Физика_1 / 3

3.Нормальное и тангенциальное ускорение. Вектор полного ускорения

В случае неравномерного движения важно знать, как быстро изменяется скорость с течением времени. Физической величиной, характеризующей быстроту изменения скорости по модулю и направлению, является ускорение. Рассмотрим плоское движение, т. е. движение, при котором все участки траектории точки лежат в одной плоскости. Пусть вектор v задает скорость точки А в момент времени t. За время At движущаяся точка перешла в положение В и приобрела скорость, отличную от v как по модулю, так и направлению и равную vl = v + Av. Перенесем вектор vl в точку А и найдем Av (рис. 4). Средним ускорением неравномерного движения в интервале от t до t + A t называется векторная величина, равная отношению изменения скорости Av к интервалу времени At: (а) = At

Мгновенным ускорением а (ускорением) материальной точки в момент времени t будет предел среднего ускорения:

Рис.

Таким образом, ускорение а есть векторная величина, определяемая первой производной скорости по времени. Разложим вектор А Г; на две составляющие. Для этого из точки А (см. рис. 4) по направлению скорости v отложим вектор AD, по модулю равный vx. Очевидно, что вектор CD, равный ДГ>Т, определяет изменение скорости за время At по модулю: AvT = vx — v. Вторая же составляющая Avn вектора А Г; характеризует изменение скорости за время At по направлению. Тангенциальная составляющая ускорения т.е. равна первой производной по времени от модуля скорости: она определяет быстроту изменения скорости по модулю.Найдем вторую составляющую ускорения. Допустим, что точка В достаточно близка к точке А, поэтому As можно считать дугой окружности некоторого радиуса г, мало отличающейся от хорды А В. Тогда из подобия треугольников АО В и EAD с л е д у е т н о так как А В — t>At, то В пределе при At —> 0 получим vx —> v. Поскольку Г;1 —> ?, угол £Л1) стремится к нулю, а так как треугольник EAD равнобедренный, то угол ADE между v и ДГ>И стремится к прямому. Следовательно, при At —* 0 векторы Д йп и v оказываются взаимно перпендикулярными. Так как вектор скорости направлен по касательной к траектории, то вектор Avn, перпендикулярный вектору скорости, направлен к центру ее кривизны. Составляющая ускорения

называется нормальной составляющей ускорения и направлена по главной нормали к траектории к центру ее кривизны. Полное ускорение тела есть геометрическая сумма тангенциальной и нормальной составляющих (рис. 5): Итак, тангенциальная составляющая ускорения характеризует быстроту изменения модуля скорости (направлена по касательной к траектории), а нормальная составляющая ускорения —быстроту изменения направления скорости (направлена по главной нормали к центру кривизны траектории). Составляющие аТ и ап перпендикулярны друг другу. В зависимости от тангенциальной и нормальной составляющих ускорения движение можно классифицировать следующим образом:

1) ат = 0, ап = О — прямолинейное равномерное движение;

2) ат = а — const, ап = 0 — прямолинейное равнопеременное движение.

При таком виде движения

Если начальный момент времени t1 = 0, а начальная скорость vl = vQi то,

получим

Проинтегрировав эту формулу в пределах от нуля до произвольного мо-мента времени t, найдем, что длина пути, пройденного точкой, в случае равнопеременного движения

3) ат = f(t), ап = 0 — прямолинейное движение с переменным ускорением;

4) ат — 0, ап = const. При ат = 0 скорость изменяется только по направлению. Из формулы следует, что радиус кривизны должен быть постоянным. Следовательно, движение по окружности является равномерным;

5) ат = 0, ап ^ 0 — равномерное криволинейное движение;

6) ar = const, ап ^ 0 — криволинейное равнопеременное движение;

7) ат = f(t), ап ^ 0 — криволинейное движение с переменным ускорением.