фильтра

(36)

(37)

Из формул видно, что коэффициент передачи А₀ , добротность Q и резонансная частота fp рассматриваемого фильтра могут выбираться произвольно.

Выражение для полосы пропускания фильтра получим из формулы (37):

(38)

Таким образом, величина В не зависит от R₁ и R₂ . Из формулы (36) следует, что А₀ не зависит от R₂. Поэтому можно изменять резонансную частоту fp, варьируя величину R₂, что не приводит к изменению коэффициента передачи А₀ и ширины полосы пропускания В.

Формулы для расчета элементов схемы фильтра получим из выражений (35, 36, 37) и полагая, что fp, A₀, Q и величина емкостей С₁ = С₂ = С заданы:

R₃ = Q /  fp C

R₁ = R₃ / (- 2A₀ ) (39)

R₂ = - A₀ R₁ / (2Q ² + A₀)

Схема полосового фильтра с положительной обратной связью приведена на рис.28. Передаточная функция данной схемы имеет вид:

Приравняв коэффициенты этого выражения к коэффициентам передаточной функции ПФ, получим формулы для расчета параметров фильтра:

fp = 1 / 2RC

A ₀ = 0,5 (40)

Q = 1 / 4RCfp

B = fp / Q = 1 / 4RC